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数学奥林匹克专题讲座一、立体图形 空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化，空间想象能力还需要提高。将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路。（一）立体图形的表面积和体积计算例1：一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm2，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？解：水的体积为722.5=180（cm3），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-66=32（cm2）的柱体，所以它的高为18032=5（cm）。例2：右图表示一个正方体，它的棱长为4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？分析：正方体有6个面，而每个面中间有一个正方形的孔，在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面积有关系。由于大正方体的棱长为4cm，而小正方体的棱长为1cm，所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面，在计算表面积时都要考虑。解：大正方体每个面的面积为44-11=15（cm2），6个面的面积和为156=90（cm2）。小正方体的每个面的面积为11=1（cm2），5个面的面积和为15=5（cm2），6个小正方体孔的表面积之和为56=30（cm2），因此所求的表面积为9030=120（cm2）。想一想，当挖去的小正方体的棱长是2cm时，表面积是多少？请同学们把它计算出来。例3：正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数。而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。解：根据“正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数”的条件，可知正方体的棱长有5，6，7，8，9这五种可能性。根据“将正方形面积的两位数中两个数码调过来恰好是三位数的十位上与个位上的数码”，可知这个正方体的棱长是7(如下表)。因此这个正方体的体积是777=343。例4：一个长、宽和高分别为21cm，15cm和12cm的长方体，现从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？解：根据长方体的长、宽和高分别为21cm，15cm和12cm的条件，可知第一次切下尽可能大的正方体的棱长是12cm，其体积是121212=1728（cm3）。这时剩余立体图形的底面形状如图1，其高是12cm。这样，第二次切下尽可能大的正方体的棱长是9cm，其体积是999=729（cm3）。这时剩余立体图形可分割为两部分：一部分的底面形状如图2，高是12cm；另一部分的底面形状如图3，高是3cm。这样，第三次切下尽可能大的正方体的棱长是6cm，其体积是666=216（cm3）。因此，剩下的体积是211512-（1728729216）=3780-2673=1107（cm3）。说明：如果手头有一个泥塑的长方体和小刀，那么做出这道题并不难。但实际上，我们并没有依赖于具体的模型和工具，这就是想象力的作用。我们正是在原有感性经验的基础上，想象出切割后立体的形状，并通过它们各个侧面的形状和大小表示出来。因此，对一个立体图形，应该尽可能地想到它的原型。例5：下图是一个长27cm，宽8cm，高8cm的长方体。现将它分为4部分，然后将这4部分重新组拼，能重组为一个棱长为12cm的正方体。请问应该怎么分？解：重组成的正方体的棱长是12cm，而已知长方体的宽是8cm，所以要把宽增加4cm，为此可按下图1中的粗线分开，分开后重组成图2的形状；图2的高是8cm，也应增加4cm，为此可按图2中的虚线分开，分开后重组成图3的形状。图3就是所组成的棱长为12cm的正方体。说明：这里有一个朴素的思想，就是设法把不足12cm的宽和高补成12cm的棱长，同时按照某种对称的方式分割。在解关于立体图形的问题时，需要有较丰富的想象力，要能把平面图形在头脑中“立”起来，另外还应有一定的作图本领和看图能力。例6：雨哗哗地不停地下着，如在雨地里放一个如右图那样的长方体的容器（单位：cm），雨水将它下满要用1时。有下列（1）（5）不同的容器，雨水下满各需多长时间？解：根据题意知雨均匀地下，即单位面积内的降雨量相同。所以雨水下满某容器所需的时间与该容器的容积和接水面（敞开部分）的面积之比有关。因为在例图所示容器中需1时接满，所以：（二）立体图形的侧面展开图例7：右上图是一个立体图形的侧面展开图（单位：cm），求这个立体图形的表面积和体积。解：这个立体图形是一个圆柱的四分之一，圆柱底面半径为10cm，高为8cm。它的表面积为例8：右上图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请其展开图中画出四边形APQC的四条边。解：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号。（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：AA，CC，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如上图。例9：如右图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）。这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面。这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样。因此，多面体的顶点总数为 92=18（个）。在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条。因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为19342=36（条）。综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+183674。说明：数学家欧拉曾给出一个公式：VF-E2。公式中的V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数。根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：E=VF-2=2018-2=36（条）。（三）立体图形的截面与投影例10：用一个平面去截一个正方体，可以得到几边形？解：如图，可得到三角形、四边形、五边形和六边形。例11：一个棱长为6cm的正方体，把它切开成49个小正方体。小正方体的大小不必都相同，而小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个数各是多少？解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。如果能切出1个棱长为5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm的正体体，共切出小正方体1（63-53）1=92（个）。