行列式典型例题.pdfVIP

1 第二讲 行列式综合训练行列式综合训练行列式综合训练行列式综合训练 第一部分 例 2 1计算行列式 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是零 n D 1 1 a a 解这道题可以用多种方法进行求解 充分应用了行列式的各种性质 方法1 利用性质 将行列式化为上三角行列式 n D 1 1 c n c a 1 01a a a a 1 1 n aa a n a 2n a 方法2 仍然是利用性质 将行列式化为上三角行列式 n D n1 rr 1 11 a aa 1n cc 11 1 a a a n a 2n a 方法3 利用展开定理 将行列式化成对角行列式 n D 1 c 展开 1n a a a 1 1 001 0 1 0 n n a a 而 1 1 001 0 1 0 n n a a 最后列展开 21 1 n 2n a a 2n a n D 1n a a 2n a n a 2n a 方法4利用公式 AO OB A B 将最后一行逐行换到第 2 行 共换了2n 次 将最后一列逐列换到第 2 列 也共换了 2n 次 2 n D 2 2 1 n 1 1 a a a 1 1 a a 2n a a n a 2n a 方法5利用公式 AO OB A B 例 2 2计算n 阶行列式 112 122 12 n n n nn abaa aaba D aaab 1 2 0 n bbb 解采用升阶 或加边 法 该行列式的各行含有共同的元素 12 n a aa 可在保持 原行列式值不变的情况下 增加一行一列 适当选择所增行 或列 的元素 使得下一步化 简后出现大量的零元素 12 112 122 12 1 0 0 0 n n nn nn aaa abaa Daaba aaab 升阶 21 31 11n rr rr rr 12 1 2 1 100 100 100 n n aaa b b b 1 1 1 2 1 j j cc b jn 11 12 11 1 2 1 000 000 000 n n aa aaa bb b b b 1 1 2 1 1 n n n aa bbb bb 这个题的特殊情形是 12 12 12 n n n n axaa aaxa D aaax 1 1 n n i i xxa 可作为公式记下来 例 2 3 计算n阶行列式 3 1 2 111 111 111 n n a a D a 其中 12 0 n a aa 解 这道题有多种解法 方法1 化为上三角行列式 n D 1 2 ir r in 1 12 1 111 n a aa aa 1 1 2 j j a cc a jn 2 11 0 0 n b a a 其中 11 2 1 1 n i i baa a 1 1 1 1 n i i a a 于是 n D 12 1 1 1 n n i i a aa a 方法2升阶 或加边 法 1 2 1111 0111 0111 0111 n n a Da a 升阶 1 2 3 1 ir r in 1 2 1111 100 100 100 n a a a 11 1 1 1 12 1 2 1 1 2 1 1111 1 1 j j n i j cc an n jn ii n a a a aa aa a 方法3递推法 将 n D改写为 1 2 1110 1110 111 n n a a D a n 按c 拆开 1 2 111 111 111 a a 1 2 110 110 11 n a a a 4 由于 1 2 111 111 111 a a 1 1 in r r in 1 2 111 a a 121n a aa 1 2 110 110 11 n a a a n 按c 展开 1nn a D 因此 n D 1nn a D 121n a aa 为递推公式 而 11 1Da 于是 n D 1nn a D 121n a aa 12n a aa 1 121 1 n nn D a aaa 12n a aa 2 1221 11 n nnn D a aaaa 12n a aa 1 12 11 n D aaa 12n a aa 12 111 1 n aaa 例 4设 3431 2321 1211 xx xx xx xf 证明存在 1 0 使0 f 证因为 f x是关于x的二次多项式多项式 在 1 0上连续 0 1 内可导 且 0 331 221 111 0 f 101 1 11 10 121 f 由罗尔定理知 存在 1 0 使0 f 例 2 5计算D 2222 4444 1111 abcd abcd abcd 解 这不是范得蒙行列式 但可借助求解范得蒙行列式进行求解 方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解 从下向上 逐行操作 5 D 2 43 32 21 ra r rar rar 222222222 