2015年春季五年级期中复习题41-60详解(1).pdf

1 11 12 13 14 20 2015 春季五年级期中补充复习题汇编 41 60 41 已知1 98 8 1 98 8 1 9 88 与1 98 9 1 98 9 1 9 89 的和能被 5 整除 如果 0 a 4 0 1988 a 个 1988 b 2 则 a 与 b 能取哪些值 1989 b个 1989 解 由于1 98 8 1 9 8 8 19 88 的个位数字只能是 8 4 2 6 1 98 9 1 9 8 9 19 89 的个 1988 a 个1988 位数字只能是 9 1 所以得到下面符合要求的两种情况 1989 b 个1989 情况 1 当 a 4 与 b 2 1 98 8 1 9 8 8 19 88 与1 98 9 1 9 8 9 19 89的和的个位为 5 1988 a个1988 1989 b个1989 情况 2 当 a 2 与 b 1 1 98 8 1 9 8 8 19 88 与1 98 9 1 9 8 9 19 89的和的个位为 5 1988 a个1988 所以当 a 4 与 b 2 或 a 2 与 b 1 时可被 5 整除 1989 b个1989 42 求11 1111 121212 1313 13 1414 14 20 2020 的个位数字 解 11 1111 1212 12 1313 13 1414 14 20 2020 1 212 12 313 13 414 14 5 6 717 17 818 18 919 19 0 mod10 而 2 n 3 n 7 n 8 n 的个位数字都是 4 个为一周期循环 4 n 9 n 的个位数字都是 2 个为一周 期循环 又 1212 012 4 mod 4 1313 1 13 1 mod 4 1414 014 2 mod 2 1717 1 17 1 mod 4 1818 218 49 4 mod 4 1919 119 1 mod 2 11 11 1212 1313 1414 2020 1 6 3 6 5 6 7 6 9 0 9 mod10 43 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 19903 的积的个位数 字是多少 解 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 19903 31991 33 7 mod10 44 1 2 3 n n 2 的和的个位数字和为 3 十位数为 0 则 n 的最小值是多少 解 因为1 2 3 n 1 n n 2 个位数字是 3 所以 n 的个位数就可能为 2 7 又 因为求 n 的最小值 所以我们可以考虑从最小的开始枚举 如下 n 12 1 2 3 12 12 13 2 78 n 17 1 2 3 17 17 18 2 153 2 n 22 1 2 3 22 22 23 2 253 n 27 1 2 3 27 27 28 2 378 3 n 32 1 2 3 32 32 33 2 528 n 37 1 2 3 37 37 38 2 703 所以 n 的最小值是 37 45 一个自然数末两位数字为 17 各位数字和为 17 且能被 17 整除 求出满足条件的最小 五位数 解 根据题意 设这个数为 X 17 100 X 17 用位值原理将 X 17 拆分 则 X 的各位数字 之和 17 1 7 9 根据各位数字和被 9 整除则这个数就能被 9 整除的规律 可以得到 X 能被 9 整除 又因为 100X 17 能够被 17 整除 所以 X 能被 17 整除 从而可以推出形式 X 9 17 K K 是正整数 当 K 1 时 X 最小 此时为 153 所以满足条件的最小五位数 15317 46 试求 20072008 的末两位数字 解 20072008 72008 72008 72 1004 491004 492 502 2401502 2401 被100 除余1 所以 2401502 被 100 除得的余数等于 1502 所以 20072008 的末两位数是 01 也可以用列表法 47 一个六位数 把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数 再将这个六位数的个位数 字移到最前面又得到一个新的六位数 如此共进行 5 次所得的新数连同原来的六位数共 6 个数称为一组循环数 已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的 1 倍 2 倍 3 倍 4 倍 5 倍 6 倍 求这个六位数 解 根据题意 可以确定最小的六位数的首位为 1 否则 2abcde 的 6 倍就不是六位数 所 以设这个六位数为1abcde 由题意知道这 6 个六位数中一定存在一个数为 abcde1 而个位 数字 1 只能由 1 1 3 7 或 9 9 得到 但是 abcde1不可能对应为1abcde 246 所 以只能是1abcde 3 得到 即 abcde1 1abcde 3 所以 可以顺次得到 e 为 7 d 为 5 c 为 8 b 为 2 a 为 4 从而得到这个六位数为 142857 48 若 1 2 3 n 18 是两个连续自然数的乘积 n 解 相邻两个自然数的乘积的个位数字只能是 0 2 6 所以可以通过枚举得到 当 n 1 时 原式 1 18 19 个位数字是 9 不符合题意 当 n 2 时 原式 1 2 18 20 20 4 5 符合题意 当 n 3 时 原式 1 2 3 18 24 个位数字是 4 不符合题意 当 n 4 时 原式 1 2 3 4 18 42 42 6 7 符合题意 当 n 5 时 n 的个位数字是 0 原式的个位数字为 8 不符合题意 所以 n 等于 2 或 4 4 49 一个正整数 若加上 100 是一个平方数 若加上 167 是另一个平方数 求这个正整数 N 