第十三章 函数列与函数项级数.doc

第十三章 函数列与函数项级数13.1 一致收敛性1 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：（1）,，； （2）(3) （4）(5) 解:（1）由于 故（2）因为 故 （3）当时， 当时，只要，就有，从而于是在0,1上的极限函数为 因故在0，1上不以致收敛（4）易见极限函数为（i）因为,所以在上不一致收敛.(ii) 因为,故(5)易见极限函数(i)因为故(ii)因为故在上不一致收敛.2.证明：设若对每一个正整数n有则在D上一致收敛于f.证明:因且所以 故 3. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性：（1） （2）（3） （4）(5) (6) 解：（1），有 令则所以收敛，由 判别法知，在上一致收敛。（2）令，则，有又对每一个单调递减，且由知，由狄利克雷判别法知在上一致收敛。（3）当时，有，且。因此当即时，收敛，由判别法知在上一致收敛，当时，原级数不一致收敛。（4）因，而收敛，由判别法知在上一致收敛。（5）由莱布尼茨判别法知，在上任意一点，收敛，由于，故在上不一致收敛。（6）当时 故在上不一致收敛。 4.设函数项级数在上一致收敛于,函数在上有界.证明级数在上一致收敛于证明：设，因在上一致收敛于，所以，当时，对一切有 于是，当时，对任一，有 故在上一致收敛于。5. 若在区间I上，对任何自然数n,证明当在I上一致收敛时，级数在I上一致收敛。证明：因在上一致收敛，所以，当时，对一切和一切自然数，都有，从而故在上一致收敛。6. 设（n=1,2,）是a,b上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则级数在a,b上绝对并一致收敛。证明：因是上的单调函数，所以， 由与收敛知：收敛，故在上绝对并一致收敛。7. 在0,1上定义函数数列, =0， , n=1,2.证明：级数在0，1上一致收敛，但它不存在优级数。证明：因 所以，当时，恒有于是，取，则当时，对一切和一切自然数，都有，故所给级数在上一致收敛。假设在上存在优级数，取，则由收敛得知收敛，这与发散矛盾。故不存在优级数。13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质1 讨论下列各函数列在所定义的区间上：（a）与的一致收敛性；（b）是否具有定理13.9，13.10，13.11的条件与结论。（1） （2）(3) 解： （1）（a） 由于从而故与都在a,b上一致收敛。（b）因在a,b上一致收敛，每一项都连续，所以具有定理13.9，13.10的条件，从而具有定理结论。又在a,b上一致收敛，每一项在a,b连续，且在a,b上收敛，所以具有定理13.11的条件和结论。（2）（a）因为从而所以又从而的每一项在0,1上连续，的极限函数在0，1上不连续，故在0，1上不一致连续。（b）因在a,b上一致连续，且每一项连续，所以具有定理13.9，13.10的条件从而具有定理结论。由于在0,1上不一致收敛，所以不具有定理13.11的条件。又从而不具有定理13.11的结论。(3) (a)易见由知在达到0,1上的最大值，所以故在0,1上不一致收敛。因为所以的每一项在0,1上连续，其极限函数在0,1上不连续，故在0,1上不一致收敛。(b)因与在0，1上不一致收敛，所以不满足定理13.9，13.10，13.11的条件，又得极限函数在0，1上连续，故由于在x=0不收敛，所以具有定理13.9的结论；不具有13.10，13.11的结论。2.证明：若函数列在a,b上满足13.11的条件，则在a,b上一致收敛。证：设因对a,b上的任意有所以由在点收敛知，当，有 （1）又对上述当时对一切有 （2）取则当时，（1），（2）式成立，从而因此3证明定理13.12和13.14。证：（定理13.12）设为a,b上任意一点，在a,b上一致收敛于则当时，因在a,b上一致收敛于，从而当时，对一切，有由在a,b上连续(n=1,2,）知：对取定的在a,b上连续，所以对上述当，且时于是当且时有故和函数在点连续，由的任意性知在a,b连续，定理13.12得证。下证定理13.14。 证 设在a,b上一致收敛于，由在a,b上连续及定理13.12知，函数在a,b上连续，又由定理13.13知，故两端关于求导，得4设,计算积分解：由M判别法知，在-1，1上一致收敛，显然(n=1,2,），在-1，1上连续，由定理13.13知5.设,计算积分解： 由M判别法知在上一致收敛，显然（n=1,2，）在上连续，由定理13.13有6.设计算.解 由有对级数，有于是收敛，从而在上一致收敛，显然（x=1,2,），在上连续，由定理13.13知7. 证明：函数在上连续，且有连续的导函数。证 由而收敛，由M判别法知在上一致收敛。又（n=1,2,）在上连续，从而