立体几何向量方法--求角.ppt

利用空间向量解决空间角问题 一 复习引入 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 a b O是空间中的任意一点 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 B A 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 特别地 若L 则L与 所成的角是直角 若L 或L 则L与 所成的角是的角 A B O 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 A L B O 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 B B 二 数学思想 方法 步骤 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是转化与化归 即把空间角转化为平面角 2 方法 步骤 作 找 证 求 1 数学思想 几何法 向量法 夹角公式 异面直线所成角的范围 思考 结论 例1 解 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 设则 所以 所以与所成角的余弦值为 斜线与平面所成角的范围 思考 结论 例2 x y z 解 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz 二面角的范围 注意 法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 设平面 小结 1 异面直线所成角 2 直线与平面所成角 D C B A 3 二面角 一进一出 二面角等于法向量的夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 1 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 1 求异面直线SA和OB所成的角的余弦值 2 求OS与面SAB所成角的余弦值 3 求二面角B AS O的余弦值 拓展训练 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 所以二面角B AS O的余弦值为 证明如图1 7 BD AC BD AF AC AF A BD 平面ACEF DF在平面ACEF上的射影为OF AO AF 1 AOMF是正方形 OF AM 由三垂线定理得DF AM 同理FB AM DF FB F AM 平面BDF 例4 2004年辽宁省高考题 如图1 9 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD是菱形 DAB 60 PD 平面ABCD PD AD 点E为AB中点 点F为PD中点 证明 平面PED 平面PAB 求二面角P AB F的平面角的余弦值 例4 2004年辽宁省高考题 如图1 9 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD是菱形 DAB 60 PD 平面ABCD PD AD 点E为AB中点 点F为PD中点 证明 平面PED 平面PAB 求二面角P AB F的平面角的余弦值 例4 2004年辽宁省高考题 如图1 9 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD是菱形 DAB 60 PD 平面ABCD PD AD 点E为AB中点 点F为PD中点 证明 平面PED 平面PAB 求二面角P AB F的平面角的余弦值 例4 2004年辽宁省高考题 如图1 9 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD是菱形 DAB 60 PD 平面ABCD PD AD 点E为AB中点 点F为PD中点 证明 平面PED 平面PAB 求二面角P AB F的平面角的余弦值 证明 底面ABCD为菱形 AB AD DAB 60 DAB为正三角形 又E为AB中点 AB DE 又PD 平面ABCD PE在平面ABCD上的射影为DE AB PE 三垂线定理 PE DE E 平面PAB 平面PED 如图1 10 连结EF EF面PED AB EF