数学建模~~~奖学金发放问题.doc

2012年“希望杯”大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名编号为：参赛队员 (签名) ： A题：发放奖学金问题摘要本文主要是研究某学院奖学金评定排名的问题。问题（一）根据院长给出的方法，是将学生成绩划为十个等级，近似于一个等差的方法划分等级。所以，首先将学生成绩按照“十分点”方法进行统一量化，利用Excel对学生等级进行等差数列赋值，进而求出每个学生的平均成绩，得出最后排名。问题（二）中对“十分点”排名模型进行评估：1、我们对A、B专业的所有课程的分数分别运用MATLAB进行统计分析并得出直方图，结果发现学生各科成绩近似呈正态分布，然而“十分点”方法是将正态分布划为等差分布，违背了实际情况，对分数处于中间段的同学有失公平。2、此方法是人为地对各等级进行赋值，所以带有明显的主观性。3、也许会出现并列分数的情况，在这样的情况下，必然是并列的人一起归于某一等级，如此一来，人数即不能保证按照原定的规划划分。微小的偏差可能会造成较大的误差，所以从这点考虑也是不公平的。综合以上三点，结果说明该模型公平性较弱。问题（三）中由于题目给出的数据是“十分点”排名处理过的数据，但是我们需要掌握学生最原始的分数情况，所以建立模型实现了等级制转化为百分制。为了减小将等级转化为百分制分数取值的随意性，故采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数 将课程的等级转化为百分制分数。此过程中我们利用了MATLAB解出隶属函数的参数，并拟合出隶属函数的图像，拟合图像与实际情况相符。然后，采用标准分模型，将所得百分制分数进行标准化处理，从而克服了不同教师打分不同及试卷难易程度不同的问题。标准化后的分数出现小数和负数，所以接下来，将标准化后的分数进行线性化处理解决该问题。这样，便得到了A、B专业评判标准相对统一的分数。考虑教师评判标准不同以及试卷的难易程度等情况，通过计算和比较课程的平均分和标准差，建立课程权重模型。得到课程的权重向量，然后，将权重向量与标准分模型所得结果进行分量相乘并求和，运用MATLAB统计工具箱和excel计算得出学生综合成绩和排名。针对模型的优点和缺点，我们对模型进行了改进和推广。根据实际情况：1、学分制，各课程的学分不同；2、综合评价，需要考虑学生的综合能力。所以，需要根据不同学校的实际情况得出学分权向量，进而得出学生的加权平均成绩。其次，运用层次分析法考虑学生综合成绩、宿舍卫生、学生工作、获奖情况及学生投票等方面构造模型。关键字：Excel数据处理 MATLAB 隶属函数 标准分模型 线性化模型 课程权重模型 正态分布一、 问题重述与问题分析1.1问题重述某学院有A、B两个专业，这两个专业的人数、课程各不相同。A专业本年度有6门必修课，B专业有5门必修课。奖学金的发放以学院为单位，即不分专业的综合排名。综合排名成绩列前10%的学生得到奖学金。在排名过程中，因为两个专业课程的数目、难易水平以及老师的严格程度各不相同，所以如何保证排名的公平性是本题的关键所在。学院院长制定了“十分点”排名方法：将学生成绩的等级划为10个等级（A+，AC-，D）。例如某科学生成绩普遍偏低，而有一个学生成绩偏高，那么这个学生在该课程中显然是“非常优秀”。另一方面，在一门课程中，一个学生的成绩不错，但是这科学生成绩普遍偏高，那么这个学生的成绩也只能是“中等”。所以将成绩段中成绩排在前10%的学生划为上一等级，后10%划为下一等级。按照这样的方法，把学生的评定规则归于统一，综合多科成绩的排名得出最终的奖学金排名。需要解决的问题：1) 假定采取的记分制是（A+，A，A-，B+），我们需要对这个方法进行量化，从而得出学生的排名；2) 这种排名方法的公平性到底如何，需要进行评估；3) 设计更为科学的数学模型，并用这个模型对全院学生学习成绩进行排名。1.2问题分析针对上述三个问题进行分析：1) 围绕学院院长提出的“十分点”排名方法选择量化模式，将成绩段中成绩排在前10%的学生划为上一等级，后10%划为下一等级，进而将学生进行排名。因为“十分点”排名方法是将学生的成绩划为是个不同的等级，每两个等级之间的落差是一定的，所以我们可以利用这一特点，将不同等级用一个等差数列表示，各科之间的权重相等，然后求平均值，进行排名；2) 评估“十分点”排名方法的公平性。学生各科成绩近似呈正态分布，然而“十分点”方法是将正态分布划为等差分布，违背了实际情况，对分数处于中间段的同学有失公平。而且，是人为地对各等级进行赋值，所以带有明显的主观性，综合以上两点，结果说明该模型公平性较弱。3) 计算最终综合排名：首先，将原题目给出的数据进行百分制转化，得到学生的原始成绩。