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3 2立体几何中的向量方法3 2 1用向量方法解决平行与垂直问题 1 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 直线的方向向量 就是指和这条直线所对应的向量 的向量 一条直线的方向向量有 个 平行 或共线 无数 平面的法向量直线l 平面 取直线l的 a 则a叫做平面 的法向量 方向向量 2 空间中平行关系的向量表示 3 空间中垂直关系的向量表示 a b a u u v 平面的法向量的求解与判定 若要求出一个平面的法向量 一般要建立空间直角坐标系 然后用待定系数法求解 一般步骤为 1 设出平面法向量n x y z 2 找出 求出 平面内的两个不共线向量a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 试求出平面ABC的一个法向量 思路点拨 练习如图在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是DD1 BD的中点 试求出平面EFC的一个法向量 利用空间向量证明平行问题 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 E F分别是BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面ADE 2 平面ADE 平面B1C1F 互动探究1在本例条件下 若O1为B1D1的中点 求证 BO1 平面ACD1 用空间向量法解决立体几何中的垂直问题 主要是运用直线的方向向量与平面的法向量 同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理 利用空间向量解决垂直问题 在正棱锥P ABC中 三条侧棱两两垂直 G是 PAB的重心 E F分别为BC PB上的点 且BE EC PF FB 1 2 1 求证 平面EFG 平面PBC 2 求证 EG BC PG EG 证明 1 法一 如图 以三棱锥的顶点P为原点 以PA PB PC所在直线分别作为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 令PA PB PC 3 则A 3 0 0 B 0 3 0 C 0 0 3 E 0 2 1 F 0 1 0 G 1 1 0 P 0 0 0 名师点评 证明面面垂直通常有两种方法 一是利用面面垂直的判定定理 转化为线面垂直 线线垂直去证明 二是证明两个平面的法向量互相垂直 变式训练2在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱AB BC的中点 试在棱BB1上找一点M 使得D1M 平面EFB1 1 直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具 是实现空间问题的向量解法的媒介 2 用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题 主要运用了直线的方向向量和平面的法向量 同时也要借助空间中已有的一些关于平行 垂直的定理 3 用向量方法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐
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