西南交通大学机械原理习题解答.pdf

w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 1页 机械原理习题解答 例 机械原理习题解答 例 4 14 14 14 1 绘制图 4 2 所示液压泵机构的机构运动简图 解 解 该机构由机架 1 原动件 2 和从动件 3 4 组成 共 4 个构件 属于平面四杆机构 机构中构件 1 2 构件 2 3 构件 4 1 之间的相对运动为转动 即两构件间形成转动 副 转动副中心分别位于 A B C 点处 构件 3 4 之间的相对运动为移动 即两构件间形 成移动副 移动副导路方向与构件 3 的中心线平行 构件 1 的运动尺寸为 A C 两点间距离 构件 2 的运动尺寸为 A B 两点之间的距离 构件 3 从 B 点出发 沿移动副导路方向与构件 4 在 C 点形成移动副 构件 4 同时又在 C 点与构件 1 形成转动副 选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面 选择比例尺 l 0 001m mm 分别量出各构件的运动尺寸 绘出机构运动简图 并标明 原动件及其转动方向 如图4 2所示 例例 4 24 24 24 2 绘制图 4 3 所示简易冲床的机构运动简图 解 解 图示机构中已标明原动件 构件 6 为机架 其余构件为从动件 需要注意的是 在 区分构件时应正确判断图中各构件都包括哪些部分 例如 构件 3 就包括两部分 如图所示 该机构中构件 1 与机架以转动副连接 转动副中心位于固定轴的几何中心 A 点处 构件 2 除与构件 1 形成回转中心位于 C 点的转动副外 又与构件 3 形成移动副 移动副导路沿 BC 方向 构件 3 也绕固定轴上一点 B 转动 即构件 3 与机架形成的转动副位于 B 点 同时 图 4 3简易冲床机构 l 0 001m mm w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 2页 构件 3 与构件 2 形成移动副 又与构件 4 形成中心位于 D 点的转动副 构件 4 与构件 5 形 成中心位于 E 点的转动副 构件 5 与机架 6 形成沿垂直方向的移动副 该机构属于平面机构 因此选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的 视图平面 选择比例尺 l 0 001m mm 量出各构件的运动尺寸 绘出机构运动简图 并标明原动 件及其转动方向 如图 4 3 所示 4 34 34 34 3 题 4 图为外科手术用剪刀 其中弹簧的作用是保持剪刀口张开 并且便于医生单手操 作 忽略弹簧 并以构件 1 为机架 分析机构的工作原理 画出机构的示意图 写出机构的 关联矩阵和邻接矩阵 并说明机构的类型 解 解 若以构件 1 为机架 则该手术用剪刀由机架 原动件 从动件 组成 共 个构件 属于平面四杆机构 当用手握住剪刀 即构件 固定钳口 不动时 驱动构件 使构件 绕构件 转动的 同时 通过构件 带动构件 活动钳口 也沿构件 固定钳口 上下移动 从而使剪刀的刀 口张开或闭合 其机构示意图和机构拓扑图如上图所示 其关联矩阵为 邻接矩阵为 1100 0110 0011 1001 4 3 2 1 432 1 v v v v eeee LM 0101 1010 0101 1010 4 3 2 1 432 1 v v v v vvvv AM 例 4 4例 4 4计算图 4 13 所示压榨机机构的自由度 题 4 图 4 e 2 e 1 e 4 v 3 v 1 v 2 v 3 e 机构的拓扑图 4 3 2 1 1 机构示意图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 3页 解 解 机构为平面机构 机构中构件 1 为偏心轮 构件 2 绕构件 1 的几何中心发生相对转动 即形成中心位于偏 心轮几何中心的转动副 因此偏心轮相当于一个有 两个转动副的构件 一个转动副是在点 A 与机架 11 形成的 另外一个是在偏心轮几何中心处与构件 2 形成的 该机构中存在结构对称部分 构件 8 9 10 和 构件 4 5 6 如果去掉一个对称部分 机构仍能够 正常工作 所以可以将构件 8 9 10 以及其上的转 动副 G H I 和 C 处的一个转动副视为虚约束 构 件 7与构件 11 在左右两边同时形成导路平行的移动 副 只有其中一个起作用 另一个是虚约束 构件 4 5 6 在 D 点处形成复合铰链 机构中 没有局部自由度和高副 去掉机构中的虚约束 则机构中活动构件数为7 n 机构中低副数10 l P 得 11027323 hl PPnF 例4 5例4 5 计算图4 14所示自动驾驶仪操纵机构的自由 度 解 解 自动驾驶仪操纵机构为空间机构 机构中 共有 3 个活动构件 其中构件 1 2 之间形成圆柱副 属 级副 构件 2 3 形成转动副 属 级副 构件 3 4 形成球面副 属 级副 构件 4 1 形成转动副 属 级副 则机构自由度为 113142536 F 4 64 64 64 6 在题 4 6 图所示所有机构中 原动件数目均为 1 时 判断图示机构是否有确定的运动 如有局部自由度 复合铰链和虚约束请予以指出 解 解 a 11027323 hl PPnF 机构有确定的运动 其中 D 图 4 13压榨机机构 图 4 14自动驾驶仪操纵机构 