因为9249，所以不可能切出棱长为5cm的正方体。如果能切出1个棱长为4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm或2cm的正方体。设切出棱长为1cm的正方体有a个，切出棱长为2cm的正方体有b个，则有设切出棱长为1cm的正方体有a个，棱长为2cm的正方体有b个，棱长为3cm的正方体有c个，则解之得a=36，b=9，c=4。所以可切出棱长为1cm、2cm和3cm的正方体各为36、9和4个。例12：现有一个棱长1cm的正方体，一个长宽1cm、高2cm的长方体，三个长宽1cm、高3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。解：立体图形的形状如右图所示。从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；隐藏着的面积有2cm2。一共有181612246（cm2）。练习：1一个长方体水箱，从里面量得长40cm、宽30cm、深35cm，里面的水深10cm。放进一个棱长20cm的正方体铁块后，水面高多少厘米？2王师傅将木块刨成横截面如右图（单位：cm）那样的高40cm的一个棱柱。虚线把横截面分成大小两部分，较大的那部分的面积占整个底面的60。这个棱柱的体积是多少立方厘米？3在底面为边长60cm的正方形的一个长方体的容器里，直立着一根高1m，底面为边长15cm的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24cm，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？4右边各图形中，有的是正方体的展开图，写出这些图形的编号。5小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形，一种是长方形。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是12。她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（如下图），正好将纸板用完。在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？6请你在下面图（2）中画出3种和图（1）不一样的设计图，使它们折起来后都成为右图所示的长方形盒子（直线段与各棱交于棱的中点）。7在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从正南方向看如下左图，从正东方向看如下右图，要摆出这样的图形至多用多少块正方体木块？至少需要多少块正方体木块？8有一个正方体，它的6个面被分别涂上了不同的颜色，并且在每个面上至少贴有一张纸条。用不同的方法来摆放这个正方体，并从不同的角度拍下照片。（1）洗出照片后，把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来，最多可以选出多少张照片？（2）观察（1）中选出的照片，发现各张照片里的纸条数各不相同。问：整个正方体最少贴有多少张纸条？答案：1. （15cm）。解：若铁块完全浸入水中，则水面将提高此时水面的高小于20cm，与铁块完全浸入水中矛盾，所以铁块顶面仍然高于水面。此时水深与容器底面积的乘积应等于原有水量的体积与铁块浸入水中体积之和。设放进铁块后，水深为xcm，则4030x403010+2020x，解得x=15，即放进铁块后，水深15cm。2. （19200cm3）。解得x=16。这个棱柱的体积是（12+24）162604019200（cm3）。3. （25.6 cm）。解：容器里的水共有（6060-1515）50168750（cm3）。当把铁棍提起24cm时，铁棍仍浸在水中的部分的长是（168750-606024）（6060-1515）=24.4（cm），所以露出水面的浸湿部分长50-24.4=25.6（cm）。4.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11个。5. （12）。解：设一共做了x个竖式纸盒，y个横式纸盒。注意到这两种纸盒都是无盖的，x个竖式纸盒共用x个正方形和4x个长方形纸板； y个横式纸盒共用2y个正方形和3y个长方形纸板。根据题意，得2（x+2y）=4x+3y，化简为2x=y，即 xy=12。6.如右图所示：7.至少要6块正方体木块（右图），至多需要20块正方体木块（右图）。图中的数字表示放在这一格上的正方体木块的层数。8.（1）26张；（2）39张。解：（1）1个面的6种，2个面（即1个棱）的12种，3个面的 8种，共6+12+8=26（张）。（2）因为26张照片上纸条数各不相同，所以纸条数至少也得有1+2+3+26=351（张）。但在这26张照片中，很多纸条是被重复计算的。每个面上的纸条在单独面拍摄时出现1次，在2个面拍摄时出现4次，在3个面拍摄时出现4次，共被计数9次。所以实际纸条数至少为351939（张）。二、列方程解应用题 在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。（一）列简易方程解应用题10x+1，从而有3（105+x）=10x+1，7x299999，x42857。答：这个六位数为142857。说明：这一解法的关键有两点： 示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。一是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；二是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。例2：有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。解得x500。推知队伍长为（2.6-1.4）500=600（米）。答：队伍长为600米。说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。例3：铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）22或（x-3）26，由此不难列出方程。解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）22=（x-3）26。解得x=14。所以火车的车身长为（14-1）22=286（米）。答：这列火车的车身总长为286米。例4：如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方390=270（米），故有72x65x+270。由于正方形边长为90米，共四条边，故由可推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。例5：一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为21。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？分析：这是流水中的行程问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。解答本题的关键是要先求出水流速度。解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时。根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为12，即（8-a）（8a）12，再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有解得x=20。