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定义证明二重极限 就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A 关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周0，Xo0,Xn=(Xn-1)+(a/Xn-1)/2,n=1,2,收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx0,x20,故lnx/x20 且lnx1),lnx/x2a时,Xn-X(n-1)=-(Xn-1)+(a/Xn-1)/2a,a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A. 对原始两边求极限得A=A+(a/A)/2.解得A=a 同理可求x0a时,极限亦为a 综上,数列极限存在,且为 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为