江苏省2014年专转本高等数学试卷及解答.pdfVIP

绝密 启用前 江苏省 2014 年普通高校专转本选拔考试 高等数学试题卷 注意事项 1 本试卷分为试题卷和答题卡两部分 试题卷共3 页 全卷满分150 分 考试时间120 分钟 2 必须在答题卡上作答 作答在试题卷上无效 作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置 3 考试结束时 须将试题卷和答题卷一并交回 一 选择题 本大题共6小题 每小题4分 共 24分 在下列每小题中 选出一个正确答案 请在答 题卡上将所选的字母标号与黑 1 若1x是函数 2 2 4 32 xxa fx xx 的可去间断点 则常数aC A 1 B 2 C 3 D 4 解 2 22 2 11 4 lim 4 lim 32 0 32 xx xxa xxaxx xx 则3a 2 曲线 43 2yxx的凸区间为B A 0 1 B 0 1 C 3 2 D 3 2 解 32 46yxx 2 121212 1 yxxx x 依题意 0y 即有01x 3 若函数fx的一个原函数为sinxx 则dfxxB A sinxxCB 2cossinxxxC C sincosxxxCD sincosxxxC 解 依题意 sin sincosf xxxxxx coscossin2cossinfxxxxxxx d 2cossinfxxfxcxxc 4 已知 zz x y 由方程 33 320zxyzx所确定 则 1 0 x y z x A A 1B 0C 1D 2 解 当10 xy 时1z 由 22 33 30 zz zy zxx xx 得 1 0 1 x y z x 5 二次积分 22 10 d d x xfx yy交换积分次序后得D A 22 10 d d y yf x yxB 12 00 d d y yf x yx C 12 02 d d y yf x yxD 12 01 d d y yf x yx 解 2212 1001 d dd d xy xfx yyyf x yx 6 下列级数中发散的是D A 1 1 n nn B 2 1 sin n n n C 2 1 11 2 n nn D 2 1 2 n nn 二 填空题 本大题共6 小题 每小题4 分 共 24 分 7 曲线 2 1 x y x 的水平渐近线的方程为 2 ey 解 22 limlim 1 e x xx y x 8 设曲线 32 912f xaxxx在2x处取得极小值 则 f x的极大值为5 解 2 31812fxaxx 依题意 2 1236120fa 即有2a 令 0fx 解得1x 又 1 12180f 因而当1x时 函数有极大值 1 5f 9 定积分 1 32 1 1 1dxxx的值为 2 解 111 32322 111 1 1d1d1d 2 xxxxxxxx 10 函数arctan y z x 的全微分dz 解 222 2 1 1 zyy y xxxy x 22 2 11 1 zx y yxxy x 22 1 ddd dd zz zxyy xx y xyxy 11 设向量为 1 2 1 a 1 01 b 两向量ab与ab的夹角为 3 解 设向量ab与ab的夹角为 而 2 2 0 ab 0 2 2 ab 依题意 41 cos 2 2 2 22 abab abab 3 12 幂级数 1 1 n n x n 的收敛域为 0 2 解 1 1 limlim1 1 1 xx n n n n 1 1x 111x 解得02x 当0 x时 级数为 1 1 n nn 收敛 而当1x时 级数为 1 1 nn 发散 收敛域为 0 2 三 计算题 本大题共8 小题 每小题8 分 共 64 分 13 求极限 2 0 11 lim arcsin x xxx 解 22 00 11arcsin lim lim arcsinarcsin xx xx xxxxx 3 0 arcsin lim x xx x 2 2 2 2 2222 000 1 1 1 111 1 2 lim limlim 36 3131 xxx x x x x xxxx 14 设函数 yf x由参数方程 2 1 e ee t y xt ty 所确定 求 0 d d t y x 解 当0t时 1x 1y 由ee y ty得 dd e0 dd y yy yt tt d de y yy tt 2 d 23 e d t x t t 于是 d d e 