测量误差与数据处理(2).ppt

测量误差与数据处理 武汉大学出版社2014年1月 第2章误差传播与最小二乘法原理 方差与协方差传播律协方差 描述两个随机变量之间的误差相关关系 x和y不相关 相互独立 误差不相关 x和y是相关的 不独立 方差与协方差传播律 随机向量及其协方差阵n维随机向量方差 协方差阵 非对角线元素 对角线元素 方差与协方差传播律 协方差传播律观测值线性函数的方差特例 当随机向量X中的各个分量两两相互独立时 它们之间的协方差为0 方差阵为对角阵 此时z的方差上式变为 2 13 方差与协方差传播律 例2 1 用长度为L的钢尺量距 连续丈量了N个尺段 已知每一尺段的距离都是独立观测值 且其中误差均为m 求全长S的中误差 解 由于共丈量了N个尺段 故全长由 2 13 知 即 呵 原来是这样啊 方差与协方差传播律 例2 2 设有观测值L1 L2和L3的函数已知其方差分别为 两两之间的协方差分别为 求函数F的方差 解 由方差阵的定义知 观测值的方差阵为 F的矩阵形式 函数F的方差 方差与协方差传播律 非线性函数的方差问题 已知变量x的方差和协方差 求函数的方差 核心 将非线性函数化为线性函数 方法 将函数在处展开为泰勒级数 令 则有 方差与协方差传播律 非线性函数的方差函数的全微分 或写成 由于 x与dx具有相同的方差 因而z与dz 方差相同 因此 对于非线性函数线性化 也可以先列出函数式 然后对其求全微分 方差与协方差传播律 例2 3 设有观测向量 已知其方差阵为求的函数当L1 2 L2 3 L3 4时的方差 解 因函数F是个非线性函数 求其全微分 方差与协方差传播律 误差传播律在测量中的应用水准测量的精度已知每站高差测量中误差 求测段AB中误差A B两点间的总高差 方差与协方差传播律 水准测量的精度已知每千米高差测量中误差 求测段AB中误差设测段长为S 各测站距离s大致相等 则测站数N S s 由于每千米高差中误差 于是有 因此 方差与协方差传播律 例2 4 水准测量中若要求每千米观测高差中误差不超过10mm 水准路线全长高差中误差不超过60mm 则该水准路线长度不应超过多少千米 解 由公式 因此有 该水准路线长度不应超过36千米 方差与协方差传播律 导线方位角的精度 导线测量示意图 已知同精度角度观测中误差为 求第N条导线边方位中误差 方位角公式 方位角中误差 方差与协方差传播律 同精度独立观测值的算术平均值的精度 对某量同精度独立观测n次 其观测值为L1 L2 Ln 它们的中误差均等于 求平均值的中误差 n次算术平均值 由方差 协方差传播公式 有 即有 方差与协方差传播律 例2 5 已知某台经纬仪一测回测角中误差为6 如果要使各测回的平均值的中误差不超过2 则至少应测多少测回 解 由公式 可得 所以 至少应观测9个测回 第2章误差传播与最小二乘法原理 权与定权的常用方法权的定义 设有观测值 它们的方差为设不等于零任意常数 则定义的权为 式中的方差可以是同一个量的观测值的方差 也可以是不同量的观测值的方差 称为单位权中误差 权比 权与定权的常用方法 单位权中误差从权的定义式上看 只起着一个比例常数的作用 而其值一经选定 它还有着具体的含义 可以理解为衡量误差大小的 单位误差标准 凡是中误差等于的观测值 其权必然等于1 或者说 权为1的观测值的中误差必然等于 因此 通常称为单位权中误差 而称为单位权方差或方差因子 把权等于1的观测值 称为单位权观测值 例2 6 已知三个角度观测值的中误差分别为3 4 和5 试求各角的权 解 若取 则有 若取 则有 上例说明 0取值不同 则各观测值的权不同 但权之间的比值不变 即 权与定权的常用方法 例2 7 已知A角的中误差 A 2 权PA 4 B角的权PB 16 试求单位权中误差 0及B角的中误差 B 解 由权的定义式可得 将 A PA之值代入上式可解出 又由权的定义式可得 权与定权的常用方法 水准测量定权 已知同精度观测Ni个测站的水准高差hi的方差为 取C个测站的观测高差的方差为单位权方差 即 按定权公式可得用测站数定权的公式 用测站数定权 用于山地 权与定权的常用方法 已知每公里观测高差的方差相等时 Si公里观测高差的方差为 取C公里观测高差的方差为单位权方差 即 按定权公式可得用路线长度定权的公式 上式说明 当每公里观测高差等精度时 水准测量高差的权与距离成反比 用路线长度定权 用于平地 权与定权的常用方法 权与定权的常用方法 例2 8 如下图 确定水准路线观测值的权 图2 3水准路线图 假定每千米观测高差的中误差为 则由各线路观测高差的中误差为 如令 则有 权比 权与定权的常用方法 下面按路线长度定权的公式定权 上式中令C 1 即取每千米高差中误差为单位权中误差 于是有 上式中令C 3 即取3千米高差中误差为单位权中误差 于是有 权比 权比 权与定权的常用方法 权与定权的常用方法 例2 10 在相同观测条件下进行的四等水准测量中 设以4公里的观测高差为单位权观测高差 已知单位权中误差 0 1mm 则64公里观测高差的中误差等于多少 解 根据题意知 C 4公里 0 1mm S 64公里 由水准测量的定权公式求64公里观测高差的权 再由权的定义式 可得 所以 64公里观测高差的中误差为4mm 距离量测定权 1 钢尺量距的权 设单位长度距离丈量的方差为 2 则丈量距离Si的方差为 取丈量长度C的方差为单位权方差 即取 