§4 函数的极.doc

4 函数的极值与最大(小)值教学目的：熟练掌握极值存在的三个充分条件,掌握求极值与最值的方法。重点难点：重点为极值的三个充分条件，难点为其证明过程。教学方法：讲练结合。一 极值判别 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征 费马定理已经告诉我们，若函数在点可导，且为的极值点，则这就是说可导函数在点取极值的必要条件是下面讨论充分条件1. (极值的第一充分条件) 设在点连续，在某邻域 内可导。 (i) 若当时 ，当 时 ，则在点取得极小值. （ii）若当时，当时，则在点取得极大值 证 下面只证(ii),(i)的证明可类似地进行 由定理的条件及定理63，在内递增，在()内递减，又由在处连续，故对任意)，恒有 即在取得极大值 2. (极值的第二充分条件) 设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且(i) 若，则在取得极大值(ii) 若，则在取得极小值证 由条件，可得在处的二阶泰勒公式 由于因此又因故存在正数，当时，与同号。所以，当时，式取负值，从而对任意有 ，即在取极大值。同样对可得在点取最小值。 例 求的极值点与极值解 在上连续，且当时，有 易见，为的稳定点， 为的不可导点。易知：点=0为的极大值点，极大值； =1为的极小值点，极小值 (1)例 求的极值点也极值 解 当时， 。令求得稳定点又因 故 =6为的极小值点，极小值 口 对于应用二阶导数无法判别的问题，可借助更高阶的导数来判别 3. (极值的第三充分条件) 设在的某邻域内存在直到1阶导函数，在处阶可导，且，则 (i)当为偶数时，在取极值，且取极大值，取极小值 （ii）当为奇数时，在处不取极值 例3 试求函数的极值解 由于，因此是函数的三个稳定点。二阶导数为 由此得，及所以 在 时取得极小值。求三阶导数 有由于为奇数，知在不取极值再求的四阶导数 ，有因为=4为偶数，故在取得极大值 综上所述，为极大值， 为极小值 注 上述定理仍是判定极值的充分条件可考察函数 很显然，它在 处取极小值。但因所以无法对它作出判别. 二 最大值与最小值 若函数在闭区间上连续，则在上一定有最大、最小值 若函数的最大(小)值点在区间内，则必定是的极大(小)值点又若在可导，则还是一个稳定点所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值下面举例说明这个求解过程例4 求函数在闭区间上的最大值与最小值解 函数在闭区间上连续，故必存在最大最小值由于 因此 又因，所以由导数极限定理推知函数在处不可导求出函数在稳定点，不可导点，以及端点的函数值所以函数在处取最小值，在和处取得最大值, 例 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为，燃料费为每小时元，而其他与速度无关的费用为每小时元.问轮船的速度为多少时，每航行所消耗的费用最小？ 解 设船速为，据题意每航行的耗费为。由已知当时，故得比例系数是=0006所以有 求得稳定点=20由极值第一充分条件检验得20是极小值点由于在(0，+oo)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点所以求得当船速为20(kmh)时，每航行1 km的耗费为最少，其值为=0.006X20+=72(元) 例6 剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子的容积最大 解 设每个小方块边长为，则盒子的容积为 令 在内解得稳定点并由知道为极大值由于在(0，)内只有唯一一个极值点