机器人学 第二章运动学.ppt

1 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 1 位置的描述对于直角坐标系 A 空间任一点的位置可用3 1阶的列矢量来表示 也称位置矢量 除了直角坐标系外 也可采用圆柱坐标系或球坐标系来描述点的位置 2 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 圆柱坐标 cylindrical 两个线性平移运动和一个旋转运动球坐标 spherical 一个线性平移运动和两个旋转运动 3 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 1 位置的描述可以引入比例因子 比例因子可为任意值 相当于缩放 当为零时 表示为一个长度为无穷大的向量 表示方向向量 由该向量的三个分量来表示 此时需将该向量归一化 使长度为1 其中 4 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 2 方位的描述为了规定空间某刚体B的方位 另设一直角坐标系 B 与此刚体固接 用坐标系 B 的三个单位主矢量 相对于坐标系 A 的方向余弦组成的3 3阶矩阵来表示刚体B相对于 A 的方位 5 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 2 坐标系在固定参考坐标系中的表示 由表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示 n轴与x轴平行 o轴相对于y轴45 a轴相对于z轴45 F坐标系位于参考坐标系3 5 7位置 例 6 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 表示坐标系 B 主轴方向的单位矢量 相对于坐标系 A 的描述 将这些单位矢量组成一个3 3的矩阵 按照的顺序 旋转矩阵 标量可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示 7 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 3 旋转矩阵计算称为旋转矩阵 上标A代表参考系 A 下标B代表被描述的坐标系 B 重要 8 Frame A andframe B B isrotatedrelativetoframe A aboutZbydegrees 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 9 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示 的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示为了简单 上式的前置上标被省略 由两个单位矢量的点积可得到二者之间的余弦 因此可以理解为什么旋转矩阵的各分量常被称作为方向余弦 componentsofrotationmatricesareoftenreferredtoasdirectioncosines PA PB PA PB cos 10 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 进一步观察 可以看出矩阵的行是单位矢量 A 在 B 中的描述 因为为坐标系 A 相对于 B 的描述由转置得到这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置 11 4 旋转矩阵性质1 矩阵有9个元素 其中只有3个是独立的 因为三个列矢量都是单位主矢量 且两两相互垂直 所以它的9个元素满足6个约束条件 正交条件 2 把矢量在 B 中的坐标表达式变为在 A 中的坐标表达式的变换矩阵 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 位置和姿态的描述 3 是正交矩阵 即有 12 第二章机器人运动学 2 2空间描述和坐标变换 坐标系的描述 用和来描述坐标系 13 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 1 平移坐标系的映射设坐标系 B 与 A 具有相同的方位 但是 B 的坐标原点与 A 不重合 用位置矢量描述它相对于 A 的位置 称为 B 相对于 A 的平移矢量 如果点P在坐标系 B 中的位置为 则它相对于坐标系 A 的位置矢量可由矢量相加得出 14 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 2 旋转坐标系的映射设坐标系 B 和 A 有共同的原点 但是两者的方位不同 同一点P在两个坐标系 A 和 B 中的描述和具有以下变换关系 称为坐标系旋转方程 用旋转矩阵表示坐标系 B 相对于 A 的方位 同样 用描述坐标系 A 相对于 B 的方位 二者都是正交矩阵 两者互逆 15 Example Frame B isrotatedrelativetoframe A aboutZby30degrees HereZispointingoutofthepage Writingtheunitvectorsof B intermsof A andstackingthemasthecolumnsoftherotationmatrix TheoriginalvectorPisnotchanged wecomputeanewdescriptionrelativetoanotherframe 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 16 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 关于一般坐标系的映射坐标系 B 的原点与 A 的既不重合 方位也不相同 复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的 17 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 齐次变换复合变换式对于点而言是非齐次的 但是可以将其表示成等价的齐次变换形式 其中 4 1的列向量表示三维空间的点 称为点的齐次坐标 仍然记为或 上式可以写成矩阵形式 齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合 可将其分解成两个矩阵相乘的形式 18 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 连续旋转平移变换连续相对转动 可把基本矩阵连乘起来 由于选转矩阵不可交换 故完成转动的次序是重要的 如果 B 坐标系相对于 A 坐标系的坐标轴转动 