学生不同科目之间的成绩评定差异主要表现在 3个方面：不同老师打分存在差异，不同科目分数分布的标准不同，不同科目之间难度。所以我们将成绩进行标准化处理后，建立课程权重模型，得到相应的权重，对相应科目的考试成绩进行加权，即可计算出学生的综合成绩和排名。- 3 - 二、 模型假设与符号说明2.1模型假设1) 每门课程的考试都是正规、严格的，所以每个学生的考试都成绩基本可信。评分制度为 100分制，老师给学生打分的时候允许有自己的习惯和倾向，但均坚持公平的原则；2) 奖学金评判标准除了题目所给因素影响外不再受其他条件影响；3) 对于每门课程，每个专业的每一科成绩均服从正态分布；4) 不考虑学生发挥超常或失常、偏科等问题。2.2符号说明符号含义符号含义隶属函数的参数A专业学生标准化成绩矩阵A专业学生的数目A专业学生线性化成绩矩阵A专业考试课程的数目最终所得A专业学生的加权成绩A专业 学生课程的期末考试成绩A专业课程课程权重向量A专业学生课程的标准化成绩A专业课程的平均成绩A专业学生课程的线性化成绩A专业各课程的相对权重课程的考试平均成绩B专业学生的数目课程考试成绩的标准差B专业考试课程的数目为A专业考试成绩矩阵,表示名学生门课程的成绩B专业课程的难度系数三、 问题（一）的解答围绕学院院长提出的“十分点”排名方法选择量化模式，将成绩段中成绩排在前10%的10%的学生划为上一等级，后10%划为下一等级，进而将学生进行排名。因为“十分点”排名方法是将学生的成绩划为是个不同的等级，而每两个等级之间的落差又是一定的，所以我们可以利用这一特点，将不同等级用一个等差数列表示，各科之间的权重相等，然后求平均值进行排名。因为题目是将学生的分数转化为等级，所以考虑到实际情况，我们将等级化为10分制，且以6为基准进行赋值。根据题目所给出的数据，利用Excel将A+赋值为9.5，A为9.0，以此类推，D为5.0。然后，利用Average函数求出每个同学的平均分，进而将两个专业的学生进行综合排名。Excel处理得出“十分点”排名结果见附录一。两个专业一共141名同学，前10%可以获得奖学金，经过量化处理，下列同学排名在前10%。表一：获得奖学金的同学名单编号序号平均分排名1A119.0012A189.0013A178.9234B148.9045B318.8056B718.8057A018.7578A298.7579A268.679编号序号平均分排名10B628.601011B638.601012A198.581213A138.501314A548.501315B588.501316B698.501317B838.501318B848.5013表中出现了多人并列的情况，可根据学院奖学金金额、发放奖学金标准等相关规定，进行一定的筛选。四、 问题（二）的解答我们对A、B专业的所有课程的分数分别运用MATLAB进行统计分析并得出直方图，结果发现学生各科成绩近似呈正态分布，以B专业课程1为例：图一：B专业课程1分数分布因为学生的成绩分布近似呈正态分布，大部分学生的成绩都是集中在平均分附近的。然而“十分点”方法将正态分布划为等差分布，所以可能集中在平均分附近的同学也许只差1分，但却是两个等级的差距。违背了实际情况，尤其对分数处于中间段的同学有失公平。在将前10%的同学归为上一等级或后10%归于下一等级时，也许会出现并列分数的情况，在这样的情况下，如果人数超过10%的话，为了保证公平性，必然是并列的人一起归于某一等级，如此一来，人数即不能保证按照原定的规划划分。微小的偏差可能会造成较大的误差，所以从这点考虑也是不公平的。而且，此方法的量化过程是人为地对各等级进行赋值，所以带有明显的主观性。综合以上三点，结果说明该模型公平性较弱。五、 问题（三）模型建立及求解5.1模型建立5.1.1隶属函数的构造 6 1) 我们将考查课成绩分为十个等级，将其等级依次对应为10，92，1。2) 这里为连续量化，故采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数（其中为待定参数）。3) 求解隶属函数当“”时，则隶属度为1，即；当“”时，则隶属度为0.7，即；当“”时，则隶属度为0.01，即；计算得到。则 。4) 画出隶属函数图像（程序见附录二）图二：隶属函数图象5) 根据这个规律，对于任何一个评价，都可以给出一个合理的量化值。我们给出。将等级制转化为百分制:表二：百分制转化等级分数98.6895.4490.8883.3177.1669.9458.7441.9317.2955.1.2 .考试分数的标准化1）由模型假设可知，同一科目的考试分数服从正态分布。为使不同教师给出的分数具有可比性，把由不同教师给出的、服从不同期望和方差的、正态分布的分数标准化为标准正态分布。当各科的标准分合成时，就保证了各科成绩在合成分中的权重。