自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 (2) [兼容模.pdf

1 2011年年9月月 第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型 2011 09 212 第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 结构图 方块图 信号流图及梅森增 益公式 结构图 方块图 信号流图及梅森增 益公式 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数 小结小结 2 2011 09 213 2 3 控制系统的结构图控制系统的结构图 方块图方块图 与信号流图与信号流图 控制系统的结构图和信号流图是描述系统控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元部件之 间信号传递关系 各元部件之 间信号传递关系的的数学图形数学图形 它们表示了系统中各变量之间 的因果关系以及对各变量所进行的运算 它们表示了系统中各变量之间 的因果关系以及对各变量所进行的运算 是控制理论中描述 复杂系统的一种简便方法 是控制理论中描述 复杂系统的一种简便方法 他们都是分析系统的有力工具 与结构图相比 他们都是分析系统的有力工具 与结构图相比 信号流图符号简单信号流图符号简单 更便于绘制和应用更便于绘制和应用 但是但是 信号流图只适用于信号流图只适用于线性系统线性系统 而结构图也可用于而结构图也可用于非线 性系统 非线 性系统 1 系统结构图的组成和绘制 控制系统的结构图是由许多对信号进行 1 系统结构图的组成和绘制 控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算单向运算的的方框方框 和一些和一些信号流向线信号流向线组成组成 它包含它包含四种四种基本单元基本单元 2011 09 214 信号线信号线 带有箭头的直线带有箭头的直线 箭头表示信号的流向箭头表示信号的流向 在直线旁 标记信号的时间函数或象函数 如图 在直线旁 标记信号的时间函数或象函数 如图2 12 a 引出点引出点 分支点 测量点分支点 测量点 表示信号引出或测量的位置表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号在数值和性质方面相同 如图从同一位置引出的信号在数值和性质方面相同 如图 b 比较点比较点 综合点综合点 对两个以上的信号进行加减运算对两个以上的信号进行加减运算 号 表示相加 号 表示相加 号表示相减 号表示相减 号可省略 如图号可省略 如图2 12 c 方框方框 环节环节 对信号进行的对信号进行的数学变换数学变换 框内为元部件或系统 的传递函数 框内为元部件或系统 的传递函数 如图如图2 12 d 方框可视作方框可视作单向运算的算子单向运算的算子 方框的 方框的 输出量等于其输入量与框内传递函数乘积输出量等于其输入量与框内传递函数乘积 C s G s U s 图图2 12 结构图的基本组成单元结构图的基本组成单元 3 2011 09 215 绘制系统结构图时 首先考虑负载效应分别列写各元 部件的微分方程或传递函数 并将它们用方框表示 然后 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将各方框连接便 得到系统的结构图 结构图上可以用方框进行数学运算 也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的 作用 而且 从系统结构图可以方便地求得系统的传递函 数 所以 绘制系统结构图时 首先考虑负载效应分别列写各元 部件的微分方程或传递函数 并将它们用方框表示 然后 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将各方框连接便 得到系统的结构图 结构图上可以用方框进行数学运算 也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的 作用 而且 从系统结构图可以方便地求得系统的传递函 数 所以系统结构图也是控制系统的一种数学模型系统结构图也是控制系统的一种数学模型 结构图中的方框与实际系统的元部件并非是一一对应 的 一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示 而一个方框也可以代表几个元部件或是一个子系统 或 是一个大的复杂系统 结构图中的方框与实际系统的元部件并非是一一对应 的 一个实际元部件可以用一个方框或几个方框表示 