高等数学试题集.doc

高等数学试题1一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1设函数，且当时，与为等价无穷小，则 。2设函数在点处取得极小值，则_。3_ 。 4. 设函数由方程所确定, 则曲线在点处的法线方程为_二、选择题：（本题15分，每小题3分。）1设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。2设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）（A）若只有一个零点，则必至少有两个零点；（B）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；（C）若没有零点，则至少有一个零点；（D）若没有零点，则至多有一个零点。3设函数在区间内具有二阶导数，满足，又，则当时恒有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。4设则（ B ） (A) ；（B）；（C）；（D）5设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为1：3，则平面的一个方程为 （ ） A B. C. D. 三、（本题6分）已知曲线与曲线在点处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限。四、（本题10分）设函数试讨论在处的连续性和可导性。五、设，求。（本题10分） 六、（本题8分）计算不定积分七、（本题8分）已知具有二阶连续导数，且 求八、（本题10分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形.(1) 求的面积；(2) 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.九、（本题8分）计算十、（本题10分）设是可导函数，且，证明：存在，使一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1 3 。2 。3 。 4. 二、选择题：（本题15分，每小题3分。）1（ A ）2（ D ）3 (B)4（ B ）5（ D ）三、（本题6分）2四、(1) 在连续。(2) 在可导。五、设，求。（本题10分）六、七、 八、（1）面积；(2)体积九、十、证明：取辅助函数为, 则在区间上连续且可导，显然故由罗尔中值定理，存在，使得，再由，知，因此，结论成立。高等数学试题2一、 填空题（每题4分，共20分）1设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于 。 （2）2设，则= 。 （）3两平面和之间的距离为 。 （1）4 。 （）5 。 （0）分析：与共线，而，。二、 （10分）已知，求、。解：，。三、（10分）设在内可导，且，求的值。解：，而由拉格朗日中值定理有，。四、（10分）设在上可导，且其反函数为，若，求。解：与互为反函数，由，得，五、（10分）若当时，的导数与为等价无穷小，求。解：由，又六、（10分）计算解：。七、（10分）计算，其中为自然数。解：八、（10分）一容器的侧面和底面可看作曲线段和直线段 绕轴旋转而成（见附图，坐标轴单位长度为米），若以米/分的速度向容器注水，试求当水面高度达到容器深度一半时水面上升的速度。 解：设注水分钟后，容器水面的高度为 注水分钟后的体积 0 1 2 两边关于求导得 所以米/分。九、（10分）设在0，1上连续，在（0，1）内可导，求证： 证明：令，则，再令，则，因为，所以当时，所以，因此有，故，从而有。高等数学试题3一填空题1若 ，试确定常数2设，且 ，当时，有，则 3设有连续导数，且，当时，是同阶无穷小，则4设的一个原函数，且，则 =5已知当时，的导数与为等价无穷小，则= 6设是微分方程的满足，的解，则=7设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 8曲线 所围成的平面图形的面积是9. 求的导数。10.求极限。二计算题求设f(x)在x0处连续。证明：在x0的某邻域(x0-,x0+)内，f(x)有界。设y=ln(secx+tgx),求4设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.5如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数 ，河流中水的流速为常数 ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.答 案一填空题1. a=1,c=1/22 （）3k=3 4 5 61 78 9解：解：10. 二计算题1.解 设x=tg，则dx=sec2d,x=1时，=；x=,=，于是 原式= =2.证 对于，存在充分小的，使当|x-x|时，恒有 |f(x)-f(x0)|1 于是，当x(x0-,x0+)时，有|f(x)|f(x0)|+|f(x)-f(x0)|1+|f(x0)|.3解 =secx4解（1）（2）（3）（4）5解 如图所示，设为船在要时刻的位置 此时两个分速度为，消去t得 ，又,代入得，则有讨论：当 高等数学试题4一设函数由方程确定，试求（10分）二 若 ，试确定常数的值。（10分）三（10分）四设一阶连续可导，且=0，求证：至少存在一个，使（10分）五设 利用导数证明：（15分）六设，且 ，当时，有，试求。（15分）七假设曲线：（0）、轴和所围成的平面区域被曲线：分为面积相等的的两部分，其中是大于零的常数，试确定的值。（15分）八已知函数在0 ,1上连续，在（0 ，1）内可导，且，证明：（1） 存在，使得；(7分)（2） 存在两个不同的点，使得 (8分)解答提示:一. x=0,时y=1 两边对x求导,再将x=0,y=1代入即可.二. ,且 ，故必有：.再用洛必达法则推出a=1,c=1/2三.作变换即可四.构造辅助函数,在区间0 ，1应用罗尔中值定理.五. 构造辅助函数,证明其在(0,+ )内只有一个极小值点, 故对一切都有：=0 六. 由，知 即 解出 代入初始条件即得 （） 七. 先求出两条曲线交点的横坐标 积分 =又, 由知, 八.(1) 构造辅助函数，在0 ，1上应用零点存在定理即可.（2）利用(1)的结果,分别在0 ,和上对应用拉格朗日中值定理即可.高等数学试题5一、选择题1.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记，则有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不确定.4.设有连续导数，且，当时，是同阶无穷小，则（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.设，则在点（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微；(D) 连续且偏导数存在但不可微.6.设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k为常数），则有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，与L2的形状有关.8.设在处收敛，则在处（ D ）二、设，试确定、的值，使都存在.解：当时，故；当时，。三、设的一个原函数，且，求.解：，由知，四、设，S为的边界曲面外侧，计算解：（下侧），（上侧）， 五、已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可见， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。， 由知、收敛，令，；由，知，。对两边取极限得， 对两边取极限得， 由得，解得由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。六、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证： , 其中D为圆环域：解一：令，。由已知当时，故解二：令，令为（逆时针），为（顺时针） ，。七、有一圆锥形的塔，底半径为R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为，曲线参数方程为（*），在点的切向量为，垂线方向向量为。，化简得，由实际问题应，解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。高等数学试题6一选择1函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：A、必要而非充分条件； B、充分而非必要条件；C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件。2设，则=A、 B、 C、 D、 3曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系：A、 B、C、 D、4设其中D是由x=0,y=0, ,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是A、I1I2I3; B、I3I2I1; C、I1I3I2; D、I3I1I2.答案：1. D 2. A 3.B 4.C二、填空题 5设，则= _ 。6函数在点(0，)处沿轴负向的方向导数是 _ 。7设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分_ 。8设，则I=_。答案: 5. 6. 0 7. 0 8. 24 三、计算 9求极限 。 解： =8 10函数由方程所确定，求。解：当时, ； ； 11求函数的极大值点或极小值点。解：由，得驻点 点非极值点。函数无极大值点，在点处取极小值。12设闭区域为D上的连续函数，且求 解 设，在已知等式两边求区域D上的二重积分，有 从而所以 故 于是 13计算二重积分，其中D是由抛