采取以下数学模型将原始的考试成绩标准化：其中, 为学生在课程的标准化的考试成绩,即标准考试成绩； 为学生在课程的期末考试成绩； 为课程的考试平均成绩；为课程考试成绩的标准差。2）按照上述方法，可以把成绩矩阵标准化为标准成绩矩阵。正态化后的标准分数有正数、负数和小数，为了使用方便，可以对转换为正态化的标准分数进行线性变换，采用公式 ，经过变换，所得的分数全部是正数，其意义和标准化分数相同，不同之处就是消除了负数和小数，记线性变换后的成绩矩阵为。3）B专业学生成绩处理方法同A专业。5.1.3构造考试科目的权重为提高不同难度科目之间的可比性，引入权重向量 ，其中表示课程的权重，并根据各个科目考试的平均成绩来确定 。假设个科目的期末考试平均分分别为。因为本题是100分制，所以利用公式，得到为各课程的相对权重，然后将课程的相对权重进行归一化处理，即得到各课程的权重向量 。5.2 模型求解（结果见附录三）1） 把原始成绩矩阵标准化,得到标准化成绩矩阵；2） 线性化标准成绩矩阵为；3） 根据各科原始考试成绩的平均分计算权重向量；4） 计算新的成绩矩阵5） B专业的处理过程同A专业。六、 结果表示表三：A专业 等级制转化为百分制的原始成绩课程1课程2课程3课程4课程5课程6平均成绩52.0069.8080.4479.9658.6063.87标准差34.5928.6718.0622.2329.8429.72表四：B专业 等级制转化为百分制的原始成绩课程1课程2课程3课程4课程5平均成绩58.1655.9979.6776.2168.01标准差21.3835.4125.4210.4529.40A专业归一化权重向量：；B专业归一化权重向量：。最终获得奖学金是排名在前10%的同学：表五：最终排名结果- 7 - 序号总成绩总排名B1486.24981B3185.9352A1785.2983B8385.21834A1185.17185A1885.08966B7184.56977序号总成绩总排名A0184.43468B6984.18929B6284.101310B5883.981311B8483.947712A2683.857313A5483.635514表五与问题（一）中的表一对比发现：获得奖学金的同学大体一致，并且我们的排名结果无并列现象。七、 模型评价模型的优点：将影响奖学金品评定过程的因素全部统一量化为以百分制记数，减小了其他转化方式的随意性，使最终结果更具说服力和科学性；在对综合成绩的排名中，为了减小将等级转化为百分制分数取值的随意性，采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数将等级转化为百分制分数成绩统一起来；此外，我们还采用标准分模型、线性化模型、权重模型，对已有奖学金评定方案的不足进行综合改进，以体现奖学金公正、公平、合理的原则。本文针对现有奖学金评定模型中的缺陷，即不同教师打分不同及标准差不同的问题、不同科目难度不同的问题，给出了模型的改进。结果表明本文的模型效果确实好于现有模型。模型的缺点：将每科的学分看作相等的，这会带来一定的误差。在排名过程中，只考虑了学科成绩，不利于促进学生综合能力的发展。在奖学金评定过程中缩小了人才培养目标的范围，采用了以偏重学术型人才建设，使模型不能更好的推广运用到注重其他方面的学校；模型中各评价值的确定均带有分析者的主观因素，因此，模型不免有一定的局限性。 就问题一中构造隶属函数中将等级制转化为百分制记数的过程中虽然减小了随意性，但还是存在取值的误差，带了一定的主观性。八、 模型改进与推广针对上述模型存在的缺点我们进行了以下改进与推广6： 1） 考虑到实际中的学分不同的情况，我们对个学科进行学分量化是学分权向量。，为学分权向量，是由标准化与线性化的考试成绩与原始学分权向量相乘得到的学分成绩。2） 求影响综合奖学金评定的各因素所占权重我们假设考虑学生综合成绩、宿舍卫生、学生工作、获奖情况及学生投票等方面，构建全面评价模型，建立该问题的层次模型，目标层是各因素的权重，方案层是各项因素，决策层是所有参评学生，由于决策层对结果没有什么影响，故而我们在图中不在给出。层次图如右所示：最后根据以上所述，综合各项因素我们能够得出更好的奖学金发放模型。