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抛物线中的最值问题 例一 点P在抛物线y2 x上 定点A 3 0 求 PA 的最小值 法一 目标函数法 法二 判别式法 过 作同心圆 当圆与抛物线相切时 到 点的距离最小 设为r 练习 若P为抛物线y2 x上一动点 Q为圆 x 3 2 y2 1上一动点 求 PQ 的最小值 例二 设P为抛物线y x2上的一动点 求P点到直线L 3x 4y 6 0的距离的最小值 法一 目标函数法 法二 判别式法 解 当L平移到与抛物线y x2只有一个公共点时 设此时的直线为L1 其方程为3x 4y b 0 则L与L1的距离即为所求 练习 已知抛物线y2 4x 以抛物线上两点A 4 4 B 1 2 的连线为底边 ABP 其顶点P在抛物线的弧AB上运动 求 ABP的最大面积及此时点P的坐标 分析1 动点在弧AB上运动 可以设出点P的坐标 只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离 也就求出了 ABP的最大面积 分析2 我们可以连接AB 作平行AB的直线L与抛物线相切 求出直线L的方程 即可求出直线L与AB间的距离 从而求出 ABP面积的最大值和点P的坐标 小结 对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值问题 可以由两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数 再用函数最值的方法求解 也可以通过一些几何性质和已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程 通过判断方程的判别式寻求题目的答案 已知定点M 3 2 F是抛物线y2 2x的焦点 在此抛物线上求一点P 使 PM PF 取得最小值 求点P的坐标 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等 即 PF PN PM PF PM PN 当M P N三点共线时距离之和最小 例三 如图 由抛物线的定义 分析 解 如图所示 Q 所求p点位置 9 几何法 运用数形结合的思想 利用抛物线的定义 将到焦点的距离转化为到准线的距离 将图形局部进行转化 使最值问题得以求解 小结 练习 2 求抛物线y2 64x上的点到直线4x 3y 46 0距离最小值 并求取得最小值时抛物线上的点的坐标 课堂小结 在解析几何中 常见的最值问题的求解方法主要
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