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第第十三周十三周每日每日一练一练参考参考答案答案 1 2013 兰州 如图 1 在 OAB 中 OAB 90 AOB 30 OB 8 以 OB 为边 在 OAB 外作等边 OBC D 是 OB 的中点 连接 AD 并延长交 OC 于 E 1 求证 四边形 ABCE 是平行四边形 2 如图 2 将图 1 中的四边形 ABCO 折叠 使点 C 与点 A 重合 折痕为 FG 求 OG 的长 考点 平行四边形的判定与性质 等边三角形的性质 翻折变换 折叠问题 722725 分析 1 首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得 DO DA 再根据等边对等角可得 DAO DOA 30 进而算出 AEO 60 再证明 BC AE CO AB 进而证出四边形 ABCE 是平行 四边形 2 设 OG x 由折叠可得 AG GC 8 x 再利用三角函数可计算出 AO 再利用勾股定理计算出 OG 的长即可 解答 1 证明 Rt OAB 中 D 为 OB 的中点 DO DA DAO DOA 30 EOA 90 AEO 60 又 OBC 为等边三角形 BCO AEO 60 BC AE BAO COA 90 CO AB 四边形 ABCE 是平行四边形 2 解 设 OG x 由折叠可得 AG GC 8 x 在 Rt ABO 中 OAB 90 AOB 30 BO 8 AO BO cos30 8 4 在 Rt OAG 中 OG2 OA2 AG2 x2 4 2 8 x 2 解得 x 1 OG 1 点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质 以及勾股定理的应用 图形的翻折变换 关键是掌握平 行四边形的判定定理 2 2012 潍坊 如图 已知平行四边形 ABCD 过 A 点作 AM BC 于 M 交 BD 于 E 过 C 点作 CN AD 于 N 交 BD 于 F 连接 AF CE 1 求证 四边形 AECF 为平行四边形 2 当 AECF 为菱形 M 点为 BC 的中点时 求 AB AE 的值 考点 平行四边形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 解直角三角形 722725 专题 几何综合题 分析 1 根据平行四边形的性质 垂直的定义 平行线的判定定理可以推知 AE CF 然后由全等三角 形的判定定理 ASA 推知 ADE CBF 最后根据全等三角形的对应边相等知 AE CF 所以对边平行 且相等的四边形是平行四边形 2 如图 连接 AC 交 BF 于点 0 由菱形的判定定理推知 ABCD 是菱形 根据菱形的邻边相等知 AB BC 然后结合已知条件 M 是 BC 的中点 AM 丄 BC 证得 ADE CBF ASA 所以 AE CF 全等三角形的对应边相等 从而证得 ABC 是正三角形 最后在 Rt BCF 中 利用锐角三角函数 的定义求得 CF BC tan CBF 利用等量代换知 AE CF AB BC AB AE 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 已知 BC AD 平行四边形的对边相互平行 又 AM 丄 BC 已知 AM AD CN 丄 AD 已知 AM CN AE CF 又由平行得 ADE CBD 又 AD BC 平行四边形的对边相等 在 ADE 和 CBF 中 ADE CBF ASA AE CF 全等三角形的对应边相等 四边形 AECF 为平行四边形 对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 如图 连接 AC 交 BF 于点 0 当 AECF 为菱形时 则 AC 与 EF 互相垂直平分 BO OD 平行四边形的对角线相互平分 AC 与 BD 互相垂直平分 ABCD 是菱形 对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形 AB BC 菱形的邻边相等 M 是 BC 的中点 AM 丄 BC 已知 AB AC 等腰三角形的性质 ABC 为等边三角形 ABC 60 CBD 30 在 Rt BCF 中 CF BC tan CBF 又 AE CF AB BC AB AE 点评 本题综合考查了解直角三角形 全等三角形的判定与性质 菱形的判定与性质以及等边三角形的判 定与性质等知识点 证明 2 题时 证得 ABCD 是菱形是解题的难点 3 2013 浙江一模 阅读并解答下列问题 问题一 如图 1 在 ABCD 中 AD 20 AB 30 A 60 点 P 是线段 AD 上的动点 连 PB 当 AP 15 时 PB 最小值为 15 问题二 如图 2 四边形 ABCD 是边长为 20 的菱形 