中国传统数学的逻辑过程.pdf

汉中师范学院学报 社会科学 199 8 年第 4 期 总第 56 期 V ol 16No 4 中国传统数 学的逻辑 过 程 刘邦凡王 静 提要本文以逻辑学为工具 探讨了中国传统数学的逻 辑起点 以及中国 传统数学理论和中国传统数学著作的逻辑过程 力求对中国传统数 学有所新的 认识 关键词中国传统数 学逻辑理 论著作 本 文所谓 中国传统 数学 下文简称 中算 指 在与 西方数学合流之 前在 我国古代独 立发展 起来 的数学方法和理论 众所周 知 在数 学哲 学观 的 问题上 不论是弗雷格和罗素 的逻辑主义 还 是布鲁沃和布尔的直觉 主义 以及大数学家希尔伯特的形 式主 义 都有着 众多不可克服 的局限性 我 们却认为 逻辑可以是数学 的工具 数学亦可成 为数 学 的工 具 数学与逻辑可以是工具的互换使用 现今数理逻辑 符号数学 计算机模糊逻辑的飞 猛 发展 就是最好的例证 数学不 是逻辑 逻辑也 不是数学 二者不 能等同 只能互 用 中算 与逻辑的关系也是如此 一 中算 的逻辑起源 图示 l 中算的实用性演绎起源 一 华 刁一厂 燮导 竺三塑 1 甲 曰 l e s 几何 目 算法 计算技术 算具 筹算 算盘臼 中算具有 很强 的社会实用性特色 中算从诞生 之日起就与社 会 现 实结 下 不解 之缘 尤以与天文 历 法 的关系最 为紧密 畴人传 中所 列举的 中算 家 中国古代数 学家 的简 称 绝大 多数都参与或协 助过所处 时代的历法革新工作 中国古代最早 的数学专著 算经 书 中也有 历法 的痕迹 算 经十书 中最早 的一部 周骸算 经 是 一部讲天文 的数学著作 而且 中算史 上众多具有划 时代意义的杰出成就 就直接来 自于历法推算 如秦九韶 120 2一 缺 本文在写作过程 中 承蒙导师何向东教授指导和审阅 在此深表谢意 1 2 6 1 的 大衍求一术 产 生于历 法 上 元积年的推演 又如应 调 整 历法数据的要求 历代中 算 家逐渐 发展起了完 善的分数近 似法 中算实用性的特 征 决定了它的发 展趋 势是以解 决实 际 运用 问题和提高计算技术为 主要目标 一 方面 是几何对象 的度量 化 另 一方面 是 几何方 法 与代数方法的相互 渗 透与 借用 形 成 形 数结合 以算 为主 的格 局 算术与代数 的许多理论与方 法被 广泛应用在几 何学领域 表现 为几何的代数化倾向 几何的原理与方法又被成功地用 于代数 数论等领 域 充分体现了辩证逻辑的思想 以算为主 决定了中算成果 表现 为算法 的形式 而数学 问题的模式化和使用算具又带 来了计算方法 程序化 中算家大多善于应用演算的对称 性 循环性 递 进 性 将演算程 序 设计得 十分简洁 明了 开方术 增 乘开方法 大衍求 一术等无一不是筹算程序设计的典范 由于需要提高数学计算的速度与准确性 除改进算法外 就是 改进算具算器 在这方面 中 算独具特色 从算筹演进 到算盘 就是中算发展历程的重 要方面之一 二 中算理论 的演绎过程 中算以算为 主 并不 是说中算家或在 中算著作中没 有逻辑论证 更不等于说中算没有 形成 自足的理论体系 由于 中算有讲究实用 的特点 中算家们在 中算著作中一般不把算 理写 出来 而花大量 的篇幅去叙述一个个具体的算法 通 过这些算法 可以使读者或后人 明了算 理 找出算理 掌 握算法 就 是就其中算的外部结构 而 言 中算也 充分体现了逻 辑 的特 点 如 中算著作的篇目的划分 题序的安排 内容的处理都或多或少地体现了理论归 属与逻 辑 的联 系 如 九章算术 下 文简 称 九 章算术 为 九章 各章的题序大多遵循内 容 由易到难 原则 海岛算经 简称 海岛 下 文同 的九 问也 是 由简到繁的 编排 反 映 出 重差诸术 类推衍化 的造术发展 过程 九章 商功章的求积公式采取柱 锥 台体的方 圆 对比的排列 暗示 出这些 公式 的类似性是通 过截面原理 推导 的结 果 图 示2 中算几何算理的演绎 天 文历法 一 高远 田亩测 量 一 面积 土木建筑 口一 叫 恒原理 J 容器容量 中算家处理数学 理论 的手段与西方古代数学家有所 不同 前者主张 寓理于算 将算 理 蕴涵于演算的步骤或过 程之 中 使算理呈现 不言自喻 不证自明 状 态 而后者多是先 列出算理 依理而算 先有 理后有 法 比较起来 按照现代逻辑思维 的理解 前者更有 利于 激发读者 或后人的逻 辑思 维力和创造 力 这也许就 是 