第6章解线性方程组的迭代法.ppt

数值分析 主讲教师谭高山 1 第四章解线性方程组的迭代法 线性方程组虽有直接解法 但对大型组 对时间和空间要求严格 数值分析 主讲教师谭高山 2 第四章解线性方程组的迭代法 4 1迭代法及其收敛性 4 2Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法 4 3逐次超松弛迭代法 数值分析 主讲教师谭高山 3 4 1迭代法及其收敛性 4 1 1向量序列及矩阵序列的极限 4 1 2迭代法的构造 4 1 3迭代法的收敛性与收敛速度 数值分析 主讲教师谭高山 4 4 1 1向量序列及矩阵序列的极限 依分量收敛 依范数收敛 数值分析 主讲教师谭高山 5 4 1 1向量序列及矩阵序列的极限 数值分析 主讲教师谭高山 6 证明 由范数等价性 仅就某一从属范数证明即可 数值分析 主讲教师谭高山 7 命题3对任意从属范数有 见 数值计算原理 李庆扬 关治P193 数值分析 主讲教师谭高山 8 4 1 2迭代法的构造 数值分析 主讲教师谭高山 9 数值分析 主讲教师谭高山 10 用后述的Jacobi迭代法不收敛的例子 数值分析 主讲教师谭高山 11 4 1 3迭代法的收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 12 数值分析 主讲教师谭高山 13 数值分析 主讲教师谭高山 14 数值分析 主讲教师谭高山 15 数值分析 主讲教师谭高山 16 数值分析 主讲教师谭高山 17 4 1 3迭代法的收敛速度 数值分析 主讲教师谭高山 18 该定义依赖于范数的选取和迭代次数 为刻画方法本身的速度 引入仅与迭代阵有关的量 数值分析 主讲教师谭高山 19 数值分析 主讲教师谭高山 20 4 2Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法 4 2 1Jacobi迭代法 4 2 2Gauss Seidel迭代法 4 2 3J法与GS法的收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 21 4 2 1Jacobi迭代法 设有方程组 作等价变形 得不动点形式 数值分析 主讲教师谭高山 22 4 2 1Jacobi迭代法 数值分析 主讲教师谭高山 23 4 2 1Jacobi迭代法 可构造迭代公式 数值分析 主讲教师谭高山 24 4 2 1Jacobi迭代法 数值分析 主讲教师谭高山 25 4 2 1Jacobi迭代法 定理Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是 数值分析 主讲教师谭高山 26 4 2 1Jacobi迭代法 数值分析 主讲教师谭高山 27 4 2 2Gauss Seidel迭代法 数值分析 主讲教师谭高山 28 4 2 2Gauss Seidel迭代法 数值分析 主讲教师谭高山 29 注1 当然可有其他的迭代法如 注2 在收敛的情况下 一般说来 Gs法的收敛性能较J法好 然而情况并不总是如此 存在方程组按J法收敛 而按Gs法不然 因此两种方法均很重要 如组 数值分析 主讲教师谭高山 30 4 2 3J法与GS法的收敛性 讨论方程组J法及GS法的收敛性 除用收敛基本定理外 还可直接由给定的系数矩阵A来判断收敛性 代数判据 为此先给出定义 数值分析 主讲教师谭高山 31 4 2 3J法与GS法的收敛性 A可约的代数意义是通过行列的相应调换化为解耦方程组 数值分析 主讲教师谭高山 32 4 2 3J法与GS法的收敛性 说明 此定理实际含有四个命题 数值分析 主讲教师谭高山 33 证明 严格对角占优时的J法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 34 证明 严格对角占优时的GS法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 35 不可约弱对角占优时的J法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 36 不可约弱对角占优时的GS法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 37 4 2 3J法与GS法的收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 38 4 3逐次超松弛迭代法 4 3 1SOR迭代公式 4 3 2SOR迭代法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 39 4 3 1SOR迭代公式 逐次超松弛 SuccessiveOverRelaxation 迭代法 简称SOR迭代法 它是在GS法基础上为提高收敛速度 采用加权平均而得到的新算法 数值分析 主讲教师谭高山 40 4 3 1SOR迭代公式 数值分析 主讲教师谭高山 41 4 3 1SOR迭代公式 数值分析 主讲教师谭高山 42 数值分析 主讲教师谭高山 43 数值分析 主讲教师谭高山 44 数值分析 主讲教师谭高山 45 4 3 2SOR迭代法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 46 必要条件 逆否定理 数值分析 主讲教师谭高山 47 4 3 2SOR迭代法收敛性 分析 即讨论谱半径 数值分析 主讲教师谭高山 48 证明 数值分析 主讲教师谭高山 49 4 3 2SOR迭代法收敛性 数值分析 主讲教师谭高山 50 推论及其他有关结果 数值分析 主讲教师谭高山 51 ErrorEstimation 数值分析 主讲教师谭高山 52 数值分析 主讲教师谭高山 53 数值分析 主讲教师谭高山 54 该定义依赖于范数的选取和迭代次数 为刻画方法本身的速度 引入仅与迭代阵有关的