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 4页 B C 四处均为复合铰链 没有局部自由度 虚约束 b 211229323 hl PPnF 机构没有确定的运动 其中 处 为复合铰链 处为局部自由度 没有虚约束 C 11027323 hl PPnF 机构有确定的运动 其中 构件 AB BC CD AD 四杆中有一杆为虚约束 如果将构件 AD 视为虚约束 去掉虚约束 则点 均为复合铰链 没有局部自由度 d 01423323 hl PPnF 系统不能运动 所以也就不是一个机构 从图中可以看出 铰链点 C是构件 BC 上的点 其轨迹应当是以铰 链点 B为圆心的圆 同时 铰链点 C 又是构件 CD 上的点 轨迹应当是移动副 F 约束所允 许的直线 两者是矛盾的 所以 系统不能运动 系统中没有局部自由度 复合铰链 虚约 束 e 3625323 hl PPnF 机构没有确定的运动 没有局部自由度 复合铰链 虚约束 4 74 74 74 7 计算题 4 7 图所示齿轮 连杆机构的自由度 a b c d e 题 4 图 题 4 图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 5页 解 解 a 11524323 hl PPnF 铰链点 A 为复合铰链 齿轮副为高 副 b 13726323 hl PPnF 铰链点 B C D 均为复合铰链 4 84 84 84 8 题 4 图所示为缝纫机中的送 料机构 计算该机构的自由度 该 机构在什么条件下具有确定的运 动 解 解 2 24243 23 hl PPnF C 处的滚子为局部自由度 构 件 1 于构件 2 构件 3 与构件 2 之间 形成两对高副 但是 每对高副的法线都是重合的 所以 每对高副中有一个高副为虚约束 由于该机构具有 个自由度 所以该机构在有 个原动件的条件下就具有确定的运动 4 94 94 94 9 计算题 4 图所示机构的自由度 解 解 a 24626323 hl PPnF b 21927323 hl PPnF 注 滑块 受到的运动约束与构件 FGC 上 的运动轨迹相重合 所以滑块 及其上的转动副和移动副均应视为虚约束 题 4 图 b a 题 4 9 图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 6页 4 104 104 104 10 构思出自由度分别为 和 的 级机构的设计方案 解 解 由机构的组成原理可知 一个 机构中 至少应当包含有一个 级基本杆组 将 一个 级基本杆组中的一个外副与一个单自由度的机构相联 另外两个外副与机架相联 则 可以得到一个单自由度的 机构 如果将 级基本杆组中的两个外副分别与两个单自由度的 机构相联 另外一个外副与机架相联 则可以得到一个有两个自由度的 机构 而最简单的 单自由度机构是一个构件与机架通过一个低副 如 转动副 联接所形成的机构 按照以上分析 自由度分别为 和 的 级机构最简单的结构分别如图中 a b 和 c 所示 4 124 124 124 12 确定图 4 19a所示机构当构件 为原动件时机构的级别 解 解 确定机构的级别关键是要拆出机构中所含的基本杆组 当构件 为原动件时 拆 基本杆组首先应当从最远离原动件的构件 1 拆起 可以拆出 级基本杆组 ABC 然后 又 依次可以拆出 级基本杆组 DEF 和 GHI 如下图示 所以该机构为 级机构 例例 5 15 15 15 1 在图 5 3 所示的铰链四杆机构中 已知该机 构的结构参数以及构件 1 的转速为 1 机构运动简 图的比例尺为 l 利用速度瞬心法 求在图示位置 时 构件 2 和构件 3 的转速 2 和 3 的大小和方向 解 解 首先找出相关的速度瞬心 速度瞬心 P10 P12 P23 P03可根据相应的构件构成转动副直接确 c b a J H D G E F C B A I 图 4 19 图 5 3 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 7页 定出来 而 P02和 P13需应用三心定理来确定 速度瞬心 P02应在三个构件 0 1 2 的两个已 知速度瞬心 P10和 P12的连线上 同时又应在三个构件 0 3 2 的两个已知速度瞬心 P03 P23 的连线上 则这两条连线的交点即为 P02 速度瞬心 P13的确定方法类似 它应是 P12P23连 线和 P10P03连线的交点 由速度瞬心的概念 在速度瞬心点两构件的绝对速度相同 便可求解未知转速 在速 度瞬心点 P12有 llP V 021221210112 PPPP 式中 1210P P和 0212P P可直接从所作的图中量取 由上式可解出 1 0212 1210 2 PP PP 由绝对速度 12P v方向 得出 2方向为顺时针方向 同理 在速度瞬心点 P13有 llP V 130331310113 PPPP 由绝对速度 13P v的方向 可知其为逆时针方向 例例 5 25 25 25 2 在图 5 4 所示的凸轮机构 已知该机构的结构尺寸和凸轮 1 的角速度 1 利用瞬心 法 求机构在图示位置时从动件 2 的线速度 2 v 机构运动简图的比例尺为 l 解 解 构件 1 与机架 0 的速度瞬心 P01以及从动件与机架 的速度瞬心 P02可根据相应的构件分别构成转动副和移动 副而直接确定出来 凸轮 1 和从动件之间的瞬心 P12的确 定方法是 一方面 P12应在构件 1 2 高副接触点 K 的公 