第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答.pdf

中等数学 第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答 第 一 年月 日上午 天 求证尹廷 二 一 口 一 如图 在凸 四边形中 与不平行圆 过 且与边 相切于 圆过 且与边相切于 圆 与圆口相交于 第 二天 必 落二 年月 日 午一 四 设是给定的正整数 和是两 个 实数试确定方程组 夕 求证平分 线段口的充分必要条件是才 二 设是一个自然数若一串自然数 一 满足 卜 卜 则 称 二 一 为的一条因子 链 为该因子链的长度 幻与分 别表示的最长因子链的长度和最长因 子链 的条数 对于 弓 二 是 自然数 试求与 三 设函数厂对有定义 且 满 足条件 对任何 夕 万 万 夕 夕 夕 之 二 奋 十 普 晋 存在常数 当时 有正整数解的充分必要条件用 的 关系式表示 并予 以证明 五 设是一个有限集合法则使得 的每一个偶子集石偶数个元素组成的 子 集都对应一个实数厂 夕 且满足条 件 存在一个偶子集 使得 厂 对于的任意两个不相交的偶子 集互 有厂座日 哎 一 求证存在的子集和 夕 满足 尸自口 必 夕 对的任何非空偶子集 有 对口的任何偶子集 有 的位置上对应的轮的齿也有去掉的 所 以 投影不完 全 可见此二命题是等价的 设成内 川 则 间 的 两两差 只有 科 对的非零剩余类 了 丁 了 乃中必有某个玩与 中两两 差关于模的交为空集 则转无 齿 即满 足条 件故有个肯时命题成立 当两个齿轮各有幻 齿时 不存在那样的 旋转 只需 二 侧 则 一 斗 毛 取 遍丁 了 正 这月个模为的非零 利余类 故有个齿时命题不成立 天津一中学生刘智供答 玄 二第二 土 厂 毛 六 凸川左形 及 一 条在形内不相 交灼 对 角线组成 图形 称认 一个剖分图 求证当且仅 当时 存在一个剖 分 图是可以一笔画的圈即可 以从一 个顶点出 发 经 过图中各线 段恰一 次 最后日抓出发 点 解答 一 证明依题 意 气 一个中量既是 的 充要条件 又是五平分线段 的充要条件即可 第一步证明了月 一 尸 如图 分别延长与 记它 们的交 点为令 令二 口 乡 乙 显然 且才令今 二 又留与相切于 有 凡 却 二 了 一 同理 侧丁久 于是 尸 侧丁 一 一 侧下 十 幼 乙一 一厂 从而 台今了 十 二 了了 一 由于 易知 了了 十 二 侧下 十 令今 因此 刀 声 刀令今 尸 二 第二步证明尸 口 口李今 口即五平分线段 延 长分别交圆 于 则由 相交弦定理可知 二 尸 口 尸 因此 尸 尸 令今叹 为 丙圆 勺 公乓庄 再由泪交弦定理可加 乃 即 十 口口仁 尸 十 尸 于是 口口 从而 口 令今 二 所以 尸 尸 口 口牛今 尸 二 夕 综合上述两步 命题 得证 二 解对于任意自然数 丫 了 夕梦 其中 户 今互 不 相 同为 素数 夕 为正整数 显然的 因子链 存在且只有有限条 从而存在最长因子 链 设 一 万 为的一条最长 因子涟 可以证 明 二卜 必为素数 事实上 如果 存 在 蕊簇 使 得 一 不是秦 数 可设 卜 二 其中穿 都是大于的正整数 则厦 工 卜 叮 万 一 夕 万一 工 刊 尹 也是 的一个因子 涟 一与 向 万 为最 一长因 子链矛盾由此可知 对 任何 镇簇 一 必是的一个素因 子 从 血 岔十 反之 如果 夕 为 二 的一个因 子链 而且 对 任意毛成 一 都是素 数 由因子链的定义可 知 即 二 必为最长因子 涟因此 从开始 逐次乘的一 个素因子达到为止 得的 一个最 一长因子链 而且不同素因子乘的顺序 