第2章_运算方法和运算部件(2).ppt

2 3二进制乘法运算 定点原码的一位乘法设 X XsXnXn 1 X3X2X1Y YsYnYn 1 Y3Y2Y1则 X Y Xs Ys XnXn 1 X3X2X1 YnYn 1 Y3Y2Y1 手工乘法过程 X 1011 Y 1101X Y 1011被乘数 十进制数11 1101乘数 十进制数13 101100001011101110001111积 十进制数143 部分积 定点原码1位乘法器实现 设置3个寄存器 部分积寄存器A 被乘数寄存器B 乘数寄存器C 部分积寄存器 和1个计数器 运算步骤 初始化 Y CX B0 A运算 C 2 C 取乘数的末位 B ALU 根据C中的移出位送B或送全0 A ALU并执行加法 部分积送ALU与被乘数相加 ALU 2 BUS 从右边移出的一位放到C的最左边 BUS A计数器减1计数器不为0 则继续 否则结束运算 结果在A C中 原码一位乘法逻辑图 图3 5实现原码一位乘法的逻辑电路 C 2 C 定点原码的一位乘法实现过程 例3 32 X 0 1101 Y 0 1011 求X Y 部分积乘数被乘数 00 11010000001011 X001101001101右移1位00011011011 丢失 X001101010011右移1位00100111101 丢失 0000000001001右移1位00010011110 丢失 X001101010001右移1位00100011111 丢失 乘积高位乘积低位X Y 0 10001111 定点补码1位乘法 1 补码与真值的转换关系设 X 补 X0 X1X2 Xn当真值X 0时 X0 0 X 补 0 X1X2 Xn X当真值X 0时 X0 1 X 补 1 X1X2 Xn 2 XX X 补 2 1 X1X2 Xn 2 1 0 X1X2 Xn 1 2 补码的右移不论数的正负 连同符号位将数右移一位 并保持符号位不变 相当于乘1 2 或除2 证明见75页 定点补码1位乘法 3 补码一位乘法设被乘数 X 补 X0 X1X2 Xn 乘数 Y 补 Y0 Y1Y2 Yn 则有 X Y 补 X 补 Y0 证明见75 76页 当乘数Y为正时 定点补码一位乘法的运算过程与定点原码一位乘法相同 见76页例3 33 当乘数Y为负时 运算结束后 还需要补充进行加 X 补操作 见76 77页例3 34 定点补码1位乘法 Booth 布斯 1位乘法规则 带符号位的乘法 将部分积初始化为0 乘数的最低位为Yn 在其后增加一位0作为 Y 补的第n 1位 比较Yi与Yi 1 i n 1 2 1若Yi Yi 1 1 则部分积作加 X 补运算若Yi Yi 1 1 则部分积作加 X 补运算若Yi Yi 1 0 则部分积作加0运算 加0运算可以省略 运算完成后 部分积右移1位 得到新的部分积 反复n 1次 但最后一次不移位 所得的结果即为 X Y 补 布斯补码1位乘法实现过程 P78例3 35 被乘数 X 0 1101 乘数 Y 0 1011 X 补 11 0011 X 补 00 1101部分积乘数 Y 补 00 10110000000 10110初始值 最后一位补0 X00110110为 X 再右移001101右移1位00011010 10110丢失 000000011仅右移000110右移1位000011010 1011丢失 X11001101为 X再右移110110右移1位1110110010 101丢失 X00110110为 X再右移001000右移1位00010000010 10丢失 X11001101为 X1101110001不右移乘积高位乘积低位 定点原码2位乘法 原理 两位乘数有4种可能组合 对应以下操作 00 部分积Pi 0右移两位 01 部分积Pi X右移两位10 部分积Pi 2X右移两位11 部分积Pi 3X右移两位但Pi 3X用 Pi X 4X来替代 4X用C 1来标志 并归到下一步执行 在下一步执行时由于部分积已右移了2位 此时4X已变成了X 即4X 22 X 实现的法则如表所示 定点原码2位乘法实现过程 例3 36 79页 假定X 0 100111 Y 0 100111 X 补 00 100111 X 补 11 011001 2X 补 01 001110部分积乘数欠位C00 0000001001110 Pi X 2 21 C X11 01100111 011001右移两位11 1101100110011 Pi 