法线 n n 上 另一方面 利用三心定理 它又应在瞬心 P01 和 P02的连线上 即又应在过点 P01而垂直于从动件 2 与机 架移动副导路的直线上 因而 n n 与该直线的交点即为 P12 再根据速度瞬心的概念 可得 21212011 PPvvP l 其中 1201P P可以直接从图中量出 从动件的速度 v2方向 如图中 12P v所示 图 5 4 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 8页 5 25 25 25 2 在题 5 2 图所示所示的平面组合机构中 已知机构作图的比例尺 l 及构件 1 的角速度 1 求图示位置构件 4 的线速度 4 v 解 解 根据两个构件相成运动副的瞬心的确定方法可以确定出瞬心 230201 PPP 34 P 04 P的位置或所在的直线 由于题目已知构件 的角速度 求构件 的线速度 因而需求出 速度瞬心 14 P 一方面 14 P应在瞬心 01 P和 04 P的连线上 另一方面 它也应在瞬心 12 P和 24 P 的连线上 而瞬心 12 P一方面应在构件 高副接触点的公法线n n上 另一方面 它也 应在瞬心 01 P和 02 P的连线上 瞬心 24 P一方面应在瞬心 23 P和 34 P的连线上 另一方面 它 也应在瞬心 02 P和 04 P的连线上 根据速度瞬心的概念 可得 414011 14 vvPP Pl 其中 1401P P可以直接从图中 量出 构件 的速度方向如图中 14 P v所示 5 35 35 35 3 确定题 5 3 图所示机构所有的速度瞬心 如果已知构件1的角速度 1 设图示比例为 l 题 5 2 图 02 P 01 P 04 P 34 P 04 P 24 P 23 P 12 P 14 P 14 P v n n 题 5 3 图 b a w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 9页 求图示位置时 题 5 3 图 a 齿轮 4 的角速度 4 的大小 方向和题 5 3 图 b 构件 3 的 速度 3 V的大小和方向 解 解 a 图示机构共有 6 个构件 所以速度瞬心的数目为15 2 1 2 NN CN 其 中 14 P 16 P和 46 P在转动副 1 O处 12 P 15 P和 25 P在转动副 2 O处 35 P在转动副 3 O处 36 P在转动副O处 23 P在表示齿轮 和齿轮 的圆的切点处 24 P在表示齿轮 和齿轮 的 圆的切点处 13 P在瞬心 12 P和 23 P的连线与瞬心 16 P和 36 P的连线的交点处 26 P在瞬心 24 P和 46 P的连线与瞬心 23 P和 36 P的连线的交点处 34 P在瞬心 23 P和 24 P的连线与瞬心 36 P和 46 P的 连线的交点处 56 P在瞬心 35 P和 36 P的连线与瞬心 15 P和 16 P的连线的交点处 45 P在瞬心 24 P 和 25 P的连线与瞬心 34 P和 35 P的连线的交点处 14 P 1 o 4 3 13 P v 34 P v 1 o 2 o 3 o 1 2 3 45 6 26 P 13 P 34 P 56 P 45 P 36 P 35 P 23 P 24 P 25 P 15 P 12 P 16 P 46 P a w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 10页 根据速度瞬心的概念 可得 13 1336313161Pll vPPPP 从而可先求出构件 的角速度 1336 1316 13 PP PP 其中 1316P P和 1336P P可以直接从图中量出 构件 的速度方 向如图中 3 所示 再根据速度瞬心的概念 可得 34 3634346344Pll vPPPP 从 而可求出构件 的角速度 4634 3634 34 PP PP 其中 3634P P和 4634P P可以直接从图中量出 构件 的速度方向如图中 4 所示 b 图示机构共有 个构件 所以速度瞬心的数目为6 2 1 2 NN CN 其中 14 P和 24 P分别在构件 和构件 构件 和构件 形成的转动副处 34 P在垂直于移动副导路的 无穷远处 12 P在过高副接触点 的公法线n n和瞬心 14 P 24 P的连线的交点处 23 P在过 高副接触点 的公法线nn 和瞬心 24 P 34 P的连线的交点处 13 P在瞬心 12 P和 23 P的连 线与瞬心 14 P和 34 P的连线的交点处 根据速度瞬心的概念 可得 314131 13 vvPP Pl 其中 1413P P可以直接从图中 1 2 3 4 3 v n n 13 P 12 P 34 P 24 P 14 P n n 23 P b w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 11页 量出 构件 的速度方向如图中 3 v所示 6 36 36 36 3 在题 6 3 图的四杆闭运动链中 已知mma150 mmb500 mmc300 mmd400 欲设计一个铰链四杆机构 机构的输入运动为单向连续转动 确定在下列 情况下 应取哪一个构件为机架 输出运动为往复摆动 输出运动也为单向连续转动 解 解 当输出运动为往复摆动时 机构应 为曲柄摇杆机构 此时应取四杆中最短杆的相邻 杆 即 b 或 d 作为机架 当输出运动也为单向连续转动时 机构 应为双曲柄机构 此时应取四杆中的最短杆 即 