不同得到不同的最 长因 子链 从而 一 吮 中等数学 取 让只 又 又 则 十 十 如果 要 则 石 三 证明 万 忿 由可得 从而 儿 一 反设存在 弃 炭得 今 二 合今 夕 之二 设原方程组有正整数解仕 夕 的 则 夕 必满足显 然必为揭文 于是 令今 连 夕 艺 叹 其中 合 由可知 必须 全是偶数令 再由可得 于是 厂 今 仁 盯 号 二 生 则 甘 工二 专 工二 音 之 必满足 三 一石尸 人 名 飞 夕气 气 利用归纳 法可以证 明对于任意 自然数有 落 之气 卜 乙 那么 又 必为偶 文 令 乙 告 利月类 以 推理可知 万 也全是偶效 且 毖 干夕飞 之岌 事实上 当时 式显然 成立 设当无时式成立由可 得 一 其 中 丫二 合 工 粤 二 粤 王 石乙 应 夕 一 即 声 干 皿一 一 卜 子 急 用 上述推理过程有限次可得整 数 之 且 户 十 时 十 才 月 从而当 合 时 原 因此 当无 十 时 一一 这显然是不可能的 方程组无正整数解 式也成立 显 然存在自然数 使 得当 时夕 务 由及可知 当时 卫一 卜 瑞 由于是固定常数 对任何无 成立 于是对任何 恒有 厂簇尸 关 式显然不可能 女 果 合 当 二 时 方程组 第二式为恒等式当 姜 时 第二式等价于 万 夕 之 无论何种情况 如果 夕 满足方程 组第一式 必满足第二式 从而方程组显然有 解 夕 之 于是方程组有解的充分必要条件是 注进一步可以证明在本题假设下 可 专 五 证明 由 于是有限集 众而 的 得 簇专 二 四 解方程组第一式 平方乘以粤 右 再与第二式相 减可得 一 专 盛任 一 专 一 合 一切偶子集的数目是 有限的令尸是的 取 值最大且元素个数最少的偶子集 是相 对于的余集可以证明上述 口满足所给 的性质 显然有尸门团 尸 由假设及的取法易知 生假设 可得 年第二期 必 必必 一 所以 必 从而尸斗习对于尸的任 何非空偶子集 令了是 相对 干的 余集 则 言 反 二 必 歹 二 尸 如果 则由 假设可知 厂 一 夕 又名斗必 从而豆的元素灼个数少于尸的 元素 的个效 与尸的取 法矛盾因此 匀 任取的 偶子集由于尸几 必 如果汀 则由假设可知 尸 一 也与 白取法矛盾 因必厂簇 六 证明用归纳法 先证充冷连 当 时 命题显然成立 点显然如果凸 边形 存在剖 分巴是可以一 笔画的圈 刻它的每个顶点必是偶顶点 显然凸四边形和凸五边形不存在每个顶 点都是 偶 须点灼刘分图从而当时 如果凸边形仔主每个顶点都是 偶顶点为 剖 分图 则 归 内没设 当 二 一 针户刃几寸 少 如 果 凸迫形 子生每 个顶点都是揭项点 屠图 则现考虑 七蕊 二 沃的情况假 设一凸 互形 有一补每 个 顶点邓泛偶顶点勺 剖分图用 纳法易证任 意凸 边形 井 的任何 刊分 都 把此凸 边形分割成没有公共内 半的 一 个三角形 设对注何 凸边 形 存在一个刹分图 是可以一笔厕 奇圈 任取一凸注歹 一 二 飞 连结和 和 和 而且这些三 角形中 至少有两个以这个 凸 刀边 形 两条 相 邻 边为两边因此不 滩 妨设线段是 匹 边形 剖 分图中 岁 月 是 得三条对角线由于厦 十 凸皿边形 由归纳假设 王 十 存在一个剖分图是可以一笔画的圈作此剖 分图 易证从 十 任何一个 班点出发经过图中各线段恰一次 最 后回到 出发点现从 出发 经过 通 的上述剖分图中各线段恰一次回到 滋 后 再经 城 通 诫 十 又回到 斗 从 商毛 的剖分图 连同 组成 夕 滋 的一个剖分图 且它是可以一笔画 的圈 其次证必要性 对于任意凸边形的 剖 分圈 如果一顶点是图中偶数条对角线的端 点 则称此顶点是偶顶点 否则称其为 奇顶 的一条对角线如 图显然除去 还是剖分