1111 0 0 0 bacada b bac cad da b baccadda 1 c 展开 ba ca da 222 111 bcd b baccadda 3 r拆开 ba ca da 333 111 bcd bcd 222 111 a bcd bcd 其中 333 111 bcd bcd 2 32 21 rb r rbr 2222 111 0 0 cbdb c cbd db cb db 11 c cbd db cb db d dbc cb 由于 222 111 bcd bcd 是范德蒙行列式 故 222 111 bcd bcd cb db dc D abcd ba ca da cb db dc 方法2D 21 31 41 cc cc cc 2222222 4444444 1000 abacada abacada abacada 1 r展开 ba ca da 222222 111 bacada babacacadada 21 31 cc cc ba ca da 22 100 bacbdb babaxy 1 c展开 ba ca da cbdb xy 6 其中 222 xcb abcacbcab 222 ydb abcadbdab D abcd ba ca da cb db dc abcd ab ac ad bc bdcd 方法3用升阶法 由于行列式中各列元素缺乏 3 次幂的元素 在D中添加 3 次幂的一 行元素 再添加一列构成 5 阶范得蒙行列式 5 D 22222 33333 44444 11111 abcdx abcdx abcdx abcdx 5 D按第 5 列展开得到的是x的 4 次多项式 且 3 x的系数为 4 5 45 1 ADD 又利用计算范得蒙行列式的公式得 5 D ba ca daxa cb dbxb dcxcxd ba ca da cb db dc xaxb xcxd ba ca da cb db dc 43 xabcd x 其中 3 x的系数为 ba ca da cb db dc abcd 由 3 x的系数相等得 D abcd ba ca da cb db dc 例2 6设 4322 3211 4311 3151 A 计算A41 A42 A43 A44 其中A4j j 1 2 3 4 是 A 中元素a4j的代数余子式 解直 接 求 代 数 余 子 式 的 和 工 作 量 大 可 将 41424344 AAAA 改 写 为 41424344 1111AAAA 故 7 A41 A42 A43 A44 1111 3211 4311 3151 1602 1023 1012 1000 4 1 602 1 023 012 6 2 1 00 320 206 1 例 2 7求解方程 1111 1111 01121 111 1 x f xx nx 解 方法 1 f x 1 2 ir r in 1111 000 0010 000 2 x x nx 2 1 1 1 nxxx n 由题设知 0 2 1 1 1 nxxxxf n 所以2 1 0 121 nxxx n 是原方程的解 方法2由题设知 当2 2 1 0 nx 时 由于行列式中有两列对应元素相同 行列式 值为零 因此 xf可写成 2 1 nxxAxxf 于是原方程0 2 1 nxxAxxf 的解为 2 1 0 121 nxxx n 例 2 8 计算元素为aij i j 的n阶行列式 解方法1由题设知 11 a 0 12 1a 1 1 n an 故 8 011 102 120 n n n D nn 1 1 2 ii r r i n n 011 111 111 n 1 1 jn cc jn 12 11 021 1 2 1 02 0001 nn nnn n 其中第一步用的是从最后一行起 逐行减前一行 第二步用的每列加第n列 方法2 011 102 120 n n n D nn 1 1 2 1 111 111 120 ii r r in nn 1 2 100 120 1231 j cc jn nnn 12 1 2 1 nn n 例 2 9 计算行列式 22 11 11 22 00 00 00 00 bd bd ca ca D 解方法1 按第一列展开 11 211 2 0 0 00 ac Da db b 0 0 00 11 11 2 2 bd ca c d 11 11 22 bd ca ba 11 11 22 bd ca cd 22b a 11 11 22 bd ca cd 22b a 22c d 11b a 11c d 方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算 选定第2 3 行 有 112 3 2 3 11 1 ac D db 22 22 ac db 11b a 1 1 d c 22b a 2 2 d c 9 例 2 10计算 2n D 11 11 nn nn ab ab cd cd 