a 作为机架 6 56 56 56 5 在题 6 5 图 a b 中 1 说明如何从一个曲柄摇杆机构演化为题 6 5 图 a 的曲柄滑块机构 再演化为题 6 5 图 b 的摆动导杆机构 2 确定构件 AB 为曲柄的条件 3 当题 6 5 图 a 为偏置曲柄滑块机构 而题 6 5 图 b 为摆动导杆机构时 画出构件 3 的极限位置 并标出极位夹角 解 解 1 当曲柄摇杆机构的摇杆为无穷长时 则原来摇杆与机架之间的转动副就变为 移动副 原机构就演化为了题 6 5 图 a的曲柄滑块机构 如果取曲柄滑块机构中的连杆作为 机架 则曲柄滑块机构就演化为了题 6 5 图 b 的摆动导杆机构 2 对于图 a 构件 AB 为曲柄的条件是bea 对于图 b 只要导杆 BC 足 够长 满足装配要求 则构件 AB 始终为曲柄 题 6 3 图 b a 题 6 5 图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 12页 3 对于题 6 5 图 a 构件 3 的极限位置在曲柄 和连杆 的两次共线处 其极限 位置 1 3 2 3和极位夹角 如图 a 所示 对于题 6 5 图 b 构件 3 的极限位置在曲柄 与滑块 形成的转动副 的轨迹圆与导杆 的切线处 即 90 ABC 其极限位置 1 3 2 3和极位夹角 如图 b 所示 6 66 66 66 6 题 6 6 图为开槽机上用的急回机构 原动件 BC 匀速 转动 已知mma80 mmb200 mmlAD100 mmlDF400 2 3 2 C C 2 B 1 B B A 1 C 2 1 1 3 3 a C B A 2 B 1 B 4 3 2 1 2 1 1 1 2 3 1 3 2 2 1 2 b 题 6 6 图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 13页 1 确定滑块 F 的上 下极限位置 2 确定机构的极位夹角 3 欲使极位夹角增大 杆长 BC 应当如何调整 解 解 1 由于mmbmma20080 所以四杆机构 ABC 为转动导杆机构 导杆 AB 也是曲柄 可以相对机架转动 3600 则滑块 的上 下极限位置如图中 F2 F1的 位置 mmlll DFADAF 500400100 2 mmlll ADDFAF 300100400 1 2 对应滑块 F 的极限位置 可以确定出导杆 AC 的位置及滑块 C 的位置 C1 C2 由图 中几何关系 得 42 66 200 80 arccosarccos BC l a 则极位夹角 16 472180 3 欲使极位夹角增大 应使 角减小 所以杆长 BC 就当减小 例例 6 36 36 36 3 已知图 6 14 所示机构的结构尺寸 固定铰链点的位置和原动件的运动 试分别以构 件 CD 和构件 AB 为原动件 确定机构中所有从动构件的运动 C BA D b a F 2 F 1 F 2 C 1 C w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 14页 解 解 首先建立直角坐标系如图所示 固定铰链点 D E A 的坐标分别为 D 0 0 E xE yE A xA yA 当以构件 CD 为原动件 时 机构为 级机构 而当以构件 AB 为原 动件时 机构为 级机构 一 以构件 CD 为原动件时 构件 CD 为定轴转动 已知原动件的运 动 就是已知构件 CD 绕点 D 转动的角位置 1 角速度 1 和角加速度 1 铰链点 C 是构件 CD 上点 同时也是构件 3 上的点 而构件 3 是一个从动构件 因此 运动分析从铰链点 C 开始 铰链点 C 是构件 1 上的点 运动约束为到点 D 之间的距离 CD l不变 并且点 C D 连线 与坐标轴x正向之间的夹角为 1 所以可以写出其位置方程 b sin a cos 1 1 CDDC CDDC lyy lxx 其中0 DD yx CD l和 1 由题意是已知的 只有 CC yx 两个未知数 因此 可以立 即计算出铰链点 C 的位置 将上式对时间t分别作一次 二次求导 可得点 C 的速度和加速度方程如下 b cos a sin 11 11 CDDyCy CDDxCx lvv lvv 其中0 DyDx vv b cossin a sincos 111 2 1 111 2 1 CDCDDyCy CDCDDxCx llaa llaa 其中0 DyDx aa 根据已知的 1 和 1 就可以求出铰链点 C的速度和加速度 确定出从动构件 3 上点 C 的运动之后 必须再确定构件 3 上另外一个点才能确定出构件 3 的运动 构件 3 上的点 B 和点 F 都可以作为下一步要求解的点 但是 在目前的条件下 图 6 14 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 15页 无论是确定点 B 的位置 还是构件 3 上的点 F 的位置都必须联立三个或三个以上的方程才 能求解 如果现在转而分析构件 2 上的点 F 情况就不同了 构件 2 上点 F 受到两个运动约束 1 直线 CF 垂直于直线 FE 2 点 F 到点 E 的距离保持不变 且为已知的机构结构参数 因此 可以建立构件 2 上点 F 的位置方程 如下 b 1 a 222 CF CF EF EF EFEFEF xx yy xx yy lyyxx 由于点 C 的位置已经求出 所以在上式中只有 FF yx 两个未知数 