高中数学二次函数.ppt

二次函数的拓展和应用 1 二次函数的定义 要点 疑点 考点 形如y ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 注意a 0 若a 0它是一次函数或常数函数 若a 0 b 0 则二次函数是偶函数 若a 0 c 0 则二次函数的有一个零点是0 二次函数的表示式 一般式y ax 2 bx c a 0 a b c为常数 顶点坐标为 b 2a 4ac b 2 4a 把三个点代入式子得出一个三元一次方程组 就能解出a b c的值 顶点式 y a x h 2 k a 0 a h k为常数 顶点坐标为 h k 对称轴为x h 顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y ax 2的图像相同例 已知二次函数y的顶点 1 2 和另一任意点 3 10 求y的解析式 设y a x 1 2 2 把 3 10 代入上式 得y 2 x 1 2 2 交点式 零点式 与因式分解密切相关 要熟练地使用十字相乘法 y a x x x x a 0 仅限于与x轴即y 0有交点A x 0 和B x 0 的抛物线 即b 2 4ac 0 此时二次函数的零点便是x1 x24x 12 要点 疑点 考点 2 二次函数的图象与性质 定义域 R 单调性与值域 要点 疑点 考点 2 二次函数的图象与性质 定义域 R 单调性与值域 奇偶性 函数为偶函数 b 0 图象 二次函数的图象是一条抛物线 对称轴方程是 当a 0时 图象开口向上 当a 0时 图象开口向下 当 0时 图象与x轴有两个交点 两个交点的距离为 当 0 则函数值恒正 若a 0 则函数值恒负 当 0时 图象与x轴有且只有一个公共点 相切 3 韦达定理一元二次方程aX 2 bX C 0 a 0 中 两根X1 X2有如下关系 X1 X2 b a X1 X2 c a 例题1 方程 1998x 2 1997 1999x 1 0的大根为a 方程x 2 1998x 1999 0的小根为b 求a b的值 例题2 已知二次方程x 2 3x 1 0的两根为 求 3 3 3 4 3 3 例题三 设方程4x 2 2x 3 0的两个根是 和 求4 2 2 的值 例题四 如果关于x的方程x 2 ax b 0的两个实数根之比为4 5 方程的判别式的值为3 求a b的值 例题五 如果方程x 2 px q 0的一根为另一根的2倍 那么 p q满足的关系式是 4 二次函数f x ax2 bx c a 0 在区间 m n 上的最值问题 一般情况下 需要分 b 2a m m b 2a n和 b 2a n三种情况讨论解决 5 二次方程f x ax2 bx c 0的区间根问题 一般情况下 需要从三个方面考虑 判别式 区间端点函数值的正负 对称轴x b 2a与区间端点的关系 二次函数的题目常常需要数形结合 数形结合时 抓住 开口方向 对称轴 特殊点的函数值或者是定点 零点即 基础题例题 例1 二次函数f x 满足f 3 x f 3 x 且f x 0有两个实根x1 x2 则x1 x2等于 例2 函数f x 2x2 mx 3 当x 1 时是减函数 当x 1 时是增函数 则f 2 例3 关于x的方程x2 a2 1 x a 2 0的一根比1大 另一根比1小 则有 A 1 a 1 B a 2或a 1 C 2 a 1 D a 1或a 2 6 19 C 例4 在函数f x ax2 bx c中 若a b c成等比数列且f 0 4 则f x 有最 值 填 大 或 小 且该值为 2004年高考 北京 大 3 例5 若函数f x x2 a 2 x 3中 x a b 的图象关于直线x 1对称 则b 2003年高考 上海春 6 基础题例题 若a b c成等比数列 则有b a c b 化简可b 2 ac诸如数列 1 2 4 8 16 32 便是个等比数列由此推知 等差数列形如1 2 3 4 5 若a b c成等差数列 则有b a c b 化简可a c 2b 能力 思维 方法 例6 已知对于x的所有实数值 二次函数的值都非负 求关于x的方程的根的范围 解题分析 由已知方程将x表示为a的函数 这样求方程根的问题就转化成求函数值域的问题 解 由已知得 0 即 4a 2 4 2a 12 0 原方程化为x a2 a 6 能力 思维 方法 解题回顾 对x R而言 y ax2 bx c a 0 的极值就是最值 若x只在某区间内取值 最值与极值便不可混淆了 例6 已知对于x的所有实数值 二次函数的值都非负 求关于x的方程的根的范围 例7 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧 求实数m的取值范围 解题分析 函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧 就是表明关于x的方程mx2 m 3 x 1 0至少有一个正根 可借助根与系数的关系来解 解 若m 0 则f x 3x 1 显然满足要求 若m 0 有两种情况 综上可得m 1 能力 思维 方法 例7 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧 求实数m的取值范围 解题回顾 在本题解题过程中 容易将f x mx2 m 3 x 1看成是二次函数 从而忽视对m 0的讨论 实系数方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根异号的充要条件为 有两正实根的充要条件是 有两负实根的充要条件是 能力 思维 方法 例8 函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t R 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图象并写出g t 的最小值 解题分析 只需讨论f x x2 4x 4的对称轴与闭区间 t t 1 的位置即可写出g t 解 1 f x x2 4x 4 x 2 2 8 当t 2时 f x 在 t t 1 上是增函数 g t f t t2 4t 4 当t 2 t 1 即1 t 2时 g t f 2 8 当t 1 2时 即t 1时 f x 在 t t 1 上是减函数 g t f t 1 t2 2t 7 能力 思维 方法 解题回顾 1 含有参数的二次函数的最值问题 因其顶点相对于定义域区间的位置不同 其最值状况也不同 所以要根据二者的相关位置进行分类讨论 2 本题是 定 二次函数 动 区间 依照此法也可以讨论 动 二次函数 定 区间的二次函数问题 顶点定 区间动 顶点动 区间定 例8 函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t R 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图象并写出g t 的最小值 能力 思维