第十七届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答.pdf

第十七届北京高中数学知识 应用竞赛决赛试题及解答 竞赛时间 年 月 日 一 我们知道 复印纸是彼此相似的 长方形 它们的长宽比是槡 我们称这样的长 方形为槡 长方形 对于一张正方形的纸 仅使用折 叠的方式就可以将它折成槡 长方形的形状 步骤 如下 第一步 折叠正方形 使其对角 线 为折痕 图 第二步 掀起 折叠 后将 与 重合 折痕为 点 关于 的对称点 为 第三步 折叠出过点 的折痕 使 如图 所示 则长方形 为槡 长方形 请对上面得到的结论给出证明 请在正方形纸上折叠出槡 长方形 并叙述 折叠的步骤和证明 解 过点 作 边的垂线 与 相交 于点 图 由折纸的第三步可知 折痕 从而四边形 构成一个正方形 且有 槡 由折纸的第二步可知 因此长方形 的长宽比为 槡 从而它是个槡 长方形 折叠槡 长方形 如图 图 图 第一步 将正方形 的两对边 与 重合对折 折痕为 第二步 过点 将点 折到 上 折痕为 点 关于 的对称点为 第三步 延长 交 于点 折叠出过 点 的折痕 使 则四边形 为槡 长方形 证明 显见 是正三角形 是这个 三角形的高 故 槡 又 所以 槡 二 用一个边长为 厘米的正方形包装纸 包住一个体积最大的正四棱锥 求这个正四棱锥 的底面边长和体积 精确到 解 由对称性考虑 正四棱锥的底面中心应 该与正方形包装纸的中心重合 能包出最大体积 正四棱锥的可能情形只有两种 正四棱锥的底 边和正方形的对角线平行 正四棱锥的底边和 正方形的底边平行 设正四棱锥的底面边长为 侧面的斜高 为 情形 图 情形 图 对情景 解法 根据图示 可见 槡 得 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 数学通报 年 第 卷 第 期 槡 槡 槡 等号成立条件 槡 槡 即 槡 解法 对 式 中的 求导数 令 槡 槡 槡 槡 槡 熿 燀 燄 燅 解得 槡 槡 即 槡 不合题意舍去 对情景 解法 根据图示 可见 用平均不等式求最大值 槡 槡 槡 槡 槡 槡 等号成立条件 即 所以 最大值 槡 解法 对 式 中的 求导数 令 槡 槡 解得 即 不合题 意舍去 对情景 最大正四棱锥的边长约为 体积为 综合情景 和情景 可见 最大体积的正四 棱锥的边长约为 体积为 注 给出边长为 体积为 也算 正确 三 下图是一个将三个方块放在塑料支架上 拼成的三棱柱形日历 其中左侧两个方块的每个 面上各写着一个数字 用这两个方块上数字可以 拼出每月的日期 右侧方块上写 着 月至 月 请你尝试确定表示日期的两个方块上的数 字 把你的方案填到下面的表格中 并说明理由 六个面上的数字 方块 方块 解 方案不唯一 只要符合下面两个原则 两个方块上都有数字 和 通用 即其余数字是 或 这些数字一共填满两个方块的 个面 与每 个方块上 个数字的位置关系无关 例如 六个面上的数字 方块 方块 四 小王到某一个车站等公交车 该公交站有 两路公共车都可以把他带到目的地 两路车 先前曾同时到达了这个车站 其中 路车之后每 二十分钟再来一趟 路车之后每十二分钟再来 一趟 如果不考虑公交车晚点的情况 小王随机地 到达该站后 他等车的时间的均值是多少 解 不考虑汽车晚点的情况 如果这两路汽 车在 时同时到达 后面到达该站的时刻如 下表 时刻 到达 到达 可见 经过一个小时 两路车又同时到达 即 变化周期为一个小时 所以等候均值只需考虑一 个小时即可 各时间区段的时长如下表 分钟 时段 时段长 如果小王在时间区段 随机到达的话 由于在这 分钟他是等可能到达的 因此 他的 年 第 卷 第 期 数学通报 平均等待时间是 分钟 同理 在另外 个时间区 段上都是随机到达的话 他的平均等待时间就分 别是 分钟 分 钟 分钟 分 钟 分 钟 分钟 现在 把这几个平均等候时间做一下加权平 均 即 小王的平均等候时间 分钟 五 新华网北京 年 月 日电 首都 实行缓堵综合措施后 出现了早 晚高峰主干路网 流量下降 车速提高的效果 监测显示 今年 季 度比去年 季度交通运行情况有所改善 其中 早 高峰 主 干 路 网 流 量 下 降 速 度 上 升 这里的 流量 即为道路车流量 速度即 为 车流速度 表 时间段车辆数 请使用数学的语言给出 道路车流量 和 车流速度 的含义 表 记录的是在一个路段上不同时间段 通过的车辆数 以小车计算 大车已经折算成小 车 请由此估算该路段在 时的 车流量 怎样收集观测数据才能确定车流速度 解 道路车流量 单位时间通过的车辆 数 记作 车流速 度 单 位 时 间 车 流 经 过 的 距 离 记 作 表 中共有 个时段的数据 记 第 时段长 秒 第 时段通过的车辆数 第 时 段平均车头时距 即 秒 按专业公式 有 道路车流量 辆 小时 据此可经计算得 该路段在 的车流量可由上述 车流量的平均值 平均车流量 表示 经计算得 该 路段在 时的车流量为 辆 小时 按前面车流速度的定义 不易直接观测出 所需数据 再考虑车流量的定义 便得到 车流量 车流速度 车流密度 于是可以考虑获得一定 路长内的车辆数 从而得到车流密度 单位距离 内的车辆数 辆 公里 下面给出计算车流密度和 车流量所需数据的收集方法 在过街天桥上拍这段路的照片 车辆数 便在其中 根据 记录在这段路上该时间段 或 其中若干小段时间 内通过的车辆 上接第 页 与低的衔接 教学贵在简单 贵在有效 事实上 教学设计 不断有效的过程 其实就是不断去删繁就简的过 程 因为往往最深刻的东西就是最简单的东西 教学即研究