2X 2 20 C 2X01 00111001 000100右移两位00 0100010001100 Pi 2X 2 20 C 2X01 00111001 011111右移两位00 0101111100010X Y 0 010111110001如果最后一次操作欠下 4X 则最后一次右移2位后还需补充 X操作 X后不再移位 定点补码2位乘法 根据布斯算法 将两步合并成一步 可推导出补码2位乘法的公式 见80页 规则 当乘数由1位符号位和n 奇数 位数值位组成时 做 n 1 2次运算 最后一次操作仅右移1位 当数值位n为偶数时 有2种方法 1 取1位符号位 在乘数最后补一个0 使乘数的数值位成为奇数 做n 2 1次运算 最后一次操作仅右移1位 见81页例3 37 2 取2位符号位 做n 2 1次运算 最后一次不必再进行右移操作 见81页例3 37 实现的法则如表所示 定点补码2位乘法实现过程 例3 37 81页 X 0 1101Y 0 1011 X 补 1 0011 Y 补 1 0101取3位符号位 X 补 111 00112 X 补 110 0110 X 补 000 11012 X 补 001 1010部分积乘数附加位000000011 01010010 Pi X 2 2 X11100111110011右移两位11111001111 010010 Pi X 2 2 X11100111101111右移两位11110111111 110110 Pi X 2 2 X00011010001000不需右移乘积高位乘积低位 X Y 0 10001111 阵列乘法 快速乘法 a4a3a2a1a0 b4b3b2b1b0a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a4b1a3b1a2b1a1b1a0b1a4b2a3b2a2b2a1b2a0b2a4b3a3b3a2b3a1b3a0b3a4b4a3b4a2b4a1b4a0b4 P9p8p7p6p5p4p3p2p1p0 阵列乘法器实现电路见P82图3 7 返回 2 4二进制除法运算 原码1位恢复余数除法设 X XsXnXn 1 X3X2X1Y YsYnYn 1 Y3Y2Y1则X Y Xs Ys XnXn 1 X3X2X1 YnYn 1 Y3Y2Y1 规则 商的符号位独立运算 1 比较被除数X与除数Y的大小 若 X Y 则溢出 否则继续 2 被除数 余数 左移1位 与除数Y相减 若余数大于等于0 则商上1 余数左移1位 若余数小于0 则商上0 先恢复余数 然后余数左移1位 重复上述2步过程n次 除数的尾数位数 得到商及余数 计算过程见P83的例3 38 原码1位不恢复除法 原码1位恢复余数除法的缺点是 当某一次减Y的差值为负时 要多一次加Y恢复余数的操作 降低了执行速度 又使控制电路变得复杂 因此在计算机很少采用 计算机中普遍采用的是不恢复余数的除法方案 又称为加减交替除法 在恢复余数的除法中 第i 1次求商后下一步余数 Ri 2Ri 1 Y R0 X 若Ri 0 则第i位商上0 且恢复余数 Ri Y 并求Ri 1 下一步的余数为 Ri 1 2 Ri Y Y 2Ri Y所以可得出加减交替法的规则如下 当余数为正时 商上1 求下一位商的办法是余数左移一位 乘2 再减去除数 当余数为负时 商上0 求下一位商的办法是余数左移一位 乘2 再加上除数 若最后一步不够减 则仍需作恢复余数处理 举例见P84例3 39 补码1位加减交替除法 含符号位一起参与运算规则 见85页 商的最后一位一般采用恒置1的办法 补码1位加减交替除法的实现 方法一 严格按照上述表中的操作进行 但机器实现时 第一步操作与其余的操作不一致 控制稍微复杂一些 方法二 改进表中的操作一开始就将被除数X作为初始余数 R0 补 如 R0 补与 Y 补同号 商上1 如异号 商上0 作2 R0 补 Y 补 但是 这样得到的商值正好与原来的相反 因此 最后要作取反操作将商校正 补码1位加减交替除法举例 P85例3 40 X 补 1 0111 Y 补 0 1101 Y 补 11 0011被除数 余数 商操作说明11011100000开始情形 001101两数异号 Y 补00010000001余数与除数同号 上商1 00100000010左移 110011上次商1 Y 补11101100010余数与除数异号 上商0 11011000100左移 001101上次商0 Y 