而一个方框也可以代表几个元部件或是一个子系统 或 是一个大的复杂系统 2011 09 216 例例2 10 绘制如图所示绘制如图所示 RC 无源网络的结构图无源网络的结构图 图示 图示 RC无源网络无源网络 解 将无源网络视为一个系 统 组成网络的元件就对应于系 统的元部件 设电路中各变量如 图中所示 应用复阻抗概念 解 将无源网络视为一个系 统 组成网络的元件就对应于系 统的元部件 设电路中各变量如 图中所示 应用复阻抗概念 按照这些方程可分别绘制 相应元件的方框图如图 按照这些方程可分别绘制 相应元件的方框图如图2 14 a d 所示 然后用信号线按信 号流向依次将各方框连接起 来 便得到无源网络的结构 图 见图 所示 然后用信号线按信 号流向依次将各方框连接起 来 便得到无源网络的结构 图 见图2 14 e 1 2 C uti t dt C 4 2011 09 217 图图2 14 RC无源网络结构图无源网络结构图 2011 09 218 Ka 2 1 C s 1 1 C s 2 1 R 1 R R s C s 1 U s 1 U s 1 U s 1 I s 1 I s 2 Is 2 Is 2 Is C s 1 i t 2 i t 1 u t c t r t 1 R 2 R 1 C 2 C 1 1 1 R sUs Is R 112 2 1 UsIsIs C s 1 2 2 UsC s Is R 2 1 1 C sIs C s 例 电网络方块图例 电网络方块图 5 2011 09 219 1 1 C s 2 1 R 2 1 C s 1 1 R R s C s 将上图汇总得到 将上图汇总得到 2011 09 2110 2 结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化 由系统结构图通过等效变换 简化 可方便地求取闭环系 统的传递函数或系统输出量响应 实际上 该过程对应于由 元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程 复杂系统结构图 其方框间的连接是错综复杂的 但 方框间的基本连接方式只有 由系统结构图通过等效变换 简化 可方便地求取闭环系 统的传递函数或系统输出量响应 实际上 该过程对应于由 元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数过程 复杂系统结构图 其方框间的连接是错综复杂的 但 方框间的基本连接方式只有串联 并联和反馈串联 并联和反馈连接三种 结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点 交换比较 点 进行方框运算将串联 并联和反馈连接的方框合并 在简化过程中应 连接三种 结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点 交换比较 点 进行方框运算将串联 并联和反馈连接的方框合并 在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则遵循变换前后变量关系保持等效的原则 变换前后环节的数学关系不变 变换前后环节的数学关系不变 变换前后回路中传递函数的乘积应保持不变 变换前后回路中传递函数的乘积应保持不变 变换前后闭环传递函数不变 变换前后闭环传递函数不变 6 2011 09 2111 l 串联方框的简化 等效 串联方框的简化 等效 传递函数分别为传递函数分别为G1 s 和和G2 s 的两个方框 若的两个方框 若G1 s 的输出 量作为 的输出 量作为G2 s 的输入量 则的输入量 则G1 s 与与G2 s 称为串联连接 称为串联连接 图图2 15 方框串联连接及其简化方框串联连接及其简化 2011 09 2112 2 并联方框的简化 等效 并联方框的简化 等效 传递函数分别为传递函数分别为G1 s 和和G2 s 的两个方框 如果它们有相同的 输入量 而输出量等于两个方框输出量的代数和 则 的两个方框 如果它们有相同的 输入量 而输出量等于两个方框输出量的代数和 则G1 s 与与G2 s 称为并联连接 称为并联连接 G1 s G2 s R s C s C1 s C2 s a R s 21 sGsG C s b 图图2 16 方框并联连接及其简化方框并联连接及其简化 7 2011 09 2113 3 反馈连接方框的简化 等效 反馈连接方框的简化 等效 G s H s R s C s a E s B s 图图2 17 方框的反馈连接及其简化方框的反馈连接及其简化 1 sHsG sG R s C s b s 2011 09 2114 比较点 综合点 和引出点 分支点 的移动 比较点 综合点 和引出点 分支点 的移动 