一元函数的换元积分法.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 一元函数的换元积分法一元函数的换元积分法 学生姓名 学 号 专 业 年 级 完成日期 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 0 中文摘要 不定积分的概念较为简单 但从计算上讲是较为复杂的 如同数学中一般 逆运算比正运算困难一样 不定积分作为微分运算的逆运算 其难易程度却相 差甚远 若把求导数比喻为将一根绳子打结 求不定积分则是解结 解结显然 比打结难 有时甚至解不开 而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常 有限的 因此 有必要进一步研究不定积分的其它计算方法 由复合函数的求 导法则可推得一种十分重要的积分方法 换元积分法 通常称为换元法 该法 可分为两类 即第一类和第二类换元法 关键词 关键词 一元函数一元函数 不定积分 换元法不定积分 换元法 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 目 录 中文摘要中文摘要 0 引言引言 1 1 1 换元积分法换元积分法 1 1 1 第一类换元积分法 1 1 2 第二类换元积分法 3 1 3 求三角函数 sin cos Rxx 的不定积分 10 总结总结 12 参考文献参考文献 13 致谢致谢 14 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言 换元积分法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法 其形式有两 种 第一类换元法和第二换元法 第一类换元法是由的原函数而获得 g u 的原函数主要采取的方法便是 凑 的方法 第二换元法是已知有原 f x f x 函数而用来得到的原函数 它是第一换元法的可逆过程 g u 1 换元积分法 定义 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分 即利用变量代换的方法将 所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其它形式来求函数的 不定积分 这种方法称为换元积分法 1 11 1 第一类换元积分法第一类换元积分法 定理定理 1 1 第一类换元积分法 若函数在可导 且 ux a b 有 则函数存在原函数 x u F uf u fxx 即 Fx fxx dxFxc 1 证法只需证明 Fxfxx 证明 证明 由复合函数的求导法则 有 FxF ux f ux fx x 第一类换元积分法指出 求 1 式等号左端的不定积分 设则化为 xu 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 求不定积分 若存在原函数 则 f u du f u F u f u du F uc 最后在将代入上式等号的左 右两端 就得到所求的不定积分 ux 由于 第一类换元积分法可表为 fxx dxFxc x dxdx xufxx dxfx dxf u du uxF ucFxc 第一类换元积分法的一般步骤 若某积分可化为的形式 且比较容易积分 g x dx fxx dx f u du 那么可按下列方法和步骤来计算所给积分 1 凑微分 设法将积分 变形为的形式 从而可 g x dx fxx dx 得 g x dx fxx dx fx dx 2 作变量代换 作变量代换 则 从而将积 ux dux dxdx 分变为 并计算该积分 g x dx fxx dx f u du 3 将变量回代 根据所作代换 用替换积分结构中的 从而求得结 x u 构得原积分的结果 即 ux g x d xf u duF ucFxc 注 显然第一步是第一类换元积分法的关键 第一类换元积分法叫做凑微分法 例例 1 1 求不定积分 与 5 1 1 Ixdx 100 2 1 Ixdx 解 解 用线性质可直接求得 135 2 222 1 1 510105 Ixxxxxdx 357 23 222 1 1052 54 337 xxxxxxc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 若用求的方法来计算 显然是不可想象的为此 可用第一类换元法来计 1 I 2 I 算 1 1 2 x x 100 2 2 1 1 Ixxx dx 100 2 1 1 1 1 xxdx 1x u 100 2 1 uudu 102101 2 11 2 102101 uuc 102101 2 12 1 1 51101 xxc 若用计算的方法来计算 2 I 1 I 应得 76 13 21 1 1 73 Ixxc 例例 2 2 求 2 dx xpxq 解 解 二次三项式在实数范围内无解 所以设有一对共 2 xpxq 2 xpxq 轭复根 这时 其中iu 2 xpxq 2 2 24 pp xq 2 x 2 u 2 p 对这一情形有 2 4 p uq 222 dxdx xpxqxu 1 arctan x c uu 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 22 1 2 arctan 44 p x c pp qq 1 1 2 2 第二类换元积分法第二类换元积分法 定理定理 2 2 第二类换元积分法 若函数在可导 xt 且 函数在有定义 有 atb 0t f x a bt 则函数在存在原函数 且 G tftt f x a b 1 f xGxc 证明 证明 已知有 则函数存在可导的反函数 t 0t xt 由复合函数和反函数的求导法则 有 1 tt 1 Gx 1 G tx 1 ftt t ftf x 第二类换元积分法指出 求式等号左端的不定积分 1 f x dxGxc 设 则化为求不定积分 若存在原函数 xt ftt dt ftt G t 则最后将代入上式等号右端 就得到所求的不 ftt dtG tc 1 tt 定积分由于 1 f x dxGtc t dtdt 第二类换元积分法可表为 xtf x dxftt dtG tc 1 tx 1 Gxc 例例 3 3 求 22 ax dx 0 a x a 22 ax 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 解 解 利用三角变换去根式 令 则 sinxat 22 t cosdxatdt arcsin x t a axa 根据公式 22222 sin cos t dt ft ax dxaat atdt 222 cos coscosattdtatdt 22 1 cos2 cos2 22 aa t dtdttdt 222 1 sin2 sin2 2224 aaa ttcttc 为把 回代成的函数 根据作一辅助直角三角形txsinxat 如图可知 代入上式得 22 cos ax t a 2 2222 arcsin 22 axx ax dxaxc a 例例 4 4 求 11 dx xx 分析 分析 被和函数中有两个不同的根号 作变换时应考将两个极号同时去掉 或变成其它可积出来的情形 解 解 令 2 2 1 2 t x t 于是 2 2 1 1 2 t x t 222 