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文具用品组合型试题赏析 312050 浙江省绍兴县平水镇中学 沈岳夫 三角板 直尺 量角器是学生们熟悉的文具用品 以 它们为 道具 以学生常见 熟悉的几何图形为载体 并 辅之以平移 旋转 叠放 拼摆等变换手段的问题 能为 学生提供动手实践操作设计的空间 较好地考查了学生 观察 操作 想象 猜想 类比 联想 类比 归纳 推断 明 理的能力以及运动变化 分类讨论思想等的综合运用能 力 这类操作性的题目格调清新 立意新颖 充分体现了 课标中提出的 培养学生动手动脑 实践探索的能力 的 要求 既注重基础知识 同时又具有很强的综合性 因此 受到了各地中考命题专家的眷顾 本文以 2010年的中 考试题中为例 进行分类评析 供大家参考 1 文具图形叠放 展现数量间的定性关系 1 1 三角板与直尺叠放求度数 图 1 例 1 2010年宁德 如图 1 把一块直角三角板的直角顶点放 在直尺的一边上 如果 1 35 那么 2是 解析 由于直尺可以看成一 个矩形图形 所以对边互相平行 根据题目条件 结合图形 可知 2 的同位角与 1互 余 故 2 90 35 55 1 2 三角板与量角器叠放求面积 图 2 例 2 2010年聊城 将一块三 角板和半圆形量角器按图中方式叠 放 重叠 部分 阴影 的 量角 器弧 AB 对 应 的 圆 心 角 AOB 为 120 AO 的长为 4c m OC 的长为 2c m 则图中阴影部分 的面积为 A 16 3 2 c m 2 B 8 3 2 c m 2 C 16 3 2 3 c m 2 D 8 3 2 3 c m 2 解析 根据题意 结合图形 易知 BOC 180 AOB 180 120 60 在 Rt OBC中 sin BOC BC OB 所以 BC OB sin BOC 4 3 2 2 3 又 S阴影 S扇形OAB S BCO 所以 S阴影 120 4 2 360 1 2 2 2 3 16 3 23 cm 2 故选 C 点评 解决本题的关键是运用分割思想 把阴影部 分合理分割为规则图形的面积 即转化为扇形面积和三 角形面积 本题问题设置富有创意 有利于学生充分发 挥自己的数学学习水平 较好地考查了学生的数学思维 能力和综合运用知识分析 解决问题的能力 2 文具图形旋转 分析数量间的变化关系 2 1 三角板与三角板旋转判断线段间关系 例 3 2010年湘潭 R t ABC与 Rt FED 是两块 全等的含 30 60 角的三角板 按如图 3所示拼在一起 CB与 DE重合 1 求证 四边形 ABFC为平行四边形 2 取 BC中点 O 将 ABC绕点 O顺时钟方向旋转到 如图 4中 A B C 位置 直线 B C 与 AB CF分别相交于 P Q两点 猜想 OQ OP长度的大小关系 并证明你的猜想 3 在 2 的条件下 指出当旋转角至少为多少度 时 四边形 PCQB 为菱形 不要求证明 图 3 图 4 解析 1 因为 ABC FCB 所以 AB CF AC 54 2011年第 1期 初中版 试题赏析 BF 所以四边形 ABFC为平行四边形 2 OP OQ 理由如下 因为 OC OB COQ BOP OCQ PBO 所以 COQ BOP 所以 OP OQ 3 90 因为不论旋转多少度 四边形 PCQB 均为 平行四边形 OP OQ OB OC 所以 只要保证其对角 线互相垂直即可 则有旋转角至少 90 点评 本题是两块三角板不同的拼摆形式 通过两 块三角板拼摆 旋转所形成的不同位置 考查了初中阶 段课程标准中要求的最核心的内容 如三角形全等 平 行四边形 图形的旋转变换的性质 菱形的判定及其性 质 整个题目不仅深化学生对知识的理解 完善认知结 构 而且使学生思维的敏捷性 应变性 随问题的不断变 换 不断解决而不断提升 达到了融会贯通的效果 2 2 三角板与三角板旋转求旋转最小角度 例 4 2010年广东 已知两个全等的直角三角形 纸片 ABC DEF 如图 5放置 点 B D 重合 点 F 在 BC 上 AB与 EF交于点 G C EFB 