且 DAB 60 P 是线段 AC 上的动点 E 在 AB 上 且 连 PE PB 问当 AP 长为多少时 PE PB 的值最小 并求这个最小值 问题三 如图 3 在矩形 ABCD 中 AB 20 CB 10 P Q 分别是线段 AC AB 上的动点 问当 AP 长为 多少时 PQ PB 的值最小 并求这个最小值 考点 四边形综合题 722725 分析 1 如图 1 过点 B 作 BP AD 于 P 根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论 2 如图 2 连接 BD ED 交 AC 于点 P 作 DF AB 于 F 由菱形的性质可以得出 AC 的值 再 由 APE CPD 就根据相似三角形的性质就可以得出结论 3 作 B 关于 AC 的对称点 B 连 AB 则 N 点关于 AC 的对称点 N 在 AB 上 这时 B 到 M 到 N 的最小值等于 B M N 的最小值 等于 B 到 AB 的距离 BH 连 B 与 AB 和 DC 的交点 P 再由 三角形的面积公式可求出 S ABP的值 根据对称的性质可知 PAC BAC PCA 利用勾股定理可 求出 PA 的值 再由 S ABP PA BH 即可求解 解答 解 1 如图 1 过点 B 作 BP AD 于 P APPB 90 A 60 ABP 30 AP AB AB 30 AP 15 在 Rt ABP 中 由勾股定理 得 BP 15 2 如图 2 连结 BD 连结 DE 交 AC 于点 P 作 DF AB 于 F 四边形 ABCD 是菱形 AB BC CD DA AB CD AC BD DO BO DB AO CO AC OAB DAB DAB 60 ABD 和 CDB 是等边三角形 AF AB 10 在 Rt ADF 中 由勾股定理 得 DF 10 AE AB 且 AB 20 AE 5 EF 5 在 Rt EFD 中 由勾股定理 得 DE 5 BP PE 的最小值为 5 在 Rt ABO 中 由勾股定理 得 AO 10 AC 20 AEP CDP AP 4 答 当 AP 长为 4时 PE PB 的值最小为 5 3 如图 3 作 B 关于 AC 的对称点 B 作 B Q QB 于 Q 交 AC 于 P 连结 AB 则 Q 点关于 AC 的对称点 H 在 AB 上 AHB AHB 90 BH B H AB AB AB H ABH 这时 B 到 P 到 Q 的最小值等于 B P H 的最小值 等于 B 到 AB 的距离 BH 连 J 结 AB 和 DC 的交点 E 则 S ABE 20 10 100 由对称知识 EAC BAC ECA 所以 EA EC 令 EA x 则 EC x ED 20 x 在 Rt ADE 中 EA2 ED2 AD2 所以 x2 20 x 2 102 所以 x 12 5 因为 S ABE EA BH 所以 BH 16 在 BB H 和 B BQ 中 BB H B BQ SAS BH B Q 10 在 Rt ABC 中 由勾股定理 得 AC 10 S ABC BH 4 BB 8 在 Rt BB Q 中 由勾股定理 得 QB 8 AQ 12 PQ AB AQP 90 且 ABC 90 PQ BC AQP ABC AP 6 答 AP 长为 6时 PQ PB 的值最小为 16 故答案为 15 15 点评 本题考查的是最短路线问题 考查轴对称的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 勾股定 理的运用 相似三角形的判定及性质的运用 等边三角形的性质的运用 解答第三问时作出 B 点关 于直线 AC 对称的点 B 是解答此题的关键 4 2013 长春一模 操作 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 是 BC 的中点 将 ABE 沿 AE 折叠后得到 AFE 点 F 在正方形 ABCD 内部 延长 AF 交 CD 于点 G 易知 FG GC 探究 若将图 中的正方形改成矩形 其他条件不变 如图 那么线段 GF 与 GC 相等吗 请说明理 由 拓展 如图 将图 中的正方形 ABCD 改为平行四边形 其他条件不变 若 AB 3 AD 4 则 AGD 的周长为 10 考点 四边形综合题 722725 分析 求出 EF BE CE 推出 EFC ECF 推出 EFG ECG 相减即可 求出 EF BE CE 推出 EFC ECF 推出 EFG ECG 相减 求出 FG CG 即可得出三角形 AGD 的周长等于 AD DC AF 代入求出即可 解答 解 探究 GF GC 理由是 连接 CF 四边形 ABCD 是矩形 B ECG 90 ABE 沿 AE 折叠后得到 AFE BE EF GFE AFE B 90 BE CE EF EC EFC ECF GFC GCF GF GC ABE 沿 AE 折叠后得到 AFE