则按定权公式得 上式说明 当单位长度距离丈量的精度相同时 距离丈量的权与长度成反比 权与定权的常用方法 距离量测定权 测距仪测距的权可按定权公式直接求得 即 式中为任选的单位权方差 为测距方差 它包含固定误差和比例误差两部分 即 mmkm 2 光电测距的权 权与定权的常用方法 等精度观测算术平均值的权 已知一组等精度的独立观测值 方差均为 2 算术平均值的方差为 若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值 即取 按定权公式可得算术平均值的权 上式说明 算术平均值的权与观测次数成正比 权与定权的常用方法 协因数 单位权方差与观测值方差之比可作为衡量精度的相对指标 反过来 观测值方差与单位权方差之比同样可作为衡量精度的相对指标 我们称其为协因数 用符号Qii表示 即 与权的定义式比较可得 由协因数定义式又可得到 协因数与协因数传播律 协因数阵 1 n维随机向量X的协因数阵 仿协因数定义 定义两随机变量的互协因数 将n维随机向量X的方差阵的定义式乘以 得 上列矩阵称为协因数阵 记作QX 即 上式矩阵中 当Qij 0 i j 时 则Xi和Xj互相独立 协因数与协因数传播律 协因数阵 当向量Z是向量X和Y的分块向量时 即 则有 式中 QX QY分别为X Y向量的自协因数阵 而QXY QYX分别为X向量关于Y向量的互协因数阵 QXY与QYX互为转置 当QXY 0时 表示X Y互相独立 2 分块向量的协因数阵 协因数与协因数传播律 权阵 平差计算中 往往用协因数阵的逆阵参与运算 为表达方便 将其逆阵用符号P表示 并称其为权阵 即 观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵 再利用权与协因数的倒数关系求权 当权阵为对角阵时 Qii 1 Pii 再由权与协因数的关系得 协因数与协因数传播律 协因数与协因数传播定律 协因数与协因数传播定律 协因数与协因数传播定律 协因数传播律 设有随机向量X的一个线性函数为 用矩阵表示为 由于 因此 当随机向量X中的各个分量两两之间相互独立时 它们之间的协因数为零 此时z的协因数为 或 协因数与协因数传播定律 协因数传播律 协因数与协因数传播定律 例2 13 在测站O上观测了A B C三个方向 如图所示 得观测值L1 L2 L3 设各方向值之间互相独立且等精度 其权逆阵为 试求角度 1 2 T的权逆阵Q 解 因为 上式中 说明在一个测站上当有二个以上方向时 由方向观测值求出的角度之间是相关的 协因数与协因数传播定律 例2 14 已知独立观测值Li的权为Pi i 1 2 n 求加权平均值x PL P 的权Px 解 因为 按协因数传播公式 得 由权与协因数的关系式 得 设在一个三角网中 以同精度独立分别观测n个三角形的三个内角 则第i个三角形的闭合差为 由真误差计算中误差 菲列罗公式 i 1 2 n 三角形内角和的中误差 三角形闭合差计算测角中误差的计算公式 由真误差计算中误差 用不同精度的真误差计算单位权中误差 设一系列不等精度的观测值 观测值的真误差 观测值的权分别为 L1 L2 Ln 1 2 n P1 P2 Pn 再假设一列观测值为 其真误差为 由协因数传播律可得 即说明 i 1 2 n 是等精度的 且权都等于1 由真误差计算中误差 按等精度观测计算中误差的公式 有 将代入上式 可得 上式即为按不等精度观测值的真误差求单位权中误差的公式 如果要求第i个观测值的中误差 只要由权的定义式通过变换便可得到计算公式 即 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 1 利用双观测列之差求单位权中误差 设一组量的双观测列分别为 和为第i个量的往返观测值 再设每个量的双观测的权相等 均为Pi 则同一量的双观测之差为 其真误差为 利用权倒数传播公式得双观测之差的权倒数为 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 如果要求任一量的单次观测的中误差 根据权的定义式可以导出所求结果为 2 求双观测列单次观测的中误差 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 根据协方差传播公式得 则双观测列平均值的中误差为 等精度观测时有 3 求双观测列平均值的中误差 如果要求任一对观测值平均值的中误差 则由求平均值的函数式 由真误差计算中误差 例2 15 设在A B两水准点间分五段进行水准测量 每段进行往返观测 其结果列于表中 试求 1 每公里观测高差中误差 2 第二段观测高差中误差 3 第二段高差平均值的中误差 4 全长一次观测高差中误差 5 全长高差平均值中误差 由真误差计算中误差 解 令C 1 即令1km观测高差为单位权观测值 1 每公里观测高差的中误差 2 第二段观测高差中误差 3 第二段往返观测高差平均值中误差 由真误差计算中误差 4 全长一次测高差中误差 5 全长观测高差平均值中误差 最小二乘原理 测量平差准则 下表中三角形内角之和与其理论值 180 之间存在不符值 其闭合差值W L1 L2 L3 180 6 为了消除观测值之间的不符值 各观测值上应分别加上一个改正数Vi 使得满足 满足上述理论关系的改正数有很多 哪一组改正数最合适呢 的条件下求出未知参数和观测值的估