90 E ABC 30 AB DE 4 图 5 图 6 1 求证 EGB是等腰三角形 2 若纸片 DEF不动 问 ABC 绕点 F逆时针旋转 最小 度时 四边形 ACDE 成为以 ED 为底的梯形 如 图 6 求此梯形的高 解析 1 证明 在 Rt EFB 中 E 30 所以 EBF 60 又因为 ABC 30 所以 EBG E 30 所以 EG BG 所以 EGB 是等腰三角形 2 答案填 30 设 CB交 DE于点 M 当 BFD 30 时 FMD 90 所以 AC DE 即四边形 ACDE 成为以 ED 为底的梯形 在 Rt ABC 和 Rt DEF 中 DEF ABC 30 AB DE 4 所以 BC 23 DF 2 由图 5 知 BF DF 2 所以 CF BC BF 23 2 在 Rt FDM 中 求得 FM 3 所以 C M 23 2 3 3 3 2 故梯形的高为 33 2 点评 解决此类问题 需要一定的想象力和空间观 念 应遵循 动中有静 以动制静 的变化规律 将动态操 作问题转化为静态问题来解决 本题通过第 1 问的证 明 要求学生在证明过中经历观察 思考 推理 反思等 实践活动 获得感性认识 加深对数学问题情境的认识 和理解 从而上升为第 2 问题 解答第 2 问时要抓住 两点 一是位置关系 AC DE 二是数量关系 BF DF 然后运用平时积累的知识 思想 方法 创造性地解决问 题 得出正确的结论 3 文具图形平移 探究几何量之间的发展关系 3 1 三角板与三角板平移求函数关系式 例 5 2010年龙岩 如图 7 将直角边长为 2的等 腰直角三角形 ABC 绕其直角顶点 C 顺时针旋转 角 0 90 得 A1B1C A1C交 AB于点 D A1B1分别 交 BC AB于点 E F 连接 AB1 1 求证 ADC A1DF 2 若 30 求 AB1A1的度数 3 如图 8 当 45 时 将 A1B1C沿 C A 方向 平移得 A2B2C2 A2C2交 AB于点 G B2C2交 BC 于点 H 设 CC2 x 0 x 2 ABC与 A2B2C2的重叠部分面 积为 S 试求 S 与 x的函数关系式 图 7 图 8 备用图 解析 1 证明 如图 9 根据旋转变换的性质 易 55 试题赏析 2011年第 1期 初中版 图 9 知 CAD FA1D 因为 1 2 所以 ADC A1DF 2 因为 CA CA1 CB CB1 2 所以点 A A1 B B1均 在以 C为圆心半径2为半径的 圆上 所以 AB1A1 1 2 1 2 30 15 3 A1B1C 在平 移 的过 程 中 易 证 得 AC2G HB2E A2FG C2HC FBE均是等腰直角三角形 四边形 AC2B2F是平行四边形 因为 AB AC 2 BC 2 2 所以当 45 时 CE CD 1 2AB 1 图 10 当 0 x 1 时 如图 10 所示 A2B2C2与 ABC 的重 叠部 分 为 五 边 形 C2HEFG 则 S五边形C2HEFG S AC2B2F SR t AC2G SR t HB 2E 因为 C2C x 所以 CH x AC2 2 x B2E HE 1 x 所 以 AG C2G 2 2 AC2 2 2 2 x 所以 S AC2B2F AC2 CE 2 x 1 2 x SRt AC2G 1 2 AG 2 1 2 1 2 2x 2 1 2 2 2 x 1 4x 2 SR t HB 2E 1 2 B2E 2 1 2 1 x 2 1 2 x 1 2 x 2 所以 S五边形C 2HEFG 2 x 1 2 2 2 x 1 4 x 2 1 2 x 1 2 x2 3 4x 2 2 2 x 2 1 当 1 x 2时 如图 11 所示 A2B2C2与 ABC的重叠部分为直角梯形 C2B2FG 图 11 S直角梯形C 2B2FG S C2B2FA SR t AC2G AC2 CE 1 2AG 2 2 x 1 2 2 2x 1 4 x 2 1 4x 2 2 2 1 x 2 1 2 综上 S 与 x的函数关系式为 S 3 4 x 2 2 2 x 2 1 0 x 1 1 4 x 2 