方程为非线性方程 组 可以利用牛顿迭代法求解 初始点的选取可以由在草稿纸上画出机构的大概位置来确定 当然方程也可以利用代数消元的方法求解 在求得点 F 的位置之后 利用上式对时间的一阶和二阶导数 可以得到点 F 的速度方程 b 2 2 a CyEFEyCF CxEFExCFFyECFFxECF EyEFExEFFyEFFxEF vyyvyy vxxvxxvyyyvxxx vyyvxxvyyvxx 式中0 EyEx vv 只有两个未知数 Fx v和 Fy v 为线性方程组 可以直接求解 利用上式对时间的二阶导数 求出点 F 的加速度方程 b 2 2 2 2 a 2 2 22 CyEyEyFyCyFyFy CxExExFxCxFxFxCyEFEyCF CxEFExCFFyECFFxECF EyFyExFx EyEFExEFFyEFFxEF vvvvvvv vvvvvvvayyayy axxaxxayyyaxxx vvvv ayyaxxayyaxx 其中0 EyEx aa 方程仍然为线性方程 可以直接求解 在求出点 F 的运动之后 便可以求解点 B 的运动了 点 B 既是构件 3 上的点 同时 也是构件 4 上的点 所以 它是继续进行机构运动分析的一个关键点 它所受到的运动约 束 是 1 B F C 共线 2 点B C 之间的距离保持不变 据此可建立出点 B 的位置方程 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 16页 b a 222 BCCBCB CF CB CF CB lyyxx yy yy xx xx 点 B 的速度方程为 b a CyCBCxCBByCBBxCB FyCBFxCB CyBFCxBFByCFBxCF vyyvxxvyyvxx vxxvyy vxxvyyvxxvyy 点 B 的加速度方程为 b a 2 22 CyByCxBx CyCBCxCBByCBBxCB FxCyCxBy FxByFyCxCyBxFyBxFyCBFxCB CyBFCxBFByCFBxCF vvvv ayyaxxayyaxx vvvv vvvvvvvvaxxayy axxayyaxxayy 至此已经可以看出 运动分析的关键是位置方程的建立 速度和加速度方程可以分别将 位置方程对时间求一阶和二阶导数得到 在求出了以上各点的运动以后 机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点 因 此 各个从动构件的运动都可以确定出来了 例如 构件 3 的质心点 S3的位置方程 2 22 2 22 333 333 BsBsBs CsCsCs lyyxx lyyxx 构件 3 的角位置 角速度和角加速度分别为 CB CB xx yy 3 tan 2 3 2 3 BC CBCBCBCB BC CBCBCBCB l xxyyyyxx l xxyyyyxx 除了确定各个构件的运动 还可以确定构件与构件之间的相对运动 例如 要确定构件 4 与构件 5 的相对运动 由图 6 14 可知 构件 4 与构件 5 形成移动副 因此 两者之间的相 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 17页 对运动为移动 可以选构件 4 上的点 B 和构件 5 上的点A 以这两个点之间的距离变化表 示构件 4 与构件 5 之间的相对运动 则相对运动的位置方程为 22 2 BABAAB yyxxH 相对运动的速度和加速度分别可由上式对时间的一阶和二阶导数求出 二 以构件 AB 为原动件时 此时 点A B 之间距离 AB H AB v和 AB a为已知的 构件 5 为液压驱动的油缸 构件 4 为活塞 机构可以拆出构件 1 2 3 4 组成的 级杆组 机构为 级机构 机构中铰链点 B C 和构件 2 上的点 F 都不能分别求解 只能利用 AB BC DC EF 之间的距离为已知的长度 点 B F C 共线和直线 BF EF 垂直的运动约束 建立出三个 待求点 B E F 的位置方程组 联立求解 即 0 0 0 0 0 0 6 5 2 22 4 2 22 3 2 22 2 2 22 1 EFBFEFBF FCBCBCFC EFEFEF CDCC BCCBCB ABABAB yyyyxxxxf yyxxyyxxf lyyxxf lyxf lyyxxf Hyyxxf 在上述方程中未知数的个数与方程数相等 在机构的可动范围内方程组有确定的解 方程组是非线性的代数方程 可采用牛顿迭代法等方法进行求解 机构的速度和加速度方程仍然是由位置方程的一阶和二阶导数求得 与 级机构相同 机构的速度和加速度方程均为线性方程组 6 96 96 96 9 在题 6 9 图所示机构中 已知机构中各构件的杆长和固定铰链点 A D F 的位置 原 动件的运动 试在以下两种情况下写出确定机构中所有从动构件运动的相应位置方程 1 以构件 1 为原动件 2 以构件 5 为原动件 解 解 首先建立直角坐标系如图所示 固定铰链点 的坐标分别为 0 0 A DD yxD FF yxF 1 当以构件 1 为原动件时 该机构为 级机构 可以逐点求解 先求点 的运 动 点 在构件 上 所以点 的位置方程为 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 18页 1 1 sin cos ABB ABB ly lx 点 到点 的距离保持不变 点 到点 的距离保持不变 根据这两个条件 