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通信原理 通信原理 第八讲第八讲 2 5 窄带随机过程 2 5 窄带随机过程 所谓窄带系统 是指其通带宽度 f 且远离零频率的系统 实际 中 大多数通信系统都是窄带型的 通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过 程 如用示波器观察其一个实现的波形 它是一个频率近似为 包络和相位 随机缓变的正弦波 c f c f c f 图 2 7 窄带过程的频谱和波形示意 窄带随机过程 t 可用下式表示 cos 0 c ta ttta t ct 2 5 1 等价式 cos sin ccs tttt 2 5 2 其中 cos c ta tt 2 5 3 sin s ta tt 2 5 4 式中 及tta 分别是 t 的随机包络和随机相位 tt sc 及分别称为 t 的同相分量和正交分量 它们也是随机过程 显然它们的变化相对于载波 t c cos的变化要缓慢得多 一 同相和正交分量的统计特性 一 同相和正交分量的统计特性 设窄带过程 t 是平稳高斯窄带过程 且均值为零 方差为 2 1 数学期望 sin cos ttttEtE cscc cos sin ccs EttEt ct 2 5 5 已设 t 平稳且均值为零 所以 2 5 6 0 0 c s Et Et 2 自相关函数 R t tEtt cos sin ccs Etttt c cos sin ccsc tttt coscos cossin sincos sinsin ccc cscc sccc scc R t ttt Rt ttt Rt ttt R t ttt 2 5 7 式中 ttEttR ttEttR ttEttR ttEttR sss cssc sccs ccc 因为 t 是平稳的 故有 RttR 这就要求式 2 5 7 的右边也应该与 t 无关 而仅与时间间隔 有关 若取使 0sin t c 的所有 t 值 则式 2 5 7 应成立 cos sin cccs RR t tRt t c 2 5 8 这时 显然应有 cscs cc RttR RttR 所以 式 2 5 8 变为 cos sin cccs RRR c 2 5 9 再取使0cos t c 的所有 t 值 同理有 cos sin scscc RRR 2 5 10 其中应有 scsc ss RttR RttR 由以上分析可知 如果窄带过程 t 是平稳的 则 tt sc 与也必将是平稳的 式 2 5 9 和式 2 5 10 应同时成立 故有 cs RR 2 5 11 cssc RR 2 5 12 可见 同相分量 t c 和正交分量 t s 具有相同的自相关函数 而且根据互相关 函数的性质 应有 sccs RR 将上式代入式 2 5 13 可得 scsc RR 2 5 13 同理可推得 cscs RR 2 5 14 式 2 5 13 2 5 14 说明 t c t s 的互相关函数 sc R cs R都是 的奇函数 在 0 时 0 0 0 sccs RR 2 5 15 于是 由式 2 5 9 及式 2 5 10 得到 2 5 16 0 0 0 cs RRR 即 2 5 17 222 cs 这表明 t t c 和 t s 具有相同的平均功率或方差 Q均值为 0 另外 因为 t 是平稳的 所以 t 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的 随机变量 故在式 2 5 2 中有 取 0 111 tttt c 时 取 2 3 222 tttt s c 时 所以 1 t c 2 t s 也是高斯随机变量 从而 t c t s 也是高斯随机过程 又 根据式 2 5 15 可知 t c t s 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量 因而它们还是统计独立的 综上所述 一个均值为零的窄带平稳高斯过程 t 它的同相分量 t c 和 正交分量 t s 也是平稳高斯过程 而且均值都为零 方差也相同 此外 在同 一时刻上得到的 c 和 s 是互不相关的或统计独立的 二 包络和相位的统计特性 二 包络和相位的统计特性 c 和 s 的联合概率密度函数为 22 22 1 exp 22 cs cscs fff 2 5 18 设 a的联合概率密度函数为 af 则利用概率论知识 有 cs cs f af a 2 5 19 根据式 2 5 3 和 2 5 4 在 t 时刻随机变量之间的关系 sin cos a a s c 得到 a sc sc sc aa a aa cossin sincos 于是 22 2 2 22 cos sin exp 22 exp 22 cs aaa f aa f aa 2 5 18 注意 这里 20 0 在 而 a内取值 再利用概率论中边际分布知识 22 22 0 2 22 exp 22 exp 0 2 520 2 aa f af add aa a 可见 服从瑞利分布 a 同理 2 22 00 1 exp 22 1 02 2 aa ff adada 2 5 21 可见 服从均匀分布 综