答：两港相距20千米。例6：某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行x时，客车能否在115分钟完成。解：把150人分3批，每批50人，步行速度为4千米/时，汽车速度解得x1.5（时），即每人步行90分，乘车25分。三批人5时同时出发，第一批人乘25分钟车到达A点，下车步行；客车从A立即返回，在B点遇上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在C点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算。次返回的时间是20分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用252202=90（分），还有115-90=25（分），正好可把第三批人按时送到。因此可以按上述方法安排。说明：列方程，解出需步行90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车25分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。(二)引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。例7:某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意式得由，得将代入，得 说明：此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。例8:整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。若能消去a，b，c，便可解决问题。解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有-，得36b=120C。 -，得96xc=1800c36b。 将代入，得96xc1800c+120c。解得x=20。答：有20头牛。例9:从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？，得解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得将y=210x代入式，得解得x140。答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。(三)列不定方程解应用题有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。例10:六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？解：设该班有x个男生和y个女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y），化简后得8x=7y。从而全班共有学生在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以推知x21，y=24。答：该班有21个男生和24个女生。例11:小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=413y。显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5。答：小明至多套中小鸡5次。例12:某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所做衣服套数最多。一般情况，设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子，它们的比为在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这的效率高，故这7天全安排这两组生产单一产品。设甲组生产上衣x天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣y天，生产裤子（7-y）天，则4个组分别共生产上衣、裤子各为678x+9y（件）和11710（7x）12（7-y）（条）。依题意，得428x9y7770-10x84-12y，令u428x9y，则显然x越大，u越大。故当x=7时，u取最大值125，此时y的值为3。答：安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套。说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。练习:1甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。问：乙跑完一圈用多少秒？2小明在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程跑多少秒？3如下图，甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶点上，同时开始沿逆时针方向沿池边行走。甲每分钟走50米，乙每分钟走44米，求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形）。4农忙假，一组学生下乡帮郊区农民收割水稻，他们被分配到甲、乙两块稻田去，甲稻田面积是乙稻田面积的2倍。前半小时，全队在甲田；后半小时一半人在甲田，一半人在乙田。割了1时，割完了甲田的水稻，乙田还剩下一小块未割，剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完。问：这组学生有几人？5若货价降低8，而售出价不变，则利润（按进货价而定）可由目前的P增加到（P10），求P。6甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。7某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种，快车的车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站。每站停留时间都是3分钟。当某次慢车发出40分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共需用多少时间？8甲车以160千米/时的速度，乙车以20千米/时的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车1次，甲车减问：在两车的速度恰好相等的时刻，它们分别行驶了多少千米？答案：1.(24秒)。2.(44秒)。推知小明前40秒跑了540=200（米），后40秒跑了440=160（米）。因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的，其余160米是以4米/秒的速度行进的，所以，小明后一半路程共用205+160444（秒）。3.(34分)。提示：仿例4。4.(8人)。 解：设学生共x人，甲田面积为2a，乙田面积为a，则解出x=8。5. (15) 。解：设原进货价为x，则下降8后的进价为0.92x，依题意有x（1+0.01P）0.92x1+0.01（P+10），解得P15。6.(4)。 解：设甲所得的商和余数分别为x和y，乙所得的商为z，则乙所得的余数为13-x。