100 a 2 解 设这个数为 N 则 N 167 b2 所以 67 b a b a 所以 b 34 a 33 所以 是 989 50 是否存在自然数 k 使得 2k 2 5k 1与8k 2 5k 1 的和是完全平方数 解 2k 2 5k 1 8k2 5k 1 10k2 2 10k2 的末位数一定是 0 这个数减去 2 未位一定是 8 末位数为 8 的数不可能是完全平方数 所以不存在这样的自然数 k 51 能否找到一个自然数 n 使得 n2 2n 4 能被 5 整除 解 因为 n2 2n 4 n 1 2 3 但是 n 1 2 是完全平方数 其末位只能是 0 1 4 5 6 9 加上 3 只能是 3 4 7 8 9 2 所以找不到这样的自然数 n 满足条件 52 在 自 然 数 中 12 1 22 4 32 9 数 1 4 9 称 为 完 全 平 方 数 若 自 然 数 N 1 2 1 2 12 1 m 2013 是一个完全平方数 则这样的 N 有多少个 m个12 解 因为 N 12m 3 2 2 m 所以 m 应为 3k 且 k 为完全平方数 又 1 m 2013 2013 3 671 即 1 k 671 26 2 676 671 所以 k 的范围是 1 到 25 53 求一个最小的自然数 它乘以 2 后是完全平方数 乘以 3 后是完全立方数 乘以 5 后是 完全 5 次方数 解 由题意 可以知道这个数含有因数 2 3 5 乘 2 是个完全平方数 那么 3 和 5 的幂数一定是 2 的倍数 且 2 的幂数为奇数 乘 3 是个完全立方数 那么 2 和 5 的幂数一定是 3 的倍数 且 3 的幂数为 3 的倍数减 1 乘 5 是个完全 5 次方数 那么 2 和 3 的幂数一定是 5 的倍数 且 5 的幂数为 5 的倍数减 1 综上可知 2 的幂数是 3 和 5 的倍数 且为奇数 最小为 15 5 3 的幂数为 2 和 5 的倍数 且为 3 的倍数减 1 最小为 20 5 的幂数为 2 和 3 的倍数 且为 5 的倍数减 1 最小为 24 54 三个连续的正整数都是合数 中间一个为完全平方数 且三个数的和能被 18 整除 问 这个完全平方数最小是多少 解 设三个连续正整数的中间数为 a 则三个数的和为 3a 由18 3a 得 6 a 又因为 a 是完全平方数 因此 a 为 6 n 2 的倍数 n 为非零自然数 若 a 6 1 2 36 三个数分别为 35 36 37 不符合条件 若 a 6 2 2 144 三个数分别为143 144 145 符合条件 因此 这个完全平方数最小是 144 55 有 80 枚 伍分 硬币字样向上 编成 1 2 3 4 5 79 80 这 80 个号码 小 明作翻硬币游戏 第一次把凡是 1 的倍数的硬币翻动一次 第二次把凡是 2 的倍数的硬币翻 动一次 第 80 次把凡是 80 的倍数的硬币翻动一次 这样翻动后 哪些硬币的 国徽 面朝上 解 凡是因数个数为奇数的 国徽向上 那么 可以想一想 什么样的自然数才会是有奇数 个因数呢 由学过的知识可知 一个数可以由两个因数或两个以上的因数 每两个因数相乘 必然得到这个数 那么 若其中一个因数乘以这个因数本身即一个数的平方 则会产生奇数 个因数 所以只有完全平方数有奇数个因数 可以得到答案为 1 4 9 16 25 36 49 64 56 有 个五位数 加上 2003 后为完全平方数 解 通过估算 我们知道所求问题的 大概范围 由于 110 2 2003 10097 1092 2003 9878 10000 所以这个五位数最小为 10097 319 2 2003 99758 3202 2003 100397 102002 所 以这个五位数最大为 99758 可以得到这个五位数是 110 至 319 的数的平方减去 2003 的 差 319 110 209 所以共有 209 1 210 个这样的五位数加 2003 后为完全平方数 6 57 一个正整数如果是个三角形数且是个完全平方数 则称它是个 书人数 例如 36 就 是个书人数 因为 36 1 2 3 8 是个三角形数 且 36 6 6 是个完全平方数 请问 比 36 大的下一次书人数是什么 注 一个三角形数为从 1 开始的若干个连续正整数之和 例如 1 3 1 2 6 1 2 3 10 1 2 3 4 等等 解 设 P n n 1 A2 2 因为 n 与 n 1不可能出现其因子互相配对的情况 则由以下两种情况 n 为偶数 n a2 n 1 b2 2 n 为奇数 n a2 n 1 b2 2 若是情况 n 1可为 32 52 72 92 当 n 1 172 289 时 n 144 122 所以 P 288 289 41616 2 2 若是情况 n 可为 32 52 72 92 当 n 72 49 时 n 1 25 52 所以 P 49 50 1225 2 2 因为1225 41616 所以下一个书人数为 1225 58 袋子里有 415 只球 第一次从袋子里取出 1 只球 第二次从袋子里取出 3 只球 第三次 从袋子里取出 5 只球 依次地取球 如果剩下的球不够取 则剩下的球留在袋中 那么 最后袋中留下多少球 解 从 1 开始 任何连续个奇数之和都是完全平方数 你知道如何证明吗 请想一想 202 400 415 212 441 415 400 15 即最后袋中留下 15 个球 59 有没有自然数 a b 存在 使得等式 a2 b2 2015 成立 解 完全平方数除以 4 的余数只可能为 0 或 1 由于 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 a 2 b2 除以 4 的余数只可能为 0 或 1 或 2 而 2015 除以 4 的余数为 3 不存在自然数 a b 存在 使得等式 a 2 b2 2015 成立 7 60 有一个奇怪的四位数 首位不为 0 它是完全平方数 它的数字和也是完全平方数