为便于方框的简化运算 有时需移动比较点或引出点位 置 这时应注意 为便于方框的简化运算 有时需移动比较点或引出点位 置 这时应注意移动前后必须保持信号的等效性移动前后必须保持信号的等效性 且比较点 和引出点之间一般不宜交换其位置 此外 且比较点 和引出点之间一般不宜交换其位置 此外 号可在信号 线上越过方框移动 但不能越过比较点和引出点 号可在信号 线上越过方框移动 但不能越过比较点和引出点 表表2 2 结构图简化 等效变换 的基本规则结构图简化 等效变换 的基本规则 8 2011 09 2115 系统传递函数和结构图的等效变换系统传递函数和结构图的等效变换 比较点及分支点的换位运算比较点及分支点的换位运算 原则 换位前后的输入 输出信号间关系不变 换位前后的输入 输出信号间关系不变 比较点后移比较点后移 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框 2011 09 2116 比较点前移比较点前移 在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 9 2011 09 2117 分支点后移分支点后移 分支点前移分支点前移 2011 09 2118 分支点换位分支点换位 10 2011 09 2119 比较点变位比较点变位 2011 09 2120 比较点和分支点一般不能变位比较点和分支点一般不能变位 11 2011 09 2121 2011 09 2122 12 2011 09 2123 R s C s 1 G s 2 Gs 1 H s 例 试简化系统结构图 并求系统传递函数 例 试简化系统结构图 并求系统传递函数 2011 09 2124 R s C s 2 G s 1 H s 1 1 G s 2 1 G s 1 G s 13 2011 09 2125 R s C s 1 G s 2 Gs 1 12 11 Hs G sGs sHsGsGsGsG sGsG sR sC 12121 21 1 2011 09 2126 sR sY G 1 H 2 H 1 2 1 GHY s GHR s 方法1 引出点后移 例 试简化系统结构图 并求系统传递函数 例 试简化系统结构图 并求系统传递函数 14 2011 09 2127 sR sY G 1 H 2 H 1 2 1 GHY s GHR s 例 试简化系统结构图 并求系统传递函数 例 试简化系统结构图 并求系统传递函数 方法2 引出点前移 2011 09 2128 例例2 11 试简化图试简化图2 18的结构图的结构图 并求系统传递函数并求系统传递函数C s R s 图图2 18 例例 2 11 系统结构图系统结构图 15 2011 09 2129 4 2 G H 1 G 2 G 3 G 4 G 3 H 1 H sR sC 1 G 2 G 3 G 4 G 3 H 2 H 1 H sR sC 2011 09 2130 1 G 2 G 4 2 G H 1 H sR sC 343 43 1HGG GG 1 G 3 H sR sC 232343 432 1HGGHGG GGG 16 2011 09 2131 sR sC4321 1HGGGGHGGHGG GGGG 图图2 19 例例 2 11 系统结构图的简化系统结构图的简化 14321 sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsG sGsGsGsG s 例例2 12 试简化图试简化图2 20的结构图的结构图 并求系统传递函数并求系统传递函数C s R s 图图2 20 例例 2 12 系统结构图 解 在图中由于 系统结构图 解 在图中由于G1 s 与与G2 s 之间有交 叉的比较点和引出点 不能直接进行 方框运算 但也不可简单地互换其位 置 最简便方法是按规则 之间有交 叉的比较点和引出点 不能直接进行 方框运算 但也不可简单地互换其位 置 最简便方法是按规则 5 和规则和规则 8 分别将比较点前移分别将比较点前移 引出点后移 然后 进一步简化直至求得系统传递函数 引出点后移 然后 进一步简化直至求得系统传递函数 2011 09 2132 17 2011 09 2133 3 信号流图的组成及性质信号流图的组成及性质 该图起源于用图示法描述线性方程式 是由该图起源于用图示法描述线性方程式 是由节点和支路节点和支路组成的一 种 组成的一 种信号传递网络信号传递网络 节点代表方程式中的变量 以小圆圈表示 支路是 连接两节点的定向线段 相当于乘法器 节点代表方程式中的变量 以小圆圈表示 支路是 连接两节点的定向线段 相当于乘法器 信号流图的基本性质信号流图的基本性质 1 节点标志系统的变量 自左向右顺序设置 每个节点标志的变 