补00001100101余数与除数同号 上商1 00011001010左移 110011上次商1 Y 补11100101010余数与除数异号 上商0 11001010101左移 商的最低位恒置1 X Y 补 1 0101 提高除法运算速度的方法 1 跳0跳1除法 P87 规则 1 如果R 0 且R的高K个数位均为0 则本次直接得商1 后跟K 1个0 R左移K位后 减去除数Y 得新余数 2 如果R 0 且R的高K个数位均为1 则本次商为0 后跟K 1个1 R左移K位后 加上除数Y 得新余数 3 不满足上述规则 1 和 2 中条件时 按一位除法上商 见例3 43 提高除法运算速度的方法 2 除法运算通过乘法操作来实现 P88 P89 X Y X F0 F1 Fr Y F0 F1 Fr 式中Fi 0 i r 为迭代系数 如果迭代几次后 可以使分母Y F0 F1 Fr 1 则分子即为商 例3 44 X 0 1000Y 0 1011 1 Y 0 0101 F0 1 1 0101X0 Y0 X F0 Y F0 0 1000 1 0101 0 1011 1 0101 0 1011 0 1110F1 2 Y0 2 0 1110 1 0010X1 Y1 X0 F1 Y0 F1 0 1011 1 0010 0 1110 1 0010 0 1100 0 1111 返回 2 5浮点数的运算方法 浮点数的加减法运算设X Mx 2Ex Y My 2Ey 求X Y 规则 流程见P91图3 8 对阶 E Ex Ey 小阶向大阶看齐 实现尾数的加 减 运算 规格化处理如果结果的两个符号位的值不同 表示运算尾数结果溢出 应 右规 即尾数结果右移一位 阶码 1 如果最高数值位与符号位相同 应 左规 此时尾数连续左移 直到最高数值位与符号位的值不同为止 同时从阶码中减去移位的位数 舍入处理 检查是否溢出 浮点数的加 减运算举例 X 2010 0 11011011 Y 2100 0 10101100 计算过程 对阶操作 阶差 E Ex 补 Ey 补 00010 11100 11110X阶码小 Mx右移2位 保留阶码E 00100 Mx 补 000011011011 尾数相加 Mx 补 My 补 000011011011 1101010100 111000101011 规格化操作 左规 移一位 结果 110001010110阶码减1 E 00011 舍入 附加位最高位为1 在结果的最低位 1 得新结果 M 补 1100010110 M 0 11101010 判溢出 阶符为00 不溢出 最终结果为X Y 2011 0 11101010 浮点乘法运算方法 X Y Mx My 2 Ex Ey 规则 检测操作数是否为0 若其中有一个操作数为0 则置结果为0 阶码相加 阶符相同的加可能会溢出 若溢出 则作溢出处理 阶码一般是移码 尾数相乘 尾数乘积规格化 只有左规 舍入截断处理 无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值舍入处理 运算过程中保留右移中移出的若干高位的值 然而再按某种规则用这些位上的值修正尾数判溢出 浮点乘法运算举例 P93例3 47 X 2 5 0 1110011 Y 23 0 1110010 计算过程 求乘积的阶码 Ex Ey 移 Ex 移 Ey 补 00011 00011 00110 尾数相乘 X Y 1 00110011001010 尾数部分 规格化处理 本例已规格化不需再处理 舍入 积的低位部分最高位为1 据0舍1入 给积的高位部分的最低位加1 因此 X Y 1 0011010 尾数部分 判溢出 阶码未溢出 浮点数的舍入处理 截断处理 无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值舍入处理 最低位恒置1除非最低位与移出位均为0 否则最低位置10舍1入 丢失的最高位为1时 最低位置1例 X 原 0 11011舍入后 X 原 0 1110 X 原 0 11100舍入后 X 原 0 1110 X 补 1 00101舍入后 X 补 1 0011 X 补 1 00100舍入后 X 补 1 0010 运算精度考虑 保护位 舍入 round 就近舍入 结果被舍入成最近的可表示的数朝 舍入 结果向正无穷大方向取舍 朝 舍入 结果向负无穷大方向取舍 朝0舍入 结果朝0取舍 阶码的底为8或16的浮点数乘法运算 IBM的计算机中阶码的底为8或