则对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵 如果 B 坐标系相对于 B 坐标系的坐标轴转动 则对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵 例 假设 B 相对 A 的轴依次进行了下面三个变换 1 绕x轴旋转度 2 接着平移 3 最后绕y轴旋转度 19 Example Frame B isrotatedrelativetoframe A aboutZby30degrees translated10unitsin andtranslated5unitin Find where Thedefinitionofframe B isWeusethedefinitionof B justgivenatransformation 第二章机器人运动学 2 3映射 坐标变换 20 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 用于坐标系间点的映射的通用数学表达式被称为算子包括点的平移算子 矢量旋转算子和平移加旋转算子 1 平移算子 Translationaloperators Atranslationmovesapointinspaceafinitedistancealongagivenvectordirection Onlyonecoordinatesystemneedbeinvolved Itturnsoutthattranslatingthepointinspaceisaccomplishedwiththesamemathematicsasmappingthepointtoasecondframe Thedistinctionis whenavectorismoved forward relativetoaframe wemayconsidereitherthatthevectormovedforwardorthattheframemovedbackword Themathematicsinvolvedinthetwocasesisidentical onlyourviewofthesituationisdifferent 21 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 运算的结果得到一个新的矢量 计算如下 用矩阵算子写出平移变换whereqisthesignedmagnitudeofthetranslationalongthevectordirection 22 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 算子可以被看成是一种特殊形式的齐次变换 式中是平移矢量Q的分量通过定义 B 相对于 A 的位置 用 我们使得这两个描述具有相同的数学表达式 现在引入了 我们可以用它来描述坐标系和映射 23 2 旋转算子 Rotationaloperators Anotherinterpretationofarotationmatrixisasarotationaloperatorthatoperatesonavectorandchangesthatvectortoanewvector bymeansofarotation R Whenarotationmatrixisshownasanoperator nosub orsuperscriptsappear becauseitisnotviewedasrelatingtwoframe Wemaywrite Again themathematicsisthesame onlyourinterpretationisdifferent Howtoobtainrotationalmatricesthataretobeusedasoperators Therotationmatrixthatrotatesvectorsthroughsomerotation R isthesameastherotationmatrixthatdescribesaframerotatedbyRrelativetotherefrenceframe 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 24 Althougharotationmatrixiseasilyviewedasanoperator wecanalsodefineanothernotationforarotationaloperatorthatclearlyindicateswhichaxisisbeingrotatedabout isarotationaloperatorthatperformsarotationabouttheaxisdirectionbydegrees Forexample 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 25 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 Example Figureshowsavector WewishtocomputethevectorobtainedbyrotatingthisvectoraboutZby30degrees Callthenewvector Therotationmatrixthatrotatesvectorsby30degreesaboutZisthesameastherotationmatrixthatdescribesaframerotated30degreesaboutZrelativetothereferenceframe Thus thecorrectrotationaloperatoris 26 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 3 变换算子 Transformationoperators Aswithvectorsandrotationmatrices aframehasanotherinterpretationasatransformationoperator Intheinterpretation onlyonecoordinatesystemisinvolved andsothesymbolTisusedwithoutsub orsuperscripts Howtoobtainhomogeneoustransformthataretobeusedasoperators ThetransformthatrotatesbyRandtranslatedbyQisthesameasthetransformthatdescribesaframerotatedbyRandtranslatedbyQrelativetotherefrenceframe 