九、 参考文献1 吴爱妤 Excel2007数据处理与分析 范例精解 机械工业出版社 2009年1月第1版 第47、84页 2 九州书源 Word2003/Excel2003办公应用 清华大学出版社 2011年8月第1版 第160页3 江世宏 MATLAB语言与数学实验 科学出版社 2007年8月第1版 第21、60页4 周品、赵新芬 MATLAB数理统计分析 国防工业出版社2009年4月第1版 第107页5 曹建军、李世航、王永国、叶仁玉、夏慧异 MATLAB语言与数学实验安徽大学出版社 2005年10月第1版 第38、73页6 胡本超205 高校综合奖学金的评定 、/view/364cfa6a25c52cc58bd6be30.html访问时间：2012年5月4日 00:44十、 附录附录一：A、B专业同学的“十分点”排序- 9 - 序号平均分A119.00A189.00A178.92B148.90B318.80B718.80A018.75A298.75A268.67B628.60B638.60A198.58A138.50A548.50B588.50B698.50B838.50B848.50A038.42B398.40A488.33B188.30A428.25A458.25A478.25B048.20B508.20A388.17A508.17A528.17B228.10B828.10A078.08A318.08A558.08A408.00B038.00B088.00B098.00B198.00B268.00B388.00B548.00B618.00B167.90B337.90B377.90B417.90B567.90B797.90B807.90A367.75A377.75B017.70B027.70B277.70B327.70B497.70B367.60B557.60B817.60A207.50B257.50B787.50A027.42B157.40B667.40B117.30B607.30A217.25A227.25A497.25B127.20B577.20A047.17A157.17A257.17A347.17B107.10B247.10B357.10B467.10B537.10B647.10A237.08A537.08A577.08A107.00A287.00A417.00B407.00B477.00B677.00B767.00B176.90B206.90B216.90B686.90B726.90A336.83A466.83B596.80B656.80A306.75B056.70B286.70B306.70B456.70A246.67B346.60B426.60A086.58A436.58A096.50A326.50B066.50B526.50B736.50A166.42A276.42B296.40B776.40A066.33A146.33B236.30A356.25A396.25A446.25B756.20A516.17B746.10A126.08B516.00B435.80B445.80B135.60B075.40B485.20B705.20A055.08A565.08- 11 - 附录二：%隶属函数图像程序：x1=1:0.5:5; y1=(1+7.8570*(x1-0.7183).(-2).(-1); x2=5:0.5:10; y2=0.4328*log(x2)+0.003422; x=x1,x2; y=y1,y2; plot(x,y), axis(1 10 0 1) , grid on附录三：线性化模型得出的最终综合排名序号总成绩总排名B1486.24981B3185.9352A1785.2983B8385.21834A1185.17185A1885.08966B7184.56977A0184.43468B6984.18929B6284.101310B5883.981311B8483.947712A2683.857313A5483.635514A1383.472815B3983.44316A2983.256317B0483.074618A1982.926319A4882.865120A0382.858921B6382.816722B6182.598823B3382.591624B0882.426625A5282.231826B2282.024927B5081.996928A3881.820329B0981.728530A4781.649131A5581.567332B1881.387233A0781.289334B5681.183135B7981.183136A5081.032837B0380.961338B2680.961339B1680.857540B1980.707141B0280.610742B2780.414543B3880.400244A4279.675945B0179.537446B7879.479947B3279.252748A4579.097249A3179.092950A2078.91851B4178.208552B5578.092553B8178.029554B8278.00755B5477.753456B2577.75357A4077.601558B1177.303559B4976.880360A0276.62261B3676.553462B4676.527163A3776.484564A3676.245765A1076.127666A5375.99