B AFE 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD B C 180 AFE GFE 180 C GFE EFC ECF GFC GCF GF GC 拓展 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD 3 AF AD 4 AGD 的周长是 AD DG AF 4 DG AF FG 4 DG CG AF 4 3 3 10 故答案为 10 点评 本题考查了矩形性质 平行四边形的性质 等于三角形的性质和判定等知识点的应用 主要考查学 生的推理和计算能力 题目比较好 综合性比较强 5 2013 盘锦 如图 正方形 ABCD 的边长是 3 点 P 是直线 BC 上一点 连接 PA 将线段 PA 绕点 P 逆 时针旋转 90 得到线段 PE 在直线 BA 上取点 F 使 BF BP 且点 F 与点 E 在 BC 同侧 连接 EF CF 1 如图 当点 P 在 CB 延长线上时 求证 四边形 PCFE 是平行四边形 2 如图 当点 P 在线段 BC 上时 四边形 PCFE 是否还是平行四边形 说明理由 3 在 2 的条件下 四边形 PCFE 的面积是否有最大值 若有 请求出面积的最大值及此时 BP 长 若 没有 请说明理由 考点 四边形综合题 722725 专题 压轴题 分析 1 由正方形的性质可以得出 AB BC ABP ABC 90 可以得出 PBA FBC 由其性质就 可以得出结论 2 由正方形的性质可以得出 AB BC FBC ABC 90 可以得出 PBA FBC 由其性质就 可以得出结论 3 设 BP x 则 PC 3 x 平行四边形 PEFC 的面积为 S 由平行四边形的面积公式就可以求出其 解析式 再根据二次函数的性质就可以求出其最大值 解答 解 1 四边形 ABCD 是正方形 AB BC ABC PBA 90 在 PBA 和 FBC 中 PBA FBC SAS PA FC PAB FCB PA PE PE FC PAB APB 90 FCB APB 90 EPA 90 APB EPA FCP 180 即 EPC PCF 180 EP FC 四边形 EPCF 是平行四边形 2 结论 四边形 EPCF 是平行四边形 四边形 ABCD 是正方形 AB BC ABC CBF 90 在 PBA 和 FBC 中 PBA FBC SAS PA FC PAB FCB PA PE PE FC FCB BFC 90 EPB APB 90 BPE FCB EP FC 四边形 EPCF 是平行四边形 3 设 BP x 则 PC 3 x 平行四边形 PEFC 的面积为 S S PC BF PC PB 3 x x x 2 a 1 0 抛物线的开口向下 当 x 时 S 最大 当 BP 时 四边形 PCFE 的面积最大 最大值为 点评 本题考查了正方形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 平行四边形的判定及性质的运 用 平行四边形的面积公式的运用 二次函数的性质的运用 解答时灵活运用平行四边形的判定方 法是关键 6 2013 宝安区二模 如图 1 在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中 点 A B E 在同一条直线上 连接 DF 且 P 是线段 DF 的中点 连接 PG PC 1 如图 1 中 PG 与 PC 的位置关系是 CP GP 数量关系是 CP GP 2 如图 2 将条件 正方形 ABCD 和正方形 BEFG 改为 矩形 ABCD 和矩形 BEFG 其它条件不变 求证 PG PC 3 如图 3 若将条件 正方形 ABCD 和正方形 BEFG 改为 菱形 ABCD 和菱形 BEFG 点 A B E 在同 一条直线上 连接 DF P 是线段 DF 的中点 连接 PG PC 且 ABC BEF 60 求的值 考点 四边形综合题 722725 分析 1 延长 GP 交 DC 于点 H 由条件可以得出 DHP FGP 就可以得出 DH GF PH PG 根据正 方形的性质就可以得出 HC GC 从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论 2 如图 2 延长 GP 交 DC 于点 H 由条件可以得出 DHP FGP 根据直角三角形的性质就可以 得出结论 3 如图 2 延长 GP 交 DC 于点 H 由条件可以得出 DHP FGP 根据菱形的性质可以得出 HCG 是等腰三角形 由菱形的内角和可以求出 PCG 60 由特殊角的三角函数值就可以求出结 论 解答 解 1 PG PC 且 PG PC 理由 如图 1 延长 GP 交 DC 于点 H 四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形 DC