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等差、等比数列证明的几种情况 在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数，则这个数列叫等差数列，常数称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数，则这个数列叫等比数列，常数称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。1、简单的证明例 ：已知数列前项和，求通项公式，并说明这个数列是否为等差数列。解：时，； 时， 因为时，所以因为时，为常数，所以为等差数列。2、数列的通项经过适当的变形后的证明例： 设数列的前项的和为，且。（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设，求证：数列是等差数列；证明：（1）时， ， 又是首项为3，公比为2的等比数列。（2） 又，是首项为，公差为的等差数列。3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列的前项的和，写出这个数列的前三项；证明：数列除去首项后所成的数列是等差数列。解：由与的关系 得到 当时， 对于任意都成立，从而数列是等差数列。注：由于，故不对任意成立，因此，数列不是等差数列。4、跟椐定义需要另外加以补充的等差（等比）数列的证明。例4：设数列的首项，前项和满足关系，求证为等比数列。（错证）由题意：两式相减得： 即： 所以：为定值，所以为等比数列。由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下：时：两式相减得： 即：所以：（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为时：即又因为，所以所以 所以 所以对任意都有为定值，所以为等比数列。总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标的取值范围，不管是；还是还是其它的情况，都在考虑定义的完
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