其中未写出的元素都是 0 解 方法 1 利用公式 AO OB A B 采用逐行操作 将最后一行逐行和上行进行对换 直到换到第 2 行 作22n 次相邻 对换 最后一列逐列和上列换 换到第 2 列 作22n 次相邻对换 得到 2n D 2 22 1 n 11 11 11 11 00 00 00 00 nn nn nn nn ab cd ab ab cd cd 2 D 2 1 n D nnn n a db c 2 1 n D nnn n a db c 1111 nnnn adbc 2 2 n D nnn n a db c 1111 nnnn adbc 111 1 a dbc 1 n iiii i adbc 方法2 利用行列式展开定理进行求解 2n D 1 r展开 11 11 11 11 0 0 nn n nn n ab ab acd cd d 10 1 2 1 n n b 11 11 11 11 0 0 nn nn n ab ab cd cd c 上面第 1 个行列式是 AO OB 的形式 而第2 个行列式按第1 列展开 所以 2n D 21 1 2222 1 n nnnn nn a d Db cD nnn n a db c 2 1 n D 1 n iiii i adbc 例 2 11 计算 5 1000 1100 0110 0011 00011 aa aa Daa aa a 解 方法 采用递推的方法进行求解 5 D 125 ccc 1000 0100 0110 0011 0011 a aa aa aa aa 1 c 展开 100 110 011 0011 aa aa aa a 5 1 000 100 1 110 011 a aa a aa aa 即 5 14 54 1 DDaa 4 13 43 1 DDaa 3 12 32 1 DDaa 2 2 1Daa 故 2345 5 1Daaaaa 方法2 采用降阶的方法进行求解 11 5 D 12 1 ra r 22 0100 1100 0110 0011 00011 aaaa aa aa aa a 2 13 1 ra ar 2323 0010 1100 0110 0011 00011 aaaaaa aa aa aa a 23 14 1 ra aar 234234 0001 1100 0110 0011 00011 aaaaaaaa aa aa aa a 234 15 1 ra aaar 2345 00001 1 100 0110 0011 00011 aaaaa aa aa aa a 1 r展开 23455 14 1 1 1 aaaaa 2345 1aaaaa 例 2 12 证明 D n 121 100 010 nnn x x aaaxa 1 11 nn nn xa xaxa 证方法1递推法按第1 列展开 有 D n x D 1 n 1 1 n an 1 1 1 1 1n x x x xD 1 n an 由于D1 x a1 2 21 1x D axa 于是 Dn xD 1 n an x xD 2 n a 1 n an x 2 D 2 n a 1 n x a n 12 x 1 n D1 a 2x 2 n a 1 n x a n 1 11 nn nn xa xaxa 方法2第 2 列的x 倍 第 3 列的x 2 倍 第n 列的x 1 n 倍分别加到第 1 列上 12 cxc n D 2 1121 0100 10 000 nnnn xx x axaaaxa 2 13 cx c 3 2 121231 01000 0100 010 nnnnnn x xx axax aaaaxa 01 1 1 x fx n r 按 展开 1 1 nf 1 1 1 1n x x x f 其中 1 11 nn nn faaxa xx 或Dn 21 123 n n cxcx cxc 1221 01000 0100 0001 nn x x faaaxa 1 按c 展开 1 1 nf 1 1 1 1n x x x 11 1 1 nn f f 其中 1 11 nn nn faaxa xx 方法3利用性质 将行列式化为上三角行列式 13 Dn 21 32 1 1 1 1 nn cc x cc x cc x 1 122 000 000 000 nnn nnnn x x x aaa aaak xxx n 按c 展开 x 1 n kn x 1 n 1 n n x a 2 1 n n x a x a2 a1 x 1 11 nn nn aaxa xx 方法4 n r n D 按 展开 1 1 n n a 1000 100 001 x x 2 1 1 n n a 000 0100 001 x x 21 2 1 n a 100 000 0001 x x 2 1 1 n ax 100 000 000 x x x 1 1 n 1 1 n an 1 2 n 1 2 n a 1 n x 1 12 n 1 a 2x 2 n 1 n2 a1 