第十六届“华杯赛”小学组决赛试题C及参考答案.pdf

1 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 C 小学组 小学组 时间 2011 年 4 月 16 日 10 00 11 30 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 10 分分 共共 80 分 分 1 8 7 7 6 5 5 4 3 3 2 工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的 3 2 接着增加了 4 个人完成其余 的工程 那么完成这项工程共用了 天 3 甲乙两人骑自行车同时从 A 地出发去 B 地 甲的车速是乙的车速的 1 2 倍 乙骑了 4 千米后 自行车出现故障 耽误的时间可以骑全程的 6 1 排除故障 后 乙的速度提高了 60 结果甲乙同时到达 B 地 那么 A B 两地之间的 距离为 千米 4 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟 在圆形钟面的边界 每分钟的刻 度处都有一个小彩灯 晚上 9 时 37 分 20 秒时 在分针与时针所夹的锐角内 有 个小彩灯 5 在边长为 2 厘米的正方形 ABCD 中 分别以 A B C D 为 圆心 2 厘米为半径画四分之一圆 交点 E F G H 如图 所示 则中间阴影部分的周长为 厘米 取圆周率 3 141 6 用同一种颜色对44 方格的 7 个格子进行涂色 如果某列有 涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色 相邻两列 中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数 如右 图 那么共有 种涂色的图案 学校 姓名 参赛证号 密 封 线 内 请 勿 答 题 总分总分 2 7 已知某个几何体的三视图如右 图 根据图中标示的尺寸 单 位 厘米 这个几何体的体积 是 立方厘米 8 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数 其中每个数字是由横竖放 置的七支荧光管显示 如下图所示 某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮 显示的线路号为 351 则可能的线路号有 个 二 解答下列各题二 解答下列各题 每题 每题 10 分分 共共 40 分分 要求写出简要过程 要求写出简要过程 9 在右面的加法竖式中 不同的汉字可以代表相 同的数字 使得算式成立 在所有满足要求的 算式中 四位数华杯决赛的最小值是多少 10 长方形 ABCD 的面积是 70 平方厘米 梯形 AFGE 的顶点F 在BC 上 D是腰EG 的中点 试 求梯形 AFGE 的面积 11 求不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数 12 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数 则这个月的 21 日可能是 星期几 三 解答下列各题 每小题三 解答下列各题 每小题 15 分分 共共 30 分分 要求写出详细过程 要求写出详细过程 13 以 x表示不超过 x 的最大整数 设自然数 n 满足 2000 1515 1 15 3 15 2 15 1 nn 3 则 n 的最小值是多少 14 一个长 40 宽 25 高 60 的无盖长方体容器 厚度忽略不计 盛有水 深度 为 a 其中600 a 现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面 问放 入铁块后水深是多少 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题决赛试题 C 参考答案 小学组 参考答案 小学组 一 填空题填空题 每小题 10 分 共 80 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 24 11 17 40 36 11 4 188 7 9000 5 二 解答下列各题二 解答下列各题 每题 10 分 共 40 分 要求写出简要过程 9 答案答案 1000 解答解答 因为华杯决赛是四位数 所以不会小于 1000 当 华杯决赛 1000 十六届 990 兔年 21 时题目要求的等式成立 10 答案答案 70 解答解答 连接FD的直线与AE的延长线相交于H 则 DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o与 DHE 重合 DF DH 梯形 AEGF 的面积 AFH 的面积 2 AFD 的面积 长方形 ABCD 的面积 70 平方厘米 11 答案答案 17 解答解答 合数有 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 因为 4 6 9 19 所以 19 能写成 3 个不相等的合数之和 大于 19 的奇数 n 可 以表示成 n 19 2k k 是非零自然数 进而 n 4 9 6 2k 注意 6 2k 为大于 2 的偶数 是合数 所以不小于 19 的奇数都写成 3 个不相等的 合数之和 另外 17 不能写成 3 个不相等的合数之和 12 答案答案 4 6 解答解答 设这个月的第一个星期日是 a 日 71 a 则这个月内星期日的日期 是ak 7 k 是整数 317 ak 要求有三个奇数 当 a 1 时 要使 7k 1 是奇数 k 为偶数 即k 可取 0 2 4 三个值 此时 177 kak 分别为 1 15 29 这时 21 号是星期六 当a 2时 要使7k 2是奇数 k 为奇数 即k 可取1 3两个值 7k 2不可能有 三个奇数 当 a 3 时 要使 7k 3 是奇数 k 为偶数 即k 可取 0 2 4 三个值 此时 377 kak 分别为 3 17 31 这时 21 号是星期四 当74 a时 ak 7不可能有三个奇数 三 解答下列各题三 解答下列各题 每小题 15 分 共 30 分 要求写出详细过程 13 答案答案 252 解解 令km15 k 是自然数 首先考虑满足下式的最大的 m 2000 1515 1 15 3 15 2 15 1 mm 于是 2000 2 1315 2 1 15 15 1 152151150 1515 1 15 3 15 2 15 1 2 kk k kk kk mm 因此 40001315 2 kk 又 4000411417131715 2 4000363216131615 2 得知 k 最大可以取 16 当16 k时 m 240 注意到这时 81116184 2 3632 2000 2 1315 2000 2 kk 注意到 2000200812161816 15 121516 15 111516 15 21516 15 11516 15 1516 15 11516 15 2 15 1 而 2000199211161816 15 111516 15 3 15 2 15 1 所以 252 是满足题目要求的 n 的最小值 14 解答解答 由题设知 水箱底面积 S水箱 40 25 1000 水箱体积 V水箱 1000 60 60000 铁块底面积 S铁 10 10 100 铁块体积 V铁 10 10 10 1000 1 若放入铁块后 水箱中的水深恰好为 60 时 1000a 1000 60000 得 a 59 所以 当 59 a 60 时 水深为 60 多余的水溢出 2 若放入铁块后 水箱中的水深恰好为 10 时 1000a 1000 10000 得 a 9 所以 当 9 a