试验一 插值法与数据拟合.doc

试验一 插值法与数据拟合一、 实验目的（1） 学会Lagrange 插值、牛顿插值和 Hermite插值等基本插值方法；（2） 讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法（3） 学会Matlab提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。二、 实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容；（2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果；（4） 分析和讨论实验结果（5） 写出实验报告。三、 实验题目（1） 书本P50 的习题1、习题2和习题3（涉及三次样条函数部分不用做）。（2） 书本P95的习题1和习题2。附：试验报告格式样本实验一 插值法与数据拟合班级： 学号： 姓名： 1.1 实验目的 掌握牛顿插值法的基本思路和步骤；掌握最小二乘法的基本思路和拟合步骤。培养编程与上机调试能力。1.2 算法描述1.2.1 牛顿插值法基本思路 给定插值点序列（构造牛顿插值多项式。输入要计算的函数点并计算的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。1.2.2 牛顿插值法计算步骤 1. 输入值及（；要计算的函数点。 2. 对给定的由计算的值。3. 输出。1.3 牛顿插值法题目 1.4 本题目的 Matlab源程序 1.5 程序运行结果 1.6 总结和评价 例题4 所求4次牛顿插值多项式曲线模拟。x=0.4:0.05:1.05;y=0.41075+1.116.*(x-0.4)+0.28.*(x-0.4).*(x-0.55)+0.19733.*(x-0.4).*(x-0.55).*(x-0.65)+0.03134.*(x-0.4).*(x-0.55).*(x-0.65).*(x-0.8);plot(x,y,bo)例题5 的4次牛顿插值模拟。x=0.00:0.1:1.5;y=1.0000+x.*(-0.00500)+x.*(x-1)./2.*(-0.00993)+0.00013./6.*(x).*(x-1).*(x-2)+0.00012./24.*x.*(x-1).*(x-2).*(x-3);y1=cos(x);plot(x,y,r,x,y1,b)第二章计算实习题解答1. Matlab程序x=0.2:0.08:1.0;y=0.98-0.3.*(x-.02)-(1.5./4).*(x-0.2).*(x-0.4)-(25./24).*(x-0.2).*(x-0.4).*(x-0.6)+(25./24).*(x-0.2).*(x-0.4).*(x-0.6).*(x-0.8);plot(x,y,b)得到的图形如图一所示。图一 第一题其牛顿插值所的的图形问题与作业：本程序缺点：本程序只适合本题目，修改自变量及函数的取值，又得修改程序，能否请大家编写一个通用的牛顿插值Matlab 程序，使得只需输入自变量及函数值，调用该程序即可得到结果？例如：编写一个基本牛顿插值函数 （其变种有等距离牛顿插值函数）function yi=New_Int(x, y, xi)% Newton 基本插值公式，其中% x - 向量，全部的插值节点，按行输入% y - 向量，插值节点处的函数值，按行输入% xi - 标量，自变量x% yi - xi 处的函数估计值n=length(x); m=length(y);if n=m error(The lengths of X and Y must be equal); return;end% 计算均差表YY=zeros(n); Y(:,1)=y; % Y(:,1)表示矩阵中第一列的元素for k=1:n-1 for i=1:n-k if abs(x(i+k)-x(i) x=a:h:b;y=1./(1+25.*x.2); plot(x,y,k)图二 龙格函数的图形问题：请用Lagrange多项式对龙格函数进行插值并比较函数图形。3.平方根函数及其8次多项式插值对应的图形对比。M atlab源程序：function L8%平方根函数的8次多项式插值x=0 1 4 9 16 25 36 49 64; y=sqrt(x);m=length(x); z=zeros(1,m);for i=1:m z(i)=Lagrange(x, y, x(i);endhold onplot(x,y,o); plot(x,y,o);xlabel(x);ylabel(y);plot(x,z,r-);hold offfunction yi=Lagrange(x, y, xi)% Lagrange 插值多项式，其中% x - 向量，全部的插值节点% y - 向量，插值节点处的函数值% xi - 标量，自变量x% yi - xi 处的函数估计值 n=length(x); m=length(y);if n=m error(The lengths of X and Y must be equal); return;endp=zeros(1,n);for k=1:n t=ones(1,n); for j=1:n if j=k if abs(x(k)-x(j)eps error(the DATA is error!); return; end t(j)=(xi-x(j)/(x(k)-x(j); end end p(k)=prod(t);endyi=sum(y.*p); 习题一参考程序1. % 调用Lagrange()函数，具体参见上面给出的函数。x=0.2 0.4 0.6 0.8 1.0;y=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;xx=0.2:0.08:1.0;m=length(xx);z=zeros(1,m); for i=1:mz(i)=Lagrange(x,y,xx(i);endplot(x,y,o,xx,z,r-);所得计算图形如下图所示。习题一的图形对比 2. 参考程序，其中调用了Lagrange（）函数function Runge(n)% Runge现象% n - 等距离节点 a=-1; b=1; h=(b-a)/n;x=a:h:b; y=1./(1+25.*x.2);xx=a:0.01:b; yy=1./(1+25.*xx.2); m=length(xx); z=zeros(1,m);for i=1:m z(i)=Lagrange(x, y, xx(i);endhold onplot(x,y,o);plot(xx,z,r-);hold off调用Runge(10)得到的图像如下图：Runge(10)的图像对比Runge(12)的图像如下：图 Runge（12）的图像对比：Runge（20）的图像如：图Runge（20）的图像对比3. （1）参考程序x=0 1 4 9 16 25 36 49 64;y=0 1 2 3 4 5 6 7 8;xx=0:0.5:64; yy=sqrt(xx);m=length(xx);z=zeros(1,m);for i=1:mz(i)=Lagrange(x,y,xx(i);endplot(x,y,o,xx,yy,.,xx,z,r-);所得图像对比如下习题3（1）所得到的图像对比第三章 数据拟合实验参考程序1. 先写后面可能用到的函数function y=phi_k(x,k)% 基函数的乘积if k=0 y=ones(size(x);else y=x.k;endfunction S=squar_least(x,y,n,w)% 数据的最小二乘拟合，其中% x,y - 数据的(x,y)坐标% n - 数据拟合的次数，缺省时n=1% w - 权值，缺省时w=1% S - 数据拟合的系数% 需要另写的函数% phi(x) - 基函数，通常为多项式1, x, x2, .global i; global j;if nargin 4 w=1; en