依题意得8x+y=9z+（13-x），即9（x-z）=13-y，推知13-y是9的倍数。因为y是被8除的余数，所以只能在0至7之间，所以y=4。共需65+3=68（分）。7.（68分）。8.（940km，310km）。时刻，两车速度相等，则应有所以n=3。设甲车第1次追上乙车用了t1时。因为甲比乙车多跑1圈，所以有设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t2时，仿上可知时。从而甲行驶了乙车行驶了三、应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。（一）两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察左表，我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。例1：农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有x2y1.22024。长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。于是有x=12，y6。例2：如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利（50x-40）（500-10x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60为一定值，故当10+X=50X即X=20时，它们的积最大。此时，每个的销售价为5020=70（元）。例3：若一个长方体的表面积为54厘米2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？解：设长、宽、高分别为x，y，z厘米，体积为V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因为V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时，V2有最大值，从而V也有最大值。例4：有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？解：如右图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的容积为V=x（24-2x）（24-2x）=22x（12-x）（12-x）。因为2x+（12-x）+（12-x）=24是一个定值，故当2x=12-x12-x，即x=4时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。（二）两个量变化时，积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出这样的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。例5：长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm，则有xy144。故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（xy）也有最小值。例6：用铁丝扎一个空心的长方体，为了使长方体的体积恰好是216cm3，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？解：设长方体的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则有xyz216。铁丝长度的和为 4（x y z），故当 xy=z6时，所用铁丝最短。例7：农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有xy432。占地总面积为 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我们知道6y 8X=48432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24，x=18。例8：某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元。若要使每个同学游8次，每人最少交多少钱？解：设一共买了X张卡，一共去游泳y次，则共有Xy=488=384（人次），总用费为（240x40y）元。因为 240x 40y=24040384是一定值，故当 240x=40y，即y=6x时，和最小。易求得x=8，y=48。此时总用费为24084048=3840（元），平均每人最少交 384048=80（元）。（三）利用不等关系来解答的应用题例9：某公司在A，B两地分别库存有某机器16台和12台，现要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方15台，乙方13台。已知从A地运一台到甲方的运费为500元，到乙方的运费为400元，从B地运一台到甲方的运费为300元，到乙方的运费为600元。已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？解：设由A地运往甲方x台，则A地运往乙方（16-x）台，B地运往甲方（15-x）台，B地运往乙方（x3）台。于是总运价为：S=500x+400（16-x）300（15-x）+600（x-3）400x+9100。显然，x要满足不等式3x15，于是当x=3时，总运价最省，为 400 3 9100=10300（元）。调运方案为：由A地运往甲方3台，A地运往乙方13台，B地运往甲方12台，B地运往乙方0台。例10：某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内？以内。解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（30x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），例11：现有三种合金：第一种含铜60，含锰40；第二种含锰10，含镍90；第三种含铜20，含锰50，含镍30。现各取适当数量的这三种合金，组成一块含镍45的新合金，重量为1千克。（1）求新合金中第二种合金的重量的范围；（2）求新合金中含锰的重量的范围。解：设第一种合金用量为x千克，第二种合金用量为y千克，第三种合金用量为z千克，依题意有（1）如果不取第一种合金，即x=0，那么新合金中第二种合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三种合金，即z=0，那么新合金中第二种合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二种合金的重量范围是0.25克到0.5克。（2）由可得z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含锰的重量为S40x+10y+50z=40（2y-0.5）10y50（1.5-3y）0.55-0.6y。因为0.25y0.5，所以0.25S0.4，即新合金中含锰的重量范围是0.25克到0.4克。例12：某商店需要制作如下图所示的工字形架100个，每个由三根长为2.3米、1.7米、1.3米的铝合金材料组装而成。市场上可购得该铝合金材料的原料长为6.3米。问：至少要买回多少根原材料，才能满足要求（不计损耗）？ 解：每根原材料的切割有下表的七种情况：显然，三种方案损耗较小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 4214291=86（根）。