量是所有 节点标志系统的变量 自左向右顺序设置 每个节点标志的变 量是所有流向流向该节点的信号之代数和 而从同一节点流向各支路 的信号均用该节点的变量表示 该节点的信号之代数和 而从同一节点流向各支路 的信号均用该节点的变量表示 2 支路相当于乘法器 信号流经支路时被乘以支路增益 支路相当于乘法器 信号流经支路时被乘以支路增益 3 信号在支路上只能沿箭头单向传递 且信号流图不惟一 信号在支路上只能沿箭头单向传递 且信号流图不惟一 2011 09 2134 源节点 输入节点 源节点 输入节点 在该点上只 有信号输出支路 没有信号输入支 路 一般代表系统的输入量 在该点上只 有信号输出支路 没有信号输入支 路 一般代表系统的输入量 名词术语名词术语 阱节点 输出节点 阱节点 输出节点 该点上只有输入支路而没有输出支路 代表输出量 该点上只有输入支路而没有输出支路 代表输出量 混合节点混合节点 在该点上既有输入支路又有输出支路 若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路 可将混合节点变为阱节点 在该点上既有输入支路又有输出支路 若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路 可将混合节点变为阱节点 18 2011 09 2135 2011 09 2136 4 信号流图的绘制信号流图的绘制 1 由系统微分方程绘制信号流图 1 由系统微分方程绘制信号流图 含有微分或积分的线性方程 应通过拉氏变换 变换为s的代 数方程后再画信号流图 绘制时首先要对系统的每个变量指定一 个节点 并按照变量的因果关系 从左向右顺字排列 然后 用 标明支路增益的支路 根据方程式将各节点变量正确连接 含有微分或积分的线性方程 应通过拉氏变换 变换为s的代 数方程后再画信号流图 绘制时首先要对系统的每个变量指定一 个节点 并按照变量的因果关系 从左向右顺字排列 然后 用 标明支路增益的支路 根据方程式将各节点变量正确连接 例例2 13 试绘制例试绘制例2 10的无源网络信号流图 的无源网络信号流图 将各变量重新排列得下述方程式组 将各变量重新排列得下述方程式组 19 2011 09 2137 2011 09 2138 2 由结构图绘制信号流图 由结构图绘制信号流图 只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号 便得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框 便得到支路 于是结构图就变换为相应的信号流图了 只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号 便得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框 便得到支路 于是结构图就变换为相应的信号流图了 注意 注意 1 尽量精简节点的数目 但源节点或阱节点不能合并掉 尽量精简节点的数目 但源节点或阱节点不能合并掉 2 在比较点之前有引出点时 就需在引出点和比较点各设 置一个节点 在比较点之前有引出点时 就需在引出点和比较点各设 置一个节点 20 2011 09 2139 例例2 14 试绘制图试绘制图2 21所示系统结构图对应的信号流图所示系统结构图对应的信号流图 图图2 21 例例2 14的结构图的结构图 解 首先在系统结构图的信号线 上 用小圆圈标注各变量对应 的节点 如图 解 首先在系统结构图的信号线 上 用小圆圈标注各变量对应 的节点 如图2 22 a 其次将 各节点按原来顺序自左向有排 列 将结构图中的方框用具有 相应增益得支路代替 连接节 点得到信号流图 其次将 各节点按原来顺序自左向有排 列 将结构图中的方框用具有 相应增益得支路代替 连接节 点得到信号流图 图图2 22 例例2 14的信号流图的信号流图 2011 09 2140 5 梅森梅森 Mason 增益公式增益公式 控制工程上常用梅森增益公式直接求取从源节点到阱节点 的传递函数 以免简化结构图或信号流图的麻烦 控制工程上常用梅森增益公式直接求取从源节点到阱节点 的传递函数 以免简化结构图或信号流图的麻烦 对于任意复杂信号流图 求取从任意源节点到任意阱节点之 间传递函数的梅森增益公式为 对于任意复杂信号流图 求取从任意源节点到任意阱节点之 间传递函数的梅森增益公式为 n k kk pP 1 1 2 26 21 2011 09 2141 例例2 15 试用梅森公式求例试用梅森公式求例2 11系统的传递函数系统的传递函数C s R s 2011 09 2142 前向通路有一条前向通路有一条 即即n 1 p1 G1G2G3G4 