2 2 1x 2 1 2 1 x 2 点评 本题是一道三角板旋转 平移相结合的动态 几何题 综合考查了旋转变换的性质 相似三角形 四点 共圆 圆心角和圆周角 直角三角形勾股定理 平行四边 形性质 面积计算等知识 同时考查了初中阶段课程标 准中要求的最重要最常用的数学思想 如函数思想 重 叠部分面积 S与 x 的函数关系式 化归思想 由 CA CA1 CB CB1 2 转化为点 A A1 B B1均在以 C为 圆心半径为 的圆上 分类思想 对自变量 x 进行分类 讨论 即当 0 x 1时和当 1 x 2时 探求重叠部分 面积 S与 x的函数关系式 还有方程思想 建模思想等 等 3 2 三角板与直尺平移探求存在性问题 图 12 例 6 2010年金华 如图 12 把含有 30 角的三 角板 ABO 置入平面直角坐 标系中 A B 两点坐标分别 为 3 0 和 0 3 3 动点 P 从 A 点开始沿折线 AO OB BA运动 点 P在 AO OB BA上运动的速度分别为 1 3 2 长度单位 秒 一直尺 的上边缘 l从 x轴的位置开始以 3 3 长度单位 秒 的速度 56 2011年第 1期 初中版 试题赏析 向上平行移动 即移动过程中保持 l x轴 且分别与 OB AB交于 E F两点 设动点 P与动直线 l同时出发 运动时 间为 t秒 当点 P 沿折线 AO OB BA 运动一周时 直线 l 和动点 P同时停止运动 请解答下列问题 1 过 A B 两点的直线解析式是 2 当 t 4时 点 P 的坐标为 当 t 点 P 与点 E重合 3 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P 在运动过 程中 若形成的四边形 PEP F 为菱形 则 t的值是多少 当 t 2时 是否存在着点 Q 使得 FEQ BEP 若存在 求出点 Q的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 因已知 A B 两点坐标 故可用待定系数 法易求得直线 AB的解析式 y 3x 3 3 2 当 t 4时 点 P 所经过的路线分两段 一段是 OA 需 3秒 另一段在 OB上 还有 1秒 根据题意可知 OP 3 则 P 0 3 设 x 秒后点 P 与点 E 重合 则 3 x 3 3 3 x 解得 t 9 2 图 13 3 当 点 P 在 线段 AO 上 时 过 F作 FG x轴 G为垂足 如 图 18 因为 OE FG EP FP EOP FGP 90 所以 EOP FGP 所以 OP PG 又因为 OE FG 3 3 t A 60 所以 AG FG tan60 1 3 t 而 AP t 所以 OP PG AP AG 2 3 t 由 3 t 2 3 t得 t 9 5 当点 P在线段 OB上时 形成的是三角形 不存在菱形 当点 P在线段 BA 上时 过 P 作 PH EF PM OB H M 分别为垂足 如图 14 因为 OE 3 3 t 所以 BE 3 3 3 3 t 所以 EF BE tan60 3 t 3 图 14 所以 MP EH 1 2 EF 9 t 6 又因为 BP 2 t 6 在 Rt BMP 中 BP cos60 MP 即 2 t 6 1 2 9 t 6 解得 t 45 7 图 15 存在 理由如下 因为 t 2 所以 OE 2 3 3 AP 2 OP 1 将 BEP绕点 E 顺时针方向旋 转 90 得到 B EC 如图 15 因 为 OB EF 所以点 B 在直线 EF 上 C点坐标为 2 3 3 2 3 3 1 过 F作 FQ B C 交 EC于点 Q 则 FEQ B EC 由BE FE B E FE CE QE 3 可得 Q 的坐标为 2 3 3 3 根据对称性可得 Q 关于直 线 EF的对称点 Q 2 3 3 也符合条件 点评 此题是三角板与直尺的组合 第 1 问考查 了待定系数法求一次函数 第 2 问要掌握点 P 的运动 路线 要掌握点 P在不同阶段的运动速度 即可求得 第 3 问中的第 小问需要分三种情况分析 当点 P 在线 段 AO上时