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第二节 一 对坐标的曲线积分的概念与性质 二 对坐标的曲线积分的计算法 三 两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一 对坐标的曲线积分的概念与性质 1 引例 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用 在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求移 大化小 常代变 近似和 取极限 变力沿直线所作的功 解决办法 动过程中变力所作的功W 1 大化小 2 常代变 把L分成n个小弧段 有向小弧段 近似代替 则有 所做的功为 则 用有向线段 3 近似和 4 取极限 其中 为n个小弧段的最大长度 2 定义 设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑 弧 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点 都存在 在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分 则称此极限为函数 或第二类曲线积分 其中 L称为积分弧段或积分曲线 称为被积函数 在L上定义了一个向量函数 极限 若 为空间曲线弧 记 称为对x的曲线积分 称为对y的曲线积分 若记 对坐标的曲线积分也可写作 类似地 3 性质 1 若L可分成k条有向光滑曲线弧 2 用L 表示L的反向弧 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例 说明 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 二 对坐标的曲线积分的计算法 定理 在有向光滑弧L上有定义且 L的参数方程为 则曲线积分 连续 存在 且有 特别是 如果L的方程为 则 对空间光滑曲线弧 类似有 定理 例1 计算 其中L为沿抛物线 解法1取x为参数 则 解法2取y为参数 则 从点 的一段 例2 计算 其中L为 1 半径为a圆心在原点的 上半圆周 方向为逆时针方向 2 从点A a 0 沿x轴到点B a 0 解 1 取L的参数方程为 2 取L的方程为 则 则 例3 计算 其中L为 1 抛物线 2 抛物线 3 有向折线 解 1 原式 2 原式 3 原式 例4 设在力场 作用下 质点由 沿 移动到 解 1 2 的参数方程为 试求力场对质点所作的功 其中 为 例5 求 其中 从z轴正向看为顺时针方向 解 取 的参数方程 三 两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 类似地 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 例7 将积分 化为对弧长的积 分 解 其中L沿上半圆周 2 已知 为折线A
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