回路有三个回路有三个 14321334322321 HGGGGLHGGLHGGL 没有不接触回路没有不接触回路 且前向通路与所有回路都接触且前向通路与所有回路都接触 故故 1 14321 11 1 1 HGGGGHGGHGG GGGG p sR sC 22 2011 09 2143 例例2 16 试用梅森公式求图试用梅森公式求图2 23信号流图的传递函数信号流图的传递函数C s R s 图图2 23 例例2 16的信号流图的信号流图 解解 单独回路有四个即单独回路有四个即 21321 GGGGGLa 两个互不接触的回路有四组两个互不接触的回路有四组 即即 321323121 GGGGGGGGGLL cb 三个互不接触的回路有一组三个互不接触的回路有一组 即即 321 GGGLLL fed 1 2011 09 2144 于是于是 信号流图特征式为信号流图特征式为 因此因此 系统的传递函数为系统的传递函数为 321323121321 231132 44332211 221 1 1 GGGGGGGGGGGG GKGGGKGG pppp sR sC 前向通路共有四条前向通路共有四条 其增益及余因式分别为其增益及余因式分别为 1 1 1 1 4321423313 1232213211 KGGGpGKGGp GKGGpKGGGp 321323121321 221 1 GGGGGGGGGGGG LLLLLL fedcba 1 23 2011 09 2145 6 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 一般可以由组成系统的元部件运 动方程式求得 一般可以由组成系统的元部件运 动方程式求得 但更为方便的是由系统结构图或信号流图求取但更为方便的是由系统结构图或信号流图求取 一个典型的反馈控制系统的结构图和信号流图如图一个典型的反馈控制系统的结构图和信号流图如图2 24所示所示 图图2 24 反馈控制系统的典型结构图和信号流图反馈控制系统的典型结构图和信号流图 图中图中 R s 输入信号输入信号 N s 扰动信号扰动信号 C s 输出信号输出信号 2011 09 2146 应用叠加原理应用叠加原理 令令N s 0 可 直接求得输入信号 可 直接求得输入信号R s 到输出信 号 到输出信 号C s 之间的传递函数为之间的传递函数为 1 21 21 sHsGsG sGsG sR sC s 由可进一步求得输入信号作用下系统的输出量由可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C s 为为 s 1 21 21 sR sHsGsG sGsG sRssC 输入信号下的闭环传递函数 输入信号下的闭环传递函数 24 2011 09 2147 应用叠加原理应用叠加原理 令令R s 0 可直 接由梅森公式求得扰动作用 可直 接由梅森公式求得扰动作用N s 到 输出量 到 输出量C s 之间的闭环传递函数之间的闭环传递函数 1 21 2 sHsGsG sG sN sC s N 同样同样 可求得系统在扰动作用下的输出可求得系统在扰动作用下的输出C s 为为 1 21 2 sN sHsGsG sG sNssC N 扰动作用下的闭环传递函数 扰动作用下的闭环传递函数 2011 09 2148 上式表明上式表明 一定情况下系统的输出只取决于反馈传递函数一定情况下系统的输出只取决于反馈传递函数H s 及输入信号及输入信号R s 而与前向通路传递函数无关而与前向通路传递函数无关 也不受扰动作用 的影响 也不受扰动作用 的影响 特别当特别当H s 1时时 从而实现了对输入信号 的完全 从而实现了对输入信号 的完全复现复现 且对扰动具有较强的抑制能力且对扰动具有较强的抑制能力 sRsC 显然当输入信号显然当输入信号R s 和扰动作用和扰动作用N s 同时作用时同时作用时 系统输出系统输出C s 为为 1 1 221 21 sNsGsRsGsG sHsGsG sNssRssC N 在上式中在上式中 如果满足的条 件则可简化为 如果满足的条 件则可简化为 1 1 121 sHsGsHsGsG和和 1 sR sH sC 25 2011 09 2149 3 闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 闭环系统在输入信号或扰动作 用时 以误差信号 闭环系统在输入信号或扰动作 用时 以误差信号E s 作为输出量 时的传递函数称为 作为输出量 时的传递函数称为误差传递函数误差传递函数 它们可由梅森增益公式求得它们可由梅森增益公式求得 对于图对于图2 24的典型反馈控制系统 其各种闭环系统传递函数的分母形 式均相同 这是因为它们都是同一个信号流图的特征式 即 的典型反馈控