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圆锥曲线复习课 2020年1月22日 MADER 张朝 基础知识系统复习 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程和图形性质 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程和图形性质 专题 一 定义的应用 一 定义的应用 互动练习 1 已知点P是椭圆一点 F1和F2是椭圆的焦点 若 F1PF2 90 求 F1PF2的面积 若 F1PF2 60 求 F1PF2的面积 若 F1PF2 求 F1PF2的面积 解 由椭圆定义得 PF1 PF2 10 又a 5b 3 c 4 2c 8由勾股定理得 PF1 2 PF2 2 64 2 得2 PF1 PF2 36 由余弦定理得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 64 由余弦定理得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 64 2 得3 PF1 PF2 36 2 得2 1 cos PF1 PF2 36 改成双曲线呢 互动练习 2 已知点P是椭圆上一点 F1和F2是椭圆的左右焦点 求 1 解法一 代数法 设P x y 易知 c 3 得F1 3 0 由两点间距离公式得 一 定义的应用 互动练习 1 解法二 几何法 设l是已知椭圆与焦点F1相应的准线 PN l 垂足为N 由椭圆第二定义得 N 一 定义的应用 互动练习 2 已知点P是椭圆上一点 F1和F2是椭圆的左右焦点 求 解 2 由椭圆定义得 PF1 PF2 10 思考题 怎样求 PF1 PF2 的最小值 一 定义的应用 3 已知抛物线y x2 动弦AB的长为2 求AB中点纵坐标的最小值 解 互动练习 一 定义的应用 一 定义的应用 互动练习 3 动点P到直线x 4 0的距离减去它到点M 2 0 的距离之差等于2 则点P的轨迹是 A 直线B 椭圆C 双曲线D 抛物线 D 专题 二 直线与圆锥曲线的关系 1 过点 0 2 与抛物线只有一个公共点的直线有 A 1条 B 2条 C 3条 D 无数多条 C 互动练习 互动练习 说明 1 从图形分析 应有四个解 2 利用方程求解时 应注意对K的讨论 例 直线y x 2与抛物线y2 2x相交于A B求证 OA OB 证法1 将y x 2代入y2 2x中 得 x 2 2 2x 化简得x2 6x 4 0 解得 则 OA OB 证法2 同证法1得方程x2 6x 4 0 由一元二次方程根与系数的关系 可知 x1 x2 6 x1 x2 4 OA OB y1 x1 2 y2 x2 2 y1 y2 x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 4 4 12 4 4 例1 直线y x 2与抛物线y2 2x相交于A B求证 OA OB 引伸练习 1 直线y x 2与抛物线y2 2x相交于A B求弦长 AB 2 直线y x b与抛物线y2 2x相交于A B 且弦长 AB 2 求该直线的方程 3 直线l与抛物线y2 2x相交于A B 且AB中点的坐标为 3 1 求该直线的方程 4 过抛物线y2 4x的焦点作直线 交此抛物线于A B两点 求AB中点的轨迹方程 专题 三 圆锥曲线方程的求法与讨论 1 动点P到直线x 4 0的距离减去它到点M 2 0 的距离之差等于2 则点P的轨迹是 A 直线B 椭圆C 双曲线D 抛物线 D 2 P是双曲线上任意一点 O为原点 则OP线段中点Q的轨迹方程是 3 和圆x2 y2 1外切 且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹方程是 x2 2 y 1 B 互动练习 例 一圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心的轨迹方程 并说明它是什么曲线 解法1 如图 设动圆圆心为P x y 半径为R 两已知圆圆心为O1 O2 分别将两已知圆的方程x2 y2 6x 5 0 x2 y2 6x 91 0配方 得 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 100 当 P与 O1 x 3 2 y2 4外切时 有 O1P R 2 当 P与 O2 x 3 2 y2 100内切时 有 O2P 10 R 式两边分别相加 得 O1P O2P 12 即 所以 动圆圆心的轨迹是椭圆 它的长轴 短轴分别为 解法2 同解法1得方程 O1P O2P 12 即 动圆圆心P x y 到点O1 3 0 和点O2 3 0 距离的和是12 所以点P的轨迹是焦点为 3 0 3 0 长轴长等于12的椭圆 2c 6 2a 12 c 3 a 6 b2 36 9 27 于是得动圆圆心的轨迹方程为 这个动圆圆心的轨迹是椭