第一章：消费理论(高级微观经济学,孙经纬).doc

高级微观经济学课本：参考书：1) Andreu Mas-Colell，Michael D. Whinston and Jerry R. Green，1995，Microeconomic Theory，Oxford University Press；中译本：微观经济理论，经济科学出版社2) David Kreps，1992，3) Hal Varian，Microeconomic Analysis，中译本，4) Eugene Silberberg and Wing Sun，2000，The Structure of Economics: a Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill Higher Education第一章：消费理论1. 基本概念2. 偏好关系和效用函数3. 消费者的优化问题4. 间接效用函数和支出最小化5. 需求的特征一、 基本概念1、选择集定义：所有可能的（能实现的和不能实现的）消费（选择）方案的集合。消费方案：商品：1) 商品数量无限可分：，商品数量是连续的。2) 商品数量非负：3) 商品种类为：消费方案（选择方案，消费束）：特征：1、 非空集2、 闭集：p.429，定义A1.113、 凸集：P.411，A1.2.24、 包含原点：选择集2、可行集：制度约束、经济约束等可行集3、偏好关系4、行为假设resourceful, e m m: Michael Jensen, William mecklingnature of the manThe consumer seeks to identify and select an available alternative that is most preferred in the light of his personal tastes.在各种能够实现的消费方案中，消费者选择他最偏好的消费方案。1选择集2可行集3偏好关系4行为假设二、偏好关系和效用函数Debreu (1959)1、偏好关系、关系、两元关系：p.415-p.416、两元关系的定义：定义在消费集上，反映中任意两个点之间的关系：，如果有，则对该消费者而言，“至少和一样好”，或者，“在和之间，消费者弱偏好”、偏好关系的特征：公理一：穷尽性公理：对于选择集中任意的两个要素和，有或含义：u 消费者能够做出选择u 消费者具有无限的认知能力u 消费者具有无限的判断能力公理二：传递性公理：对于选择集中任何的三个要素、和，如果和，则有。含义：u 消费者的选择具有一致性u 适用条件偏好关系u （弱）偏好关系：消费集上的两元关系，如果满足公理一和公理二，就是偏好关系。理性：公理一公理二u 严格偏好关系：u 无差异关系：公理三：连续性公理：对于选择集中的任何元素，和在中为闭集。P.431定理A1.9，P.422定义A1.6，P.423定理A1.4。公理四：无局部飧足点公理：对于所有的，对于所有的，始终存在着某个，有。含义：u 飧足点：对于所有的，有某一个，为飧足点u 局部飧足点：对于，在的某个邻域内，存在着，为局部飧足点公理四：严格单调性公理：对于所有的，如果，有；如果，有。含义：u 多多益善u 去掉了无差异曲线上任何一点的右上部分和左下部分公理五：凸性定理：如果，那么，对于所有的，有。公理五：严格凸性定理：如果，那么，对于所有的，有。当时，有：凸性但非严格凸性当时，有：当时，有：严格凸性含义：u 平均优于极端u 边际替代率递减递减不变和上升效用函数定义：实值函数，如果对于所有的，有，则该函数被称为反映偏好关系的效用函数。定理1.1效用函数存在性定理：如果两元关系满足穷尽性、传递性、连续性和严格单调性，则存在着反映这一关系的连续的、单调递增的实值效用函数。定理1.3：效用函数的正向单调变换不变性定理：设是上的偏好关系，是反映此偏好关系的效用函数，对于每一个，当前仅当，其中，在定义域上严格递增时，函数也反映该偏好关系。定理1.4：偏好关系和效用函数的特征：设反映偏好关系，有严格递增严格单调拟凹为凸集严格拟凹为严格凸集消费者选择消费者选择能够支付得起的最优商品组合。“支付得起”预算集“最优”偏好关系预算集：n 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）：，且对于所有的，有。n 消费者从预算集中选择最大化效用函数的点：消费者的问题：此最大化问题是否有解：是否有唯一解：定理A1.10：极值的存在性定理设是非空紧集，是连续的实值映射，则存在向量和向量，对于所有的，有证明：连续：非空、闭集、有界集定理A2.14：目标函数严格拟凹消费者的问题：的解：马歇尔需求函数1、两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交相切不相交预算线与无差异曲线相切：预算线的斜率：无差异曲线的斜率：解得马歇尔需求函数2、假设效用函数连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：（1）、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为：预算平衡性定理构造拉格朗日函数：一阶条件：二阶条件：加边海赛矩阵为负半定解得马歇尔需求函数（2）、不等约束条件下的极值KuhnTucker定理：构造拉格朗日函数：一阶条件：二阶条件：加边海赛矩阵为负半定解得马歇尔需求函数例题：消费者的效用函数为，求马歇尔需求函数。解：设商品1和商品2的价格分别为，消费者收入为。消费者的决策为：构造拉格朗日函数：最优解满足一阶条件：解得马歇尔需求函数：消费者的最大效用为：间接效用函数为：定理1.5马歇尔需求函数的可导性：作用：比较静态分析参数或模型结构的变化对模型解的影响价格变化或收入变化导致的解的变化：，或设是消费者最大化问题的解，需求函数可导性的条件是：效用函数二阶可导某些或全部商品的边际效用大于零效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式间接效用函数直接效用函数：间接效用函数：间接效用函数的特征：间接效用函数1) 在上连续2) 在上零阶齐次性3) 在上严格递增4) 在上严格递减5) 在上拟凹6) 罗伊恒等式：如果在上可导，并且，有：间接效用函数的特征1、间接效用函数在上连续p.505最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。2、间接效用函数在上零阶齐次性间接效用函数在上零阶齐次性：3、间接效用函数在上严格递增应用包络定理：构造拉格朗日函数根据包络定理，：的符号？5、 间接效用函数在价格上递减设价格向量，求证6、 间接效用函数在上拟凸定理A1.18：拟凸性和劣集（quasiconvexity and inferior sets）当且仅当对于所有的，劣集是凸集，函数是拟凸函数。劣集的定义：证明间接效用函数在上拟凸，只需证明其劣集为凸集。在中选两点，设，取，我们要证明。也就是说，对于任何满足的最优解，我们得证明。