为什么中算 在众 多 问题上遥 遥领先 于世界数百年甚至上 千年的原 因之一 吧 由于 寓理于算 不利于数学 的普及 为使普通人掌握算理 学好数学 对 中算典籍进 行注解诊释就显 得非常之必 要 于是 注经之风兴盛 不衰 历代相传 可以这样说 著名 的 中算著作无一没 有注 释 当然 注 经必 然会加进 自己的新观点与新方法甚 至新理论 注 不仅是使算理呈 现显性 更是注入新理 使之进 步和升华 如刘徽 九章算术注 堪称注 经 之典范 图 示 3 中算代数算理演绎 社会生活 天文历法 一 盈不足术 门一 剩余定理 一 大衍求一术 一 一一次内插 一 二 三次内插 一 高 次 内插 姗 博 一 术 一 数字 了 一了 匕一一一一 贾宪三 一 一 告 垛积术 高次方程 阶等 级数 开带从平方开带从立方 天元术一四元术 几何代数化 代数学 中算理论高度概括 精炼而深刻 中算家善于从错综复杂 的数学 现象 中抽象概括 出 深刻的数学概念 提炼出最一般的数学 原理 并从非常 简单的基本原理 出发解决重 大 的实 际 问题和关键性的理论 方法 的论 证 在几何学领域 田亩丈量 天文 历法 导致面积问题 和勾股测 量 问题 容器容积 的计算 土 木建筑工 程 的设计与施工 导 致体积 问题 并从前二 者 总结提炼成一个简单明了看起来微不 足 道 的一般原理 出人相补 原理 利 用 此 原 理 使多 面体的体积 问题得以解决 并升华为刘徽原 理 进 一 步 的球体积 问题的解决 产 生了祖恒 原理 截面原 理 中算几何学以勾股形式代替一般三角 形处 理直线问题 较 少 讨论角 的性质 与度量 也尽量避 开平行 线与 一般相似形 的繁琐理论 使得几何理论的结构 体系 异常简 明扼要 至于代数 其理论体系比几何复杂 得多 这 是 由中算代数 的性 质与 特 征所决定的 中算中代数与几何分家并不 明显 形数结合 相互促进 以算为 主 融 进大 量计算方 法 中算代数的结构体系复杂于几何体系这 是很明显 的 但不 能说没 有 基本 的 线索 基本的结构 三 中算书的演进 1 6世纪以前的中算书 原则上大多遵循 九章 的体例 而且很多也是 应用 问题及 解法 的集成 当然理论与方法是各有千秋的 一般后世 中算对前世 中算都有所推进 九章 正 文用 题 答 术 三段式 写成 尤以 术 段为算理蕴含最多 但一般十分简 约 不 易看懂 必 须借 助 注 才能 明了算理 基于此为便于常人或后 学 阅读 后世中算家多对前世中算书 作注 也 有 为 同代人或自己算书作注 的 公元 26 3 年 刘徽 对 九章 作注 公元 7 世纪 李 淳风 为刘徽的注作了注 除 九章 外 其它中算书几乎都有 注 有 的还不只一个 多的有 l9 四 五 个 对 算 书作注可以说 是 中算家发 现 或表 达 自己数学思想和理论的 主旋 律 口算 家作注的主要过 程不 外有二 一是 用传统 的方 法给算法作出更让人理解的解 释 并 加入一 些新的见解 观点与方 法 二 是突 破原书 的体 系与内容 另写新 的 内容或新 书 附于原书后 面 以达到创新说 立新 意 的目的 如刘徽 的 九章 注尽管已十分透彻 与深刻 但他仍觉得 不能 彻底 表达他的数学 思想与理论 因此 另写 重差 附于 九章 注 之后 除 九章 外 许 多 中算书都使用 题 答 术 三段式 的基本撰 写 方式 不 过 题 中不仅有 内容叙述 还有 设 问 因此 题 答 术 与现代数学解 题的逻 辑过程 已 知一求 设问 一证 解 一答 是完 全一 致的 这表 明中算 家们已很好 掌握数学 解题的逻辑思 维过程 算经 十书 中除 九章 周脾 外其它 几 种原 则 上都 是对 九 章 的某 一 部分某 一 内 容某 一观点作些 修补 或者作些 深人 或者 引用 到实际的社 会 需要 中 后 者 就形成最早的应 用数 学 如 五 曹算经 五经 算术 之类 继 算经 十书 之后 宋元数学是 中算发 展 的又 一 高峰 尤以秦 九 韶 的 数书九 章 下 文均 简称 数书 最具成就和代表 性 可以说它 与 九章 同 为中算不 同 时期的划 时代巨 著 不过 总体而言 它仍然是 对 九章 及秦汉数学的继承和发 展 这 表现在体例 内容 理 论等诸方面 例如 数书 集秦汉以来中算开方术之大成 最终解决了数学高次方程有理 数根和无 理数根的近似值计算问题 推广孙 子剩余定理使一 次 同余式解法成为可能 对 九章 方程术 继 承并改进 