可建 立 点的位置方程为 222 222 CDCDCD BCCBCB lyyxx lyyxx 点 到点 的距离保持不变 点 到点 的距离保持不变 根据这两个条件 可建 立 点的位置方程为 222 222 CEECEC BEEBEB lyyxx lyyxx 在求出了以上各点的运动以后 机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点 因此 各个从动构件的位置都可以确定出来了 欲求构件 5 的运动 需要在构件 5 上确定一个特殊点 G 如图所示 点 G 的位置方 程为 EG EG FG FG FGGFGF yy xx xx yy lyyxx 2 22 2 当以构件 为原动件时 该机构为 级机构 不能逐点求解 而只能联立求 解 先确定点 的运动 其位置方程为 5 5 sin cos FGFG FGFG lyy lxx 利用 AB BC CD BE CE 之间的距离保持不变 且为已知的长度 直线 FG 和 EG 垂直的运动约束 建立三个待求点 B C E 的位置方程 即 G y x 题 6 9 图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 19页 0 222 222 222 222 222 EGFGEGFG CEECEC BEEBEB CDDCDC BCCBCB ABBABA yyyyxxxx lyyxx lyyxx lyyxx lyyxx lyyxx 六个方程需要联立求解 例例 6 46 46 46 4 对图 6 16a 所示的平面二杆机械手进行逆运动学分析 解 解 首先 考虑二杆机械手的工作空间 在此机构中运动输出为点 P 所以 其工作 空间就是点 P 可以到达的区域 假设转动副 A B都是周转副 如果 21 ll 则点 P 可以到达的区域为以点 A 为圆心 半径为 1 2l的圆 如果 21 ll 则点 P 的可到达区域为以点 A 为圆心 外径为 21 ll 内径 为 21 ll 的圆环 如果转动副 A B 不全是周转副 则点 P 的可到达区域显然要减小 由题 21 图 b 可知 对于点 P 的位置 yx逆解有两个 分别用实线和虚线表示 为了得到封闭解 将点 A 与点 yx连接起来 x y yxr arctan 22 根据余弦定理可得 ab 图 6 16平面二杆机械手及其逆运动学分析 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 20页 1 2 2 2 1 2 21 22 2 2 1 2 arccos 2 arccos rl llr ll rll 则 12 式中 取 对应图 6 16b 中的实线所示的解 取 对应虚线所示的解 例例 6 66 66 66 6 设计一个铰链四杆机构 ABCD 实现连杆的三个精确位置 P1Q1 P2Q2 P3Q3 解 解 在铰链四杆机构中 动铰链点 B C 既是连杆上的 点 同时 又是连架杆上的点 其轨迹为分别以固定铰点 A 和 D 为圆心 相应连架杆杆长 为半径的圆弧 故称点 B 和 C 为圆点 而点 A 和 D 为圆心 点 据此 可以得出机构的设 计作图方法如下 将给出的表示连杆精确位 置的直线 PQ 扩大成一个平面 封闭区域 在区域中任意取两 个点作为圆点 B C 并由给 定的连杆精确位置确定出 B1 B2 B3和 C1 C2 C3 如图 6 18 所示 作 21B B连 线 的 中 垂 线 a12 再作 32B B连线的中垂 a23 则 a12和 a13的交点即为圆心点 A 的位置 同样 作 21C C连线的中垂线 d12和 32C C连线的中垂线 d23 d12和 d23的交点即为圆心点 D 的位置 连接 AB1C1D 就得到了所要设计的机构 机构的两个连架杆分别是AB CD 连杆是 BC 各个构件的杆长为直接从图中量出的长度乘以作图比例 值得注意的是 在确定铰链点 B A 的位置时没有考虑铰链点 C D 同样 在确定铰 图 6 18实现连杆三个位置的铰链四杆机构设计 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 21页 链点 C D 的位置时没有考虑铰链点 B A 的位置 这样的设计通常被称为 分边综合 此时的设计结果有无穷多个 因为点 B C在刚体的位置是任意选取的 如果直接将点 P Q 作为圆点 则设计出来的机构与铰链四杆机构 ABCD 不同 在机构运动设计中 除了对机构精确位置的要求之外 还可能有其他的设计要求 如果 还要求机构为曲柄摇杆机构 则应检验设计出的机构是否满足曲柄摇杆机构的条件 如果不 满足 则应重新选择圆点 B C 按照上述过程重新作图 6 116 116 116 11 设计一个铰链四杆机构 如题 6 11 图所示 已知摇杆 CD 的长度mmlCD75 机架 AD 的长度mmlAD100 摇杆的一个极限位置与机架之间的夹角 0 45 构件 AB 单 向匀速转动 试按下列情况确定构件 AB 和 BC 的杆长 BCAB ll 以及摇杆的摆角 1 程速比系数 K 1 2 行程速比系数 K 1 5 解 解 1 当行程速比系数 K 1 时 机构的极位夹角为 0 1 1 180 K K 即机构没有急回特性 固定铰链点 应在活动铰链点 的两个极限位置 C1 C2的连线 上 从而可确定活动铰链点 的另一个极限位置 选定比例尺 作图 如下图 a 所示 直接由图中量取84 70 1 AC 76 61 2 