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高等数学(1)标准化作业题参考答案第一章 班级 姓名 学号第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、填空题1.函数的定义域为.2.设函数，则.3.设函数的定义域为，则的定义域为.4.已知,则,其定义域为.5.设 ，则复合函数.6.设函数则.7.函数的反函数为.二、单项选择题1.函数的定义域为 C .A B. C. D. 2.设的定义域为，则的定义域为 B .A. B. C. D. 3.函数的反函数是 D .A. B. C. D. 4.设为奇函数，为偶函数，且有意义，则为 B .A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 以上均不正确三、解答题1.判断函数的奇偶性，并求其反函数.解：因为，所以是奇函数. 由，得，所以反函数为2.设满足均为常数，且, 求.解：令, 则,故. (2) 联立(1),(2)得到.四、证明在其定义域内有界.证明：取,使得 ，所以在其定义域内有界.第二节 数列的极限一、单项选择题1.数列极限的几何意义是 D .A在点的某一邻域内部含有中的无穷多个点B. 在点的某一邻域外部含有中的无穷多个点C. 在点的任何一个邻域外部含有中的无穷多个点D. 在点的任何一个邻域外部至多含有中的有限多个点2.的等价定义是 A .A. 对于任意及，总存在正整数，使得当时，B. 对于某个充分小的，总存在正整数，使得当时，C. 对于任意正整数，总存在，使得当时，D. 对于某个正整数，总存在，使得当时，3.“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的 C 条件.A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要二、利用数列极限的定义证明:.证明： 对，要使 ，只需. ,取，则当时，就有成立，所以.第三节 函数的极限一、单项选择题1.极限定义中与的关系为 B .A. 先给定，后唯一确定 B. 先给定后确定,但的值不唯一C. 先确定，后确定 D. 与无关2.若函数在某点极限存在， 则 C .A. 在点的函数值必存在且等于该点极限值B. 在点的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C. 在点的函数值可以不存在 D. 若在点的函数值存在，必等于该点极限值3.以下结论正确的是 C .A. 若，则B. 若，则必存在，使当时，有C. 若，则必存在，使当时，有D. 若在的某邻域内，则4.极限 D .A. 1 B. C. 0 D. 不存在二、利用函数极限的定义证明:.证明： ，要使，只需取，则当时，就有成立,所以.第四节 无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是 C .A. 无穷小量的倒数是无穷大量 B. 无穷小量是绝对值很小很小的数 C. 无穷小量是以零为极限的变量 D. 无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是 C .A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是 D .A.两个无穷小的商仍然是无穷小 B. 两个无穷大的商仍然是无穷大C. 是时的无穷小 D. 是时的无穷小4. (附加题) 设数列与满足，则下列命题正确的是 B .A. 若发散，则发散 B. 若为无穷小，则必为无穷小C. 若无界，则必有界 D. 若有界，则必为无穷小提示：已知为无穷小，当为无穷小时，必有为无穷小；否A，例发散，收敛；否C，例均无界；否D，例有界，非无穷小.第五节 极限运算法则一、填空题1. 2.3. 0 . 4.5.若，则常数.提示：由已知，得，.6.设，则常数 2 . 提示：由已知，从而.7. 1 .提示： 8. .9. -1 ， 1 ，所以 不存在 .提示：10.已知,则 0 .二、计算题1. 解：1. .2.解：因为，而为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知 .3. 解：.4.解： .5. 解：.6. 求.解：原式.第六节 极限存在准则 两个重要极限一、填空题1. 1 ； 0 . 提示： ；.2. 0 ； 1 . 提示：；.3. （为正整数）. 提示：.4. . 提示：.二、计算题1. 解：. 2. 解：.3. 解：原式.4. 解： ，又 ，所以根据夹逼准则知，.第七节 无穷小的比较一、填空题1.当时，是的 低阶 无穷小；是的 等价（或同阶）无穷小；是的 低阶 无穷小；是的 同阶 无穷小；是的 等价（或同阶）无穷小；是的 高阶 无穷小.提示： .2.已知时，与为等价无穷小，则常数.提示：.二、计算题1解： .2. 解：.3. 解：.4. 解：. 第八节 函数的连续性与间断点一、填空题1.设 在处连续，则常数应满足的关系为.提示：，.2.设 在处连续，则常数， 1 .提示：，.3.的可去间断点为；的无穷间断点为.4.若函数有无穷间断点及可去间断点，则常数 e .提示：由已知，存在，所以，从而.二、单项选择题1.是的 A .A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点提示：2.函数 D .A. 在处都间断 B. 在处都连续 C. 在处连续，处间断 D. 在处间断，处连续提示：；.3.设函数 在处连续，则 B .A. B. C. D. 提示：.4.函数 在处 B .A. 左连续 B. 右连续 C. 左右均不连续 D. 连续提示：，从而.三、讨论函数 在处的连续性.解：，所以在处不连续，且是第一类跳跃型间断点.四、若 在，内连续，求a.解： 由于在处连续, 所以., . 故.五、设在内有定义，且，.试讨论在处的连续性.解：，所以当时，在处连续，当时，在处间断.第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设 在内连续，则常数.2.设在处连续，则常数 1 ， -3 .提示：由题意知，则 ，则，进而.3. 4. e .5. 提示：.6. 已知，则常数.提示：，所以.7. . 8. .提示：原式 .9函数的连续区间是二、单项选择题1.当时,函数的极限等于 D .A. B. C. D. 不存在但不为2.设在连续，则 D .A. B. C. D. 提示：.三、讨论的连续性，若有间断点，指出其类型.解：为初等函数，故在其定义区间内均连续，在其无定义点间断.据，知为第二类无穷间断点；据，知为第一类跳跃间断点.第十节 闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程有实根的区间为 A .A. B. C. D. 提示：令，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程 有 D 个实根.A. B. C. D. 提示：令，又，则由零点定理知，方程在分别至少存在一个根；又是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程在区间内至少有一实根.证明：令，则在上连续，且，根据零点定理，至少存在一点，使，所以方程，即在区间内至少有一实根.2.设在上连续，且.证明至少存在一点，使.证明：令，则在上连续，且，根据零点定理，至少存在一点，使，即.3. 附加题 设在上连续，.证明在上有界.证明：由，对，当时，有，即在上有界；又在上连续，故在上有界，所以存在使，取，则对，即在上有界.第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. .提示：.2. .提示：.3.已知，其中为常数，则 7 ， 5 .4. 若在上连续，则 -2 .提示：由题意知， 从而.5. 曲线的水平渐近线是，铅直渐近线是.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的，总存在整数，当时，恒有”是数列收敛于的 C .A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件2. 设，则 D .A. B. C. D. 3. 下列各式中正确的是 D .A B. C. D. 4. 设时，与是等价无穷小，则正整数 A .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 提示：由题意知，当时， 从而取.5. 曲线 D . A. 没有渐近线 B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线6下列函数在给定区间上无界的是 C . A. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共49分）1.解：.2. 解：.3.解：，又 ，.4解：.5. 设函数，求.解：.6. 解：