了计算技术 对 九章 与 海岛算经 中的测 望之术发扬光大 对勾股 重差 之术多有 阐发 造 三斜求积公式 等等 不仅如此 数书 对 九章 在编写 体例 社 会反 映 题目类型 术名 关联 解题 方法设计等诸方面也作了继 承 和发展 与 数 书 同时期的宋元算书也有类似的情况 测 圆海镜 益古演段 中用代数方法 列方程 的 天元 术实际上是以增乘开方法 为基础 的 杨辉 的著作是对秦汉实用数学和各种简捷算法 的杰 出继 承 算学启蒙 则系统 地由浅 人深 循 序渐进 地展 现了前世数学的全貌 四元玉 鉴 发展 天元术到四元术 发展 内插法 到高次 内插 发 展 张邱建算经 的等差级数求和到 高阶等差级数求和 等等 宋元以后 随着 明朝社 会经济生活 的变化与发展 珠算成为中算的一个重要标志 和特 色 算法 统综 是珠 算与 中算 的 杰 出结 晶 至于 九章算注比类大全 不但沿袭 九章 体 例 而且 内容上 也多 有引用 古代中算书 尽管在局 部上是 有所变化 的 明朝 时期 西方数 学已开始 传入 但 就整个明朝 时期的 中算 而 言 整体上还属 于中算 的 范畴 到了清朝 初 叶 梅文 鼎 焦循 汪 莱 李锐等人 工作 以及清中叶戴煦 李 善兰的数学研究都或多或少体 现了中算的特色与传统 说清代的数学属于中算的范畴也符合实情 四 中算书 内容编 排 的逻辑 成书于东汉初期 约公元5 0一10 0 年 的 九章 其编辑体例深受儒家传统思想的影 响 郑众 马德 马融等儒士以为 人 民在生 产实践中产生 的数学概念和计算方 法都不能 超 越儒家六 艺 中 九数 的 内容 进而 把前世相传的算法分别隶 属在 九章 之 内 同 时 九章 的编集工作也受 到荀子 学说的唯物主义思 想影 响 紧密联 系社会实际与需 要 详尽 具体问题的 术 方法 而对 理 数学理 论 的东西 适 可而止 表现重感性认识轻理性认 下转第50页 2 0 局 的种子 封建社 会对于男 子的一夫多妻和要求女子 的一夫一妻注定了潘金莲式不安分 守 分的性格是悲剧性 的 要求和男子一样的权利 要求和男 子 一样的追欢 逐 乐是社 会和 法 律所不容 的 她的每一个行 为都有可能遭到驱逐 毒打 甚至杀害 叛逆 的性 格 报复的 行为只能为社会所吞没 潘金莲和李 瓶儿她们虽有着不同的音容 笑 貌 不 同的生活遭际 不 同的个 性 特征 但 不管她们 的气质 具有悲 剧 的或是喜剧 的成分 那样 的 充满悲 剧气氛的社 会都必然使女性 的个性悲剧 变得 更为深 重 喜剧也 难得有一个光 明的终局 她 们 在追 求 人情人欲上带 着 时代的特色而显得较为果敢 但却步人 误区 潘金 莲 李 瓶 儿一 开 始 的追 求 是正常 的 是 人的基本的生理 与精 神需 求 传 统的等级制 婚姻制使 她 们感到 气 的失 衡 而 张扬生命 的生活背景及环境又使之人性觉 醒 进而追 求 但 当情 欲过于膨胀 超出一定的 行 为规范 时 它 必然 带来 严重的后果 生命的悲 剧便不可避免 注 清 张潮 幽梦影 恩格斯 家庭私有制和 国家的起源 马克思恩格斯选集 第四卷 人民出版社 197 2 年 5 月第一版 第 6 3页 上接 第2 0页 识的倾 向 算经 十书 及宋元 明 清 中算书大 多采用 题答 术 之 类的编 写体例 都 采用 问题 集的形 式 如 九章 收集 24 6 题 及 答 212 术 不 过 题 答 术 不 完 全 一对 应 有的一 问 一术 有 的多 问一术 有 的一问多术 体现了归 纳与归类的观点 比较 数书 与 九章 两 者 都采用问题集的形式 把所 有 问题分 成九类 有问 有答 有 术 不过两 书分类 的标准不 一 问题 的模式不同 问答 术 的次序有异 而且 数书 术 后 有 草 具体的演算记 录 有 的 草 后 还有 图 演 算图或示意 图 在问题 编写的分类 上 许 多中算书 都依据 一定的标 准 对书 中问题进 行分类 编写 如 九章 分 24 6 个问题 在九章 之 内 有 几章按问题的性 质分 类 如 方田 粟米 商 功 等 有几章则按解题的方法 分类 如 盈不 足 方 程 等 五 曹 算经 把 6 7个问题按其问 题的适用性 分属于田曹 兵 曹 集 曹 仓 曹和 金曹 数书 8 1题分为 九类 除第一类按 解题 方 法分 类外 其它八类都是 按 问题 的性 质进行分类 参考文献 1 杨百顺 比较逻辑史 四川人民出版社 1 98 9 年版 2 马 玉坷