x x 1 n 1 11 nn nn aaxa xx 例 2 13 计算n 阶 三对角 行列式 D n 000 100 0100 0001 解 方法 1递推法 14 D n 1 按c 展开 D 1 n 1 0000 100 0001 n 1 按r展开 D 1 n D 2 n 即有递推关系式D n D 1 n D2 n n 3 故 1nn DD 12 nn DD 递推得到 1nn DD 12 nn DD 2 23 nn DD 2 21 n DD 而 1 D 2 D 1 22 代入上式得 1 n nn DD 1 n nn DD 2 1 由递推公式得 1 n nn DD 1 2 nn n D 2 D 2 n 1nn n 1n 1nn 时 当 时 当 1 n 1 11 n nn 方法2把 Dn按第 1 列拆成 2 个 n 阶行列式 Dn 000 100 0100 0001 000 100 0100 000 0001 上式右端第一个行列式等于 D 1 n 而第二个行列式 15 000 100 0100 000 0001 1 2 ii cac in 0000 1000 0100 0001 n 于是得递推公式 1 n nn DD 已与 2 1 式相同 方法3在方法 1 中得递推公式 Dn D 1 n D 2 n 又因为当 时D1 22 2 1 D 2 22 33 D 3 10 1 0 3 2 22 44 于是猜想 11nn n D 下面用数学归纳法证明 当 n 1 时 等式成立 假设当n k 时成立 当 n k 1是 由递推公式得 D 1 k D k D 1 k 11kk kk 22kk 所以对于n N 等式都成立 第二部分 这一部分的题是与矩阵 向量 特征值等后续内容有关的题 感觉困难的同学可以放到 相关内容学习后再看 但应注意考研题中关于行列式内容的出题 往往与后续内容联系较多 16 例2 14设A为3 3 矩阵 A 2 把A按行分块为 1 2 3 A AA A 其中 1 2 3 i A i 是 A的第i行 则行列式 31 2 1 2 2 AA A A 解 31 2 1 2 2 AA A A 31 2 1 2 2 AA A A 3 2 1 2 A A A 1 2 3 22 4 A AA A 例 2 15判断题 1 若BA 是可乘矩阵 则 ABBA 2 若BA 均为n阶方阵 则ABAB 解 1 错误 因为BA 不一定是方阵 即不一定有对应的行列式 2 错误 例如取 30 03 A 20 02 B 15ABAB 例 2 16证明 奇数阶反对称矩阵的行列式为零 证 1 AAAAAAA nTT n为奇数 所以 A 0 例 2 17 数四 01 3 分 设矩阵 111 111 111 111 k k A k k 且秩 R A 3 则k 解 由于 111 111 111 111 k k A k k 124 rrr 3333 111 111 111 kkkk k k k 1111 111 3 111 111 k k k k 1111 0100 3 0010 0001 k k k k 3 3 1 kk 由 R A 3 知A 0 而1k 时 R A 1 故必有3k 例 2 18若BA C均为3 阶可逆方阵 1 A 2 B 计算CBAC T211 2 17 解CBAC T211 2 2 311 2 T CA BC 22 31 1 2 T C AB C 2 2 3 1 2A B 2 例 2 19 设 3 阶方阵BA 满足方程EBABA 2 试求矩阵B以及行列式B 其中 101 020 201 A 解 由EBABA 2 得EABEA 2 即 AEAE BAE 由于 201 030 202 AE 180AE 001 010 200 AE 20AE 111 BAEAEAEAE 1 001001 2 010010 200100 所以 2 1 B 例 2 20设A为 3 阶方阵 A 2 求 1 1 3 2 AA 的值 解方法1化为关于 A的形式进行计算 利用公式 11 1 AA 1 A A A 1n AA 有 1 1 3 2 AA 1 23AA 23 A A A 3AA 2A 3 2 A 2 3 2 A 32 18 方法2化为关于 1 A 的形式计算 利用公式 11 1 AA 1 AA A 1 A 1 A 有 1 1 3 2 AA 11 23AA A 1 4A 3 4 1 A 32 例 2 21 数四 98 3 分 设BA 均为n阶方阵 A 2 B 3 求 1 2 BA的值 解 1 2 BA 1 2 BA n n 2 1 n A B 1 n 2 1 2 n 3 1 3 2 12 n 例 2 22 若 21321 都是 4 维列向量 且 4 阶行列式n 3221 m 1321 计算 4 阶行列式 32112 的值 解 如果行列式的列向量组为 n 21 则此行列式可表示为 n 21 利 用行列式的性质 有 21123 3211 3212 1231 3221