27 Example Figureshowsvector WewishtorotateitaboutZby30degreesandtranslateit10unitsinand5unitsin Find where TheoperatorT whichperformsthetranslationandrotation 第二章机器人运动学 2 4算子 平移 旋转和变换 28 第二章机器人运动学 2 5总结和说明 Summaryofinterpretations 1 齐次变换阵是坐标系的描述 describestheframe B relativetotheframe A descriptionofaframe 2 齐次变换阵是变换映射 maps 3 齐次变换阵是变换算子 Toperatesontocreate Fromthispointon thetermsframeandtransformwillbothbeusedtorefertoapositionvectorplusanorientation Frameisthetermfavoredinspeakingofadescription Transformisusedmostfrequentlywhenfunctionasamappingoroperatorisimplied Notethattransformationaregeneralizationsof andsubsume translationsandrotations wewilloftenusethetermtransformwhenspeakingofapurerotation ortranslation 29 第二章机器人运动学 2 6变换算法 齐次变换的计算1 相乘 对于给定的坐标系 A B 和 C 2 求逆 如果知道坐标系 B 相对 A 的描述 希望得到 A 相对 B 的描述 30 Example Frame B isrotatedrelativetoframe A aboutby30degreesandtranslatedfourunitsinandthreeunitsin Thus wehaveadescriptionof Find Theframedefining B is 第二章机器人运动学 2 6变换算法 31 CHAPTER2 Spatialdescription 2 7变换方程 Figureindicatesasituationinwhichaframe D canbeexpressedasproductsoftransformationsintwodifferentways Wecansetthesetwodescriptionsofequaltoconstructatransformequation Transformequationscanbeusedtosolvefortransformsinthecaseofnunknowntransformsandntransformequations 32 Considerinthecasethatalltransformsareknownexcept Here wehaveonetransformequationandoneunknowntransform hence weeasilyfinditssolution 注意 在所有的途中 我们都采用了坐标系的图形表示法 即用一个坐标系的原点指向另一个坐标系的原点的箭头来表示 将箭头串联起来 通过简单的变换方程就可得到混合坐标系 箭头的方向指明了坐标系定义的方式 如果有一个箭头的方向与串联的方向相反 就先求出它的逆 CHAPTER2 Spatialdescription 2 7变换方程 33 Example 假定已知操作臂末端执行器的坐标系 它是相对于操作臂基座的坐标系 B 定义的 又已知工作台相对于操作臂基座的空间位置 并且已知工作台上螺栓的坐标系相对于工作台坐标系的位置计算螺栓相对于操作手的位姿 CHAPTER2 Spatialdescription 2 7变换方程 34 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 Problem 能否用少于九个数字来表示一个姿态 Aresultfromlinearalgebra knownasCayley sformula foranyproperorthonormalmatrixR thereexistsaskew symmetricmatrix S ST Ssuchthat askew symmetricmatrixofdimension3isspecifiedbythreeparametersas 任何3 3的旋转矩阵都可用三个参量确定 35 显然 旋转矩阵的九个分量线性相关 实际上 对于一个旋转矩阵R很容易写出六个线性无关的分量 假定R为三列 Thesethreevectorsaretheunitaxesofsomeframewritternintermsoftherefrenceframe Eachisaunitvector andallthreemustbemutuallyperpendicular soweseethattherearesixconstrainsonthenineparameters 是否能找到一种姿态表示法 用三个参量就能简便进行表达 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 36 Whereastranslationsalongthreemutuallyperpendicularaxesarequiteeasytovisualize rotationsseemlessintuitive Unfortunatelypeoplehaveahardtimedescribingandspecifyingorientationinthree dimensionalspace Onedifficultyisthatrotationsdon tgenerallycommute Thatis Example 考虑两个轴旋转 一个绕Z转30度 另一个绕X轴转30度 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 37 Example 固连在坐标系 B 上的点 1 绕z轴旋转90度 1 绕z轴旋转90度 2 然后绕y轴转90度 2 再平移 4 3 7 3 最后再平移 4 3 7 3 然后绕y轴转90度 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 38 1 X Y Z固定角坐标系 fixedangles 下面介绍描述坐标系 B 姿态的另一种方法 Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe A Rotate B firstaboutbyanangle thenaboutbyanangle and finally aboutbyanangle 每个旋转都是绕着固定参考坐标系 A 的轴 我们规定这种姿态的表示法为X Y Z固定角坐标系 固定 一词是指旋转是在固定 即不运动的 参考坐标系中确定的 有时把它们定义为回转角 俯仰角和偏转角 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 39 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 可以直接推导等价旋转矩阵 因为所有的旋转都是绕着参考坐标系各轴的 whereisshorthandfor for 最重要的是搞清楚上式中的旋转顺序 Equationaboveiscorrectonlyforrotationsperformedintheorder aboutbyanangle thenaboutbyanangle and finally aboutbyanangle 常常使人感兴趣的是逆解问题 即从一个旋转矩阵等价推出X Y Z固定角坐标系 逆解取决于求解一组超越方程 如果方程相当于一个已知的旋转矩阵 那么就有九个方程和三个未知量 在这九个方程中有六个方程是相关的 40 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 Let Insummary Althoughasecondsolutionexists byusingthepositivesquarerootintheformulafor wealwayscomputethesinglesolutionforwhich Thisisusuallyagoodpractice If thesolutiondegenerates Inthosecases onepossibleconventionistochoose 41 2 Z Y X欧拉角 Eulerangles 坐标系 B 的另一种表示法如下 Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe A Rotate B firstaboutbyanangle thenaboutbyanangle and finally aboutbyanangle Inthisrepresentation eachrotationisperformedaboutanaxisofthemovingsystem B ratherthanoneofthefixedrefrence A SuchsetsofthreerotationsarecalledEulerangles Notethateachrotationstakesplaceaboutanaxiswhoselocationdependsupontheprecedingrotations CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 42 Wecanwrite 注意这个结果与以相反顺序绕固定轴旋转三次得到的结果完全相同 总之 这是一个不太直观的结果 三次绕固定轴旋转的最终姿态和以相反顺序三次绕运动坐标轴旋转的最终姿态相同 因为等价 所以无需通过旋转矩阵的反复计算去求Z Y X的欧拉角 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 43 3 Z Y ZEuleranglesDescribingtheorientationofaframe B asfollow Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe A Rotate B firstaboutbyanangle thenaboutbyanangle and finally aboutbyanangle Extracting CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 44 4 其它角坐标系的表示法Intheprecedingsubsectionswehaveseenthreeconventionsforspecifyingorientation X Y Zfixedangles Z Y XEulerangles andZ Y ZEulerangles 每个表示法均需要按一定顺序进行三次绕主轴的旋转 这些表示法是24种表示法中的典型方法 且都被称作角坐标系表示法 其中 12种为固定角坐标系法 另12种为欧拉角坐标系法 注意到由于二者之间的对偶性 对于绕主轴连续旋转的旋转矩阵实际上只有12种唯一的参数表示方法 感兴趣的同学可以参考本书附录B CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 45 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 5 等效轴角坐标系表示法Withthenotationwegivethedescriptionofanorientationbygivinganaxis X andanangle30degrees Thisisanexampleofanequivalentangle axisrepresentation Iftheaxisisageneraldirection ratherthanoneoftheunitdirections anyorientationmaybeobtainedthroughproperaxisandangleselection Describingtheorientationofaframe B asfollow Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe A ThenRotate B firstaboutthevectorbyanangleaccordingtotheright handrule Vectoriscalledtheequivalentaxisofafiniterotation 46 CHAPTER2 Spatialdescription 2 8姿态的其它描述方法 Ageneralorientationof B relativeto A maybewrittenasor Thespecificationofthevectorrequiresonlytwoparameters becauseitslengthisalwaystakentobeone Theanglespecifiesathirdparameter Theequivalentrotationmatrixis where and Thesignofisdeterminedbytheright h