练习:1销售某种西服，当每件售价为100元时可售出1000件。如果定价每下降1，那么销售量将提高0.5，又知道这批西服是每件80元成本购进的。问：应如何定价才能使获利最大？2下图是一个面积为4m2的窗户，当ab的值是多少时，窗户的框架所用的材料最省？3有一个长为 80cm、宽为40cm的木板，要以它为原材料做一个无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是多少？4某厂要建造一个无盖的露天水槽，其底为正方形，容量为64000m3。在建造时，槽底的造价是四壁的2倍，这个水槽的底面边长和高的比例是多少时，造价最省？5A城有化肥 200吨，B城有化肥 300吨，现要将化肥运往C，D两村。已知从A城运往C，D两村的运价分别是每吨20元和25元，从B城运往C，D两村的运价分别是每吨15元和22元。某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，如何调运才能使运费最省？6有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数。他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分，求第5次测验二人的得分（满分为100分）。7某机械厂要把一批长7300毫米的钢筋截成长290毫米、210毫米和150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做100套钢筋架子，至少要用去长为7300毫米的钢筋多少根？8下表所示为X，Y，Z三种食品原料的维生素含量（单位：单位/千克）及成本：现在要将三种食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次为X千克、y千克、Z千克，那么请定出X，y，Z的值，使得成本为最少。答案：1.（91元）。解：设定价为每件（100-x）元，则销售量为1000（1+0.5x）件。利润为（100-x-80）1000（1+0.5x）=500（20-x）（2+x）。因为（20-x）+（2+x）=22为一定值，故当20-x=2+x即x=9时利润最高。此时每件定价为100-9=91（元）。2.（23）。解：窗户的框架长为 3a+2b，而 ab=4是一个定值，从而3a2b=6ab=24也是一个定值，故当3a=2b即ab=23时窗户框架所用材料最省。3.（32000cm3）。解：设木盒的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则它的容积为V=xyzcm3。因为xy+2xz+2yz=4080=3200为一定值，故它们的积xy2xz2yz=4（xyz）2=4V2，在xy=2xz=2yz时最大，从而V也最大，此时有x=y=2z。经计算得x=40，y=40，z=20。具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm40cm）作为木盒的底面，再将剩下的一半分成 20 cm40 cm大小的四等份，每份作为木盒的一个侧面就可以了。4.（11）。解：设四壁的造价是a元/m2，则底面造价为2a元/m2。又设其底面边长为xm，高为ym，则有x2y=64000。总造价为a4xy+2ax2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因为xyxyx2=（x2y）2=640002为一定值，故当xy=xy=x2即xy=11时，总造价最省。5.解：设A城化肥运往C村x吨，则运往D村（200-x）吨；B城化肥运往C村（220-x）吨，运往D村（80+x）吨，总运费y元，则y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0x200，故当x=0时，运费最省，为10060元。运输方案如下：A城化肥运往C村0吨，运往D村200吨；B城化肥运往C村220吨，运往D村80吨。6.（98，94）。解：设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为4x+y=590=450。于是y=450-4x。显然90y100，故90450-4x100，解得87.5x90。于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分。第5次得分分别为 450-488=98（分）和450-489=94（分）。7.（90根）。解：每一根7300毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：2902+1501=7300， 2102+1502=7200， 2102+2902=7100。 设按方案截得的钢筋有x根，按方案截得的钢筋有y 根，按方案截得的钢筋有z根，则长为290，210，150毫米各有100根，即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是x=40，y=30，z=20。一共至少用去长为7300毫米的钢筋90根。8. （30，20， 50）。解：x+y+z=100， 400x+600y+400z44000， 800x+200y+400z48000。 由得 2x+3y+2z220。 由得 4x+y+2z240。 由-2，得y20。由-2，得2x-y40。由得 z=100-x-y。成本为6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）400+40+40=480。四、计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。（一）枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解所有可供乘坐的车次共有多少，一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表，将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。例1：四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d。先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法。同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法。一共有333=9（种）不同的方法。例2：甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打的为胜者，一共有7种可能的情况。同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况。一共有 77=14（种）可能的情况。（二）加法原理如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有N=m1+m2+mn种方法。这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。例3：一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？解：一位回文数有：1，2，9，共9个；二位回文数有：11，22，99，共9个；三位回文数有：101，111，999，共90个；四位回文数有：1001，1111，9999，共90个；五位回文数有：10001，