23 e yt yy xtt 0 1d 3ed t y x 15 求不定积分 2 ln xdxx 解 2222211 lndlnd ln2ln d 22 xx xx xxxxx x 2222221111 lnln dln lnd 2222 xxx xxxxxx x 2222111 lnln 224 xxxxxc 16 计算定积分 5 2 1 2 21 d 23 x x x 解 设21xt 则 21 1 2 xt 当 1 2 x时 0t 当 5 2 x时 2t 5 2 1 2 2 2 22 22 00 0 214 dd 1 d 2arctan 2 234422 xtt xttt xtt 17 求平行于x轴且通过两点 1 1 1 M 与 2 3 4 N 的平面方程 解 设所求平面的法向量n 依题意ni nMN 1 2 3 MN 10032 123 ijk njk 因而所求平面方程为3 1 2 1 0yz 即3210yz 18 设 22 sin zfx xy 其中函数f具有二阶连续偏导数 求 2 z y x 解 设sin xu 22 xyv 则 zf u v 2 2 zfv yf yvy 2 222 2122 22 2 cos2 fffzuv yyyxfxf y xxuxvx 19 计算二重积分 d d D xyx y 其中D是由三直线10yxyx 所围成的平面闭区域 解 1 010 2 11 1 d dd d d 2 x x D xyx yxxyyxyyx 0 22 1 1 1 d 2 xxxx 0 32 1 1111 6226 xxx 或 13 sin4 0 2 2 d dd cossin d D xyx yrr 3 3 4 4 2 2 32 1111 cossin d cot 3sin32sin 1 6 20 求微分方程 2 2e x yyx的通解 解对应齐次线性方程的特征方程为 2 20rr 解得 1 0r 2 2r 对应齐次方程的通解为 2 12e x ycc 由于2为特征单根 设特解 2 e x yx AxB 22222 2 e2 e 2 22 e xxx yAxBAxBxAxAB x 22222 4 22 e 2 2 22 e 4 84 22 e xxx yAxABAxAB xAxAB xAB 于是422AxABx 解得 1 4 A 1 4 B 2211 e 44 x yxx 原方程的通解为 222 12 11 e e 44 xx yccxx 四 证明题 本大题共2 小题 每小题9 分 共 18 分 21 证明 方程ln3xx在区间 2 3 内有且仅有一个实根 证明 设 ln3f xxx 显然函数 f x在 2 3 上连续 而 2 2ln 232 ln 21 10f 3 3 ln 31 0f 所以方程ln3xx在区间 2 3 内至少 有一个实根 又 ln10 1 fxxx 故方程ln3xx在区间 2 3 内至多有一个实根 因而 方程ln3xx在区间 2 3 内有且仅有一个实根 22 证明 当0 x时 2 1 e1ln 1 2 x xx 证明设 21 e1ln 1 2 x f xxx 1 e 1 x fxx x 2 1 e10 1 x fx x 因而当 0 x时 0 0fxf 进 而 有 0 0f xf 即 2 1 e1ln 1 0 2 x xx 即 有 21 e1ln 1 2 x xx 五 综合题 本大题共2 小题 每小题10 分 共 20 分 23 设平面图形D由抛物线 2 1yx及其在点 1 0 处的切线以及y轴所围成 试求 1 平面图形D的面积 2 平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积 解 过点 1 0 的切线方程为2 1 yx 切线与x轴 y轴的交点分别为 1 0 0 2 1 平面图形D的面积 1 1 22 0 0 111 1 2 1 d1 233 Sxxxx 2 1 1 22 0 0 121 12 1 d 3326 y Vyyyy 24 设 x是定义在 上的连续函数 且满足方程 0 d1 x tttx 1 求函数 x的解析式 2 讨论函数 2 1 0 1 0 2 x x x fx x 在0 x处的连续性与可导性 解 由 0 d1 x tttx得 xxx 即有 x x x 两边积分得 21 ln ln 2 xxc 1 2 1 2 e x xc 又 0 1得1c 所以 2 1 2 e x x 2 2 1 2 2 22 000