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第9卷第2期蒙自师专学报 V OI 9 N o 2 阿基米德浮力定律的数学证明 张建 云南省蒙自师专物理 系八九翔 摘 习石 3七 本文给出了阿基米德浮力定律较严格的数学证明 以在理论上提高对物理 定律的认识 关键词 压力 阿基米德浮力定律 高斯定理 阿基米德浮力定律可由实验得到 但这在理论上还是不足的 为此下面我们将在数学 上给予严格 的证明 我们知道浸在液体中的物体所受到的浮 力是由于液体对物体的压力不均所造成的 为此可设物休体积为 v 完全浸入密度为 p 的液体中 如图 1 犷 考虑在物体表面 x y 处的面元d了所受到 的压力 d厂 一 pd早 l 式中负号说明压力与面元的法向方向相反 p 为此处液体的压强 有 p p g h 一 2 因此 d了 一p g h 一 d矛 3 对整个物体表面压力求和 即积分 就得到物体表面所受到的合压力 厂一仲pg h 一 d矛 4 而将d了二办d z 了 d z d x了 d x办花袂入 4 式中 厂 F 二 了 F 了 F f 一 于 p g h 一 dyd z了 即得 d d x了 d x办日 一 5 一 F 二 二一 伽 g h 一z 办由 F 一 孙P g h 一z d zd x 一 6 F 一 扑 pg h 一 z d dy 1992年6月17日收到 一 84一 张慈 阿基米德浮力定律的数学证明 幸幸幸 图1 利用高斯公式 丁 丁 夕办d z Qd z d x R d x d夕 S 可见 6 式 中 平 器 器 黝 d x 恤 F 二 F 0 而 F pg 仃了 d x办d z pg y 一 7 这正是阿基米德浮力定律 即物体所受到的浮力等于它所排开的液体的重力 若物体只有一部分浸入液体中 如图2所示 则可将物体分成两部分 只考虑浸入液 体的部分n 的受力情况 同理可得到 F Pg犷n 即物体所受到的浮力还是等于 它们所排开的液体的重力 本文得到王世恩老师的指导 在上表示深深的感谢 参考文献 I了 2 丁淑美 初级中学课本 物 理 邢莲兰编 樊映川编 高等数学 第三 册 一 85一 19 92 年泉自师专学报 自然科学版 第9卷第2期 THE M ATHE MA T ICA LPROVINGTOTHE AR CHIME D ES BU OY AN CELAW T h e c 此留 召夕of the 助声1 5 D e 脚 rtmenr 3了 e n 肛1T e a che I n sti t te y公 n n a n ABSTRACT ThisPaPe r w i ll maketheA re h im edes Bu oyane eIawona Pro uinginm athematial 5 0a stoenheme eandunde rstem dingto th isIaw K
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