AC 所以构件 AB 的长为 mm ACAC lAB54 4 2 76 6184 70 2 21 题 6 11 图 45 2 C 1 C D A 2 B 1 B a w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 22页 构件 BC 的长为 mm ACAC lBC 3 66 2 76 6184 70 2 21 摇杆的摆角 7 2 当行程速比系数 K 1 5 时 机构的极位夹角为 36 15 1 15 1 180 1 1 180 K K 即机构具有急回特性 过固定铰链点 作一条与已知直线 1 AC成 36的直线再与活动 铰链点 的轨迹圆相交 交点就是活动铰链点 的另一个极限位置 选定比例尺 作图 如 下图 b 所示 由图 b 可知 有两个交点 即有两组解 直接由图中量取84 70 1 AC 75 25 2 AC 88 169 2 AC 故有解一 构件 AB 的长为mm ACAC lAB55 22 2 75 2584 70 2 21 构件 BC 的长为mm ACAC lBC 3 48 2 75 2584 70 2 21 摇杆的摆角 41 解二 构件 AB 的长为mm ACAC lAB52 49 2 84 7088 169 2 12 构件 BC 的长为mm ACAC lBC36 120 2 84 7088 169 2 12 45 1 C D A 2 C 2 C 2 B 1 B 2 B 1 B b w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 23页 摇杆的摆角 107 6 126 126 126 12 设计一个偏心曲柄滑块机构 已知滑块两极限位置之间的距离 21C C 50 导路的偏 距 e 20 机构的行程速比系数 K 1 5 试确定曲柄和连杆的长度 BCAB ll 解 解 行程速比系数 K 1 5 则机构的极位夹角为 36 15 1 15 1 180 1 1 180 K K 选定作图比例 先画出滑块的两个极限位置 C1和 C2 再分别过点 C1 C2作与直线 C1C2 成 5490 的射线 两射线将于点 以点 为圆心 OC2为半径作圆 再作一条与直 线 C1C2相距为mme20 的直线 该直线与先前所作的圆的交点就是固定铰链点 作图 过程如解题 24 图所示 直接由图中量取mmAC25 1 mmAC68 2 所以 曲柄 AB 的长度为mm ACAC lAB 5 21 2 2568 2 12 连杆 BC 的长度为mm ACAC lBC 5 46 2 2568 2 21 例例 6 76 76 76 7 设计一个转杆滑块机构 实现连杆精确位置 Pi i i 2 n 解 解 图 6 21 所示转杆滑块机构 可取机构的设计变量为 1111 CCBBAA yxyxyx 这六个设计变量确定之后 机构的所有运动几何尺寸 包括各个构件的杆长 滑块导 2 B 1 B 2 C1 C A e 21C C 90 解题 6 12 图 O w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 24页 路的方位等 就确定出来了 机构运动过程中 动铰链点 B C的运动约束是 1 从连杆 BC 上看 点 B C之间 的距离保持不变 2 从连架杆 AB 上看 点 B 到点 A 的距离保持不变 3 从连架杆滑 块 C 上看 点 C始终在一条直线上运动 由于设计要求给出了连杆精确位置 Pi i i 2 n 由 Pi i i 2 n 可以 很容易地写出连杆的位移矩阵 如果利用连杆的位移矩阵方程建立连杆上点B C 在连杆第 1 位置时的坐标与其在连杆第i位置时的坐标之间的关系 则运动约束 1 就不再是独立的 了 利用了连杆的位移矩阵方程 就不能再利用运动约束 1 了 根据以上分析 可以确定出机构设计方程建立的主要途径 利用连杆的位移矩阵方程和 利用连架杆的运动约束 运动约束 2 和 3 的数学表达为 222 1 2 1 ABiABiABAB yyxxyyxx 3 2 i 1 0 1 1 1 22 11 CiCi CC CC yx yx yx 4 3 i 2 由设计要求给出的连杆精确位置 Pi i i 2 n 可以写出连杆从第一位置到第i位 置的位移矩阵 100 cossincossin sincossincos 111111 111111 1iPiPPiii iPiPPiii i yxy yxx D 3 铰链点 B C满足位移矩阵方程 1 1 1 1 1B B iBi Bi y x Dy x 4 1 1 1 1 1C C iCi Ci y x Dy x 5 在式 1 中有中间变量 BiBi yx 将位移矩阵方程 4 代入 就可以消去中间变量 得到只含设计变量 11 BBAA yxyx的设计方程 同样 将式 5 代入式 2 可得到只含 设计变量 11 CC yx的设计方程 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 25页 为了便于求解 应当将联立求解方程的数目减少到最少 因此 设计方程的求解与图解 法相同 也采用 分边综合 求解只含设计变量 11 BBAA yxyx的设计方程确定出点 A B1 求解只含设计变量 11 CC yx的设计方程确定出点 C1 从代数学中可知 当方程个数小于方程中的未知数数目时 可以任意假设一些未知数 方程有无穷多解 当方程个数大于方程中的未知数数目时 方程一般无解 只有当方程个数 