2 1 21 2 ttt dxdt tt 4 3 1 2 t dt t 从而有 11 dx xx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 4 223 11 11 2 1 22 t dt ttt tt 42 233 21 1 1 2222 tttt dtdt tttt 23 1111 1 2 dt ttt 2 111 ln 22 ttc tt 因为 2 1 2 t x t 所以 2 1 1 2 t x t 1xxt 故得 11 dx xx 1 2 2 111 1ln 1 21 1 xxxx xxxx c 2 x x 1 ln 1 2 xx 11 1 1 22 xxxxc 解法解法 2 2 先作恒等变形有 22 11 11 1 1 dxxx dx xxxx 11 2 xx dx x 1 2 x 11 22 1x x dx 1 11 22 xx xdx x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 令 于是 从而有 1x t x 2 1xtx 2 1 1 x t 22 2 1 t dxdt t 1x dx x 2 22222 2 22 1 1 1 tdtdt dt ttt 2 1111 ln 1211 t dt ttt 1 ln 1 t t 1 2 222 1 1 12 1 dtdtdt ttt 11111 ln 21211 t c ttt 1 ln 2 1111 2111 11 xx c xxxx xx 2 ln 1 1 xxxxc 将 2 代入 1 得到 1 ln 1 2211 dxx xxx xx 1 2 1 xx c 例例 5 5 求 22 dt xa 0a xa 解法解法 1 1 令 于是 secxat 0 22 t sec tandxattdt 其中当时取正号 时取负号 222 tantanxaatat 0 2 t 2 t 22 sec tan tan dxattdt at xa secln sectantdtttc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 当 22 22 lnln xxa cxxac aa xa 当 又因当 时有 22 22 lnln xxa cxxac aa xa xa 222 2222 22 lnlnln xax xxaxax xxa 2 222 22 lnlnln a xxaa xxa 所以对所有均有xa 22 22 ln dx xxac xa 例例 6 6 求 1 1 x dx x 解 解 2 11 11 241 111 x xx x dxdxdxI xxx 由于 1 1 1 x dxxt x 令 2 1 22 242 222ln 222 tt dtdttc ttt 1 12 2 12ln 12 x xc x 2 11 2411 sec 122 x dxx x 令 23 1tansec1secsec 23sec23sec d 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 2 18sec sec3sec 2sec3 d 134 tanln sectan 223cos1 d 2 tan 132 tanln sectan4 22 1 2tan 2 d 2 2 tan1 13 2 tanln sectan2ln 22 2 tan1 2 c 2 321 1ln 212 1 2ln 221 xx xxxxxc xx 1212 2 112ln 1212 xxx Ixxx xxx 3 2 ln 2 1 21xxxc 12 ccc 例例 7 7 试用多种方法求不定积分 2 4 dx xx 解法解法 1 1 相继使用第一 第二换元积分法 得到 令 2 22 2 121 242 1 12 1 dxdu d x u x xx secut 1sec tan1 ln sectan 2tan2 ttdt ttc t 2 2 11 ln1ln 22 24 x uucc x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 解法解法 2 2 由于 12 2 2 x dx xxx 因此又可令由此解出 2 2 x t x 2 2 2 1 1 t x t 2 2 4 2 1 t x t 并得到 22 8 1 t dxdt t 22 22222 118 2 1 4 1 1 tttdt tdt tttt 11122 lnln 21222 txx cc txx 2 1 ln 2 24 x c x 1 1 3 3 求三角函数求三角函数 的不定积分的不定积分 sin cos Rxx 常常有多种方法 其中有一种是万能的 尽管这种方法 sin cos Rxx dx 不是最简便的 设 有 tan 2 x t x 2arctanxt 2 2 1 dxdt t 2 222 2sincos2tan 2 222 sin 1 sincos1tan 222 xxx t x xxx t 222 2 2 222 cossin1tan 1 222 cos 1 cossin1tan 222 xxx t x xxx t 有 2 222 212 sin cos 111 tt Rxx dxRdt ttt 显然 上式等号右端的被积函数是有理函数 因此三角函数存在 sin cos Rxx 被等函数的原函数 焕元 称为关于的万能换元 tan 2 x t sin cos Rxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 例例 8 8 求 2 2 1 1 2 cos r dx rxr 01 rx 解 设有 tan 2 x t 2arctanxt 2 2 1 dxdt t 2 2 1 cos 1 t x t 22 222 2 2 112 11 2 cos1 1 2 1 rr dxdt trxrt rr t 2 222 22 2 1 2 1 1 1 1 1 1 rrdt dt r rrtr t r 11 2arctan2arctan tan 112 rrx tcc rr 在某些特殊情形下 要会选择更方面的变量替换 例如 可令 1 sin cos sin cos RxxRxx costx 可令 2 sin cos sin cos RxxRxx sintx 可令 3 sin cos sin cos RxxRxx tantx 例例 9 9 求 44 cos2 sincos x dx xx 解 解 本题属上述特殊情形 3 令则有tantx 222 444 cossin1tan tan sincostan1 xxx dxdx xxx 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 t t dtdt t t t 2 1 1 2 t t dt t t 1 ut t 令 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 2 2 du u 111 2 222 du uu 12 ln 2 22 u c u 2 2 1sec2 tan ln 2 2sec2 tan xx c xx 总结 此论文中主要介绍解不定积分过程中有难易程度的有些问题所利用的一种方 法 换元积分法