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含有绝对值的不等式典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域：分析 利用绝对值的基本概念解 (1)x+|x|0，即|x|-xx0定义域为(0，+)，值域为(0，+)(2)|x|x，xR|x|-x0，y0，+)(3)x+|x|0，xR+yR画出函数图象如图5-17所示不难看出，xR，y-1，1说明 本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用例2 解不等式|x+1|2x-3|-2将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论(1)当x-1时原不等式化为-(x+1)-(2x-3)-2x2与条件矛盾，无解综上，原不等式的解为x|0x6注意 找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏例3 解不等式|x2-4|x+2分析 解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：二是根据绝对值的性质：|x|a-axa，|x|axa或x-a，因此本题有如下两种解法2x3或1x2故原不等式的解集为x|1x3解法二 原不等式等价于-(x+2)x2-4x+2例4 求使不等式|x-4|+|x-3|a有解的a的取值范围分析 此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法一 将数轴分为(-，3，3，4，(4，+)三个区间当3x4 时，得(4-x)+(x-3)a，即a1；a1以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a1解法二 设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|a的意义是P到A、B的距离之和小于a因为|AB|=1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于)1，即|x-4|+|x-3|1，故当a1时，|x-4|+|x-3|a有解分析 根据条件凑x-a，y-b证明 |xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|说明 这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法分析 使用分析法证明 |a|0，只需证明|a2-b2|a|2-|a|b|，两边同除|b|2，即只需证明
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