与方程中的未知数数目相等时 方程才有确定的解 含设计变量 11 BBAA yxyx的设计方 程中有四个未知数 当给定连杆 n 个位置时 可以得到 n 1 个设计方程 由此可知 当给定 连杆五个位置时 含设计变量 11 BBAA yxyx的设计方程才有确定的解 由此可以得出结 论 由铰链点 A B 组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为 5 由铰链点 A B 组成杆组的导引方式称为转杆导引 下面通过具体数值的例子进行说明 设需要实现的连杆精确位置为三组位置 pi x pi y i 1 i1 01 0300 2 i2 00 5300 3 i3 01 5750 刚体从第 1 位置到第 2 位置的位移矩阵 0 1212 100 0cos0sin5 00cos0sin 0sin0cos20sin0cos 12 D 由式 4 得 a 0cos0sin5 00cos0sin 0sin0cos20sin0cos 0cos0sin5 00cos0sin 0sin0cos20sin0cos 1 2 1 2 11 2 11 112 112 1 ABAB ABB ABB BBB BBB yyxx yyx xyx yxy yxx 得带入式 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 26页 刚体从第 1 位置到第 3 位置的位移矩阵 45 1313 100 45cos45sin5 145cos45sin 45sin45cos345sin45cos 13 D 由式 4 得 b 45cos45sin5 145cos45sin 45sin45cos345sin45cos 45cos45sin5 145cos45sin 45sin45cos345sin45cos 1 2 1 2 11 2 11 113 113 1 ABAB ABB ABB BBB BBB yyxx yyx xyx yxy yxx 得带入式 方程 a b 中共有四个未知数 11 BBAA yxyx 所以可以任意假设其中的两个 如 果取0 0 AA yx 联立方程 a b 解出238155 3 994078 0 11 BB yx 如果取不同的 AA yx 可以得到不同的解 这就说明了在精确连杆位置数目为三的情况下 设计方程有无穷多解 现在对含设计变量 11 CC yx的设计方程 由式 2 得到 进行分析 含设计变量 11 CC yx 的设计方程中有两个未知数 当给定连杆 n 个位置时 可以得到 n 2 个设计方程 所以 在 给定精确连杆四个位置的时候 设计方程就有确定的解了 由此得出结论 由滑块和转动副 组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为 4 滑块和转动副组成杆组的导引方式称 为滑块导引 对于上面的三个连杆精确位置 由式 2 得到滑块导引的设计方程 0 145cos45sin5 145cos45sin45sin45cos345sin45cos 10cos0sin5 00cos0sin0sin0cos20sin0cos 1 1111 1111 11 CCCC CCCC CC yxyx yxyx yx 方程中有两个未知数 11 CC yx 可以任意设其中一个 设10 1 C x 解出0106 1 1 C y 图 6 21 所示的转杆滑块机构 如果确定了所有设计变量 1111 CCBBAA yxyxyx 则机 构的运动几何尺寸就可以按下面的计算方法确定出来 对于上面的三个连杆精确位置及设计 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 27页 方程的解可以得出 0 21 21 2 11 2 11 2 1 2 1 03 14arctan 9578 9 3876 3 CC CC CBCBBC BABAAB xx yy yyxxl yyxxl 其中 22 CC yx仍由位移矩阵方程 5 计算得出 滑块导路的位置由 11 CC yx 便可以确定 了 6 166 166 166 16 设计一个带有一个移动副的四杆机构 题 6 16 图 实现输入杆 AB 转角 j 与输出滑 块 CC 的移动 j S之间的对应关系 已知起始时 0 和 0 S 固定铰链点 A 的坐标 1 分别写出从起始位置到第j组对应位置 构件 AB 和滑块的位移矩阵 2 如何得到机构的设计方程 3 分析该机构最多能够实现多少组精确对应位置关系 4 如何求出机构的 432 LLL等机构运动参数 解 解 已知 A x A y 01 Sxx AC AC yy 1 则设计变量为 1B x 1B y 1C x 1C y 1 从起始位置到第j组对应位置 构件 AB 和滑块CC 的位移矩阵分别为 100 sin cos1 cossin sin cos1 sincos 1111 1111 1jAjAjj jAjAjj AB j xy yx D 3 2 j 题 6 16 图 w w w z h i n a n ch e co m 共 68页第 28页 100 010 01 1 1 SS D j CC j 3 2 j 2 铰链点 和 还满足 之间的距离保持不变的运动约束 为此建立约束方 程为 222 11 2 11 CjBjCjBjCBCB yyxxyyxx 3 2 j 式中铰链点 和 还满足位移矩阵方程 1 1 1 1 1B B ABjBj Bj y x D