三种可能性：和6、间接效用函数例题：证明满足间接效用函数的特征支出函数给定价格实现某一效用水平所需的最小支出：最优解为希克斯需求函数，最小支出为支出函数为：两元空间支出最小化：希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与相对应，因此可以把所要实现的效用水平写作。可以写为：支出函数可以表述为在给定价格下，实现消费束所带来的效用，所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示，所以支出函数又可以表述为在给定价格下，实现实际购买力所带来的效用，所需的最小支出。因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。在效用最大化中，货币收入不变，马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。支出函数的特征1. 在取最低效用水平时，支出函数为零2. 在定义域上连续3. 对于所有的，支出函数在上递增并且无上界4. 在价格上递增5. 在价格上一阶齐次性6. 在价格上为凹函数7. 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：证明：1、 在取最低效用水平时，支出函数为零取最低效用水平：，即支出函数2、在定义域上连续3、对于所有的，支出函数在上递增并且无上界根据包络定理：拉格朗日函数：（一阶条件）4、在价格上递增5、在价格上一阶齐次性6、在价格上为凹函数固定效用为，取价格，设在价格为时最优解为，支出函数为7、 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：根据包络定理例子：消费者的效用函数为，求希克斯需求函数和支出函数。解：构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：，马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：Suppose that is a continuous utility function representing a locally nonsatiated preference relation defined on the consumption set and the price vector is . We haveIf is optimal in the utility maximization problem when wealth is, then is optimal in the expenditure minimization problem when the required utility level is . Moreover, the minimized expenditure level in this expenditure minimization problem is exactly .if is optimal in the expenditure minimization problem when the required utility level is , then is optimal in the utility maximization problem when wealth is . Moreover, the maximized utility level in this utility maximization problem is exactly .假设是满足假设1.2的效用函数，我们有：如果在收入为时，是效用最大化问题的最优解，那么在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时，是最优解。而且，在这一支出最小化问题中，最小的支出水平正好为。如果在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时， 是最优解，那么在效用最大化问题中，当收入为时，是最优解。而且，在效用最大化问题中，最大效用水平正好为。证明：效用最大化问题为：设是此问题的解，于是有和支出最小化问题为：设是此问题的解，于是有和假设不是支出最小化问题的解。设是其解，有和。根据弱单调性公理，在的任何邻域中，存在，且有。就是说，又因为，所以，是更优的点。这与前提条件相矛盾，因此，是在所要实现的效用水平为时，支出最小化问题的最优解。在收入为时，是UMP的最优解，则是马歇尔需求函数，此时，；在EMP中，当所要实现的效用水平为时，是最优解，则是希克斯需求函数，也就是说，我们有，支出函数为，即。证毕。假设在效用最大化问题中，当收入为时，不是最优解。是最优解，。取。根据的连续性，当足够地接近1时，有，且。这和前提条件相矛盾，所以是效用最大化问题的最优解。在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时， 是最优解，就是说，是希克斯需求函数，有是在收入为时，效用最大化问题的解，也就是马歇尔需求函数，所以有。因此，我们有：最大效用即间接效用函数为是支出最小化问题的解，有，又，所以有证毕。例子：利用间接效用函数求支出函数解：令，利用希克斯需求函数求马歇尔需求函数。解：令， 马歇尔需求函数的特征（比较静态分析）马歇尔需求函数：Walras法则（预算平衡性）：在价格和收入上零阶齐次性对于所有的，有，比较静态分析：1. 某种商品价格变化所导致的对其他商品和该商品本身需求的变化；2. 收入变化所导致的对商品的需求的变化。替代效应：保持效用不变，相对价格变化所导致的消费的变化。收入效应：相对价格保持不变，收入改变所导致的消费的变化。其中，是在价格为、收入为时所实现的效用。因此有，于是，所以，上式等号右边为复合函数：，。第一步：等号左右两边同时对求导数，得到第二步：第三步：得到Slutsky方程：矩阵表示：定理1.11：设是马歇尔需求函数，是在价格、为收入为时所实现的效用，有Slutsky方程：。当时，Slutsky方程衡量商品价格变化对其自身需求的影响：自替代项的特征：定理1.12：负自替代项：设是对商品的希克斯需求函数，有：证明：支出函数在价格上为凹函数，根据定理A2.5，凹函数所有的二阶自偏导数非正，即；根据谢菲尔德引理，有，所以正常商品：在价格不变时，随着收入增加，其消费增加的商品，叫做“正常商品”。对正常商品，有非正常商品：在价格不变时，随着收入增加，其消费减少的商品，叫做“非正常商品”。对非正常商品，有。定理1.13：需求法则（定律）：正常商品：正常商品自身价格下降会导致其需求量上升非正常商品：如果商品自身价格下降导致其需求量下降，该商品肯定为非正常商品。正常商品非正常商品定理1.14：对称替代项：设是希克斯需求函数，支出函数连续二阶可导，有：证明：根据谢菲尔德引理，有，于是根据杨格定理（A2.2），有，所以有：替代项的数量：个替代矩阵：定理：1.15负半定替代矩阵：替代矩阵其中，是支出函数的二阶价格偏