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圆锥曲线综合训练题圆锥曲线综合训练题 一 求轨迹方程一 求轨迹方程 1 1 已知双曲线 1 C与椭圆 2 C 22 1 3649 xy 有公共的焦点 并且双曲线的离心率 1 e与椭圆的离心率 2 e之比为 7 3 求双曲线 1 C的方程 2 以抛物线 2 8yx 上的点 M 与定点 6 0 A为端点的线段MA的中点为P 求P点的轨迹方程 1 解 1 C的焦点坐标为 0 13 2 13 7 e 由 1 2 7 3 e e 得 1 13 3 e 设双曲线的方程为 22 22 1 0 yx a b ab 则 22 22 2 13 13 9 ab ab a 解得 22 9 4ab 双曲线的方程为 22 1 94 yx 2 解 设点 00 M xyP x y 则 0 0 6 2 2 x x y y 0 0 26 2 xx yy 代入 2 00 8yx 得 2 412yx 此即为点 P 的轨迹方程 2 1 ABC 的底边16 BC AC和AB两边上中线长之和为 30 建立适当的坐标系求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹 2 ABC 中 B 5 0 C 5 0 且 sinC sinB 5 3 sinA 求点 A 的轨迹方 程 解 解 1 以BC所在的直线为x轴 BC中点为原点建立直角坐标系 设G点坐标为 yx 由20 GBGC 知G点的轨迹是以B C为焦点的椭圆 且除去轴上两点 因10 a 8 c 有 6 b 故其方程为 01 36100 22 y yx 设 yxA yxG 则 01 36100 22 y yx 由题意有 3 3 y y x x 代入 得A的轨迹方程为 01 324900 22 y yx 其轨迹是椭圆 除去x轴上两 点 2 分析 分析 由于 sinA sinB sinC 的关系为一次齐次式 两边乘以 2R R 为外接圆半径 可转化为边长的关系 解 解 sinC sinB 5 3 sinA2RsinC 2RsinB 5 3 2RsinA BCACAB 5 3 即6 ACAB 点 A 的轨迹为双曲线的右支 去掉顶点 2a 6 2c 10 a 3 c 5 b 4 所求轨迹方程为1 169 22 yx x 3 点评 点评 要注意利用定义直接解题 这里由 式直接用定义说明了轨迹 双曲线右支 3 如图 两束光线从点M 4 1 分别射向直线y 2 上两点P x1 y1 和Q x2 y2 后 反射光线恰好通过椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的两焦点 已知椭圆的离心率为 2 1 且x2 x1 5 6 求椭 圆C的方程 解 设a 2k c k k 0 则b 3k 其椭圆的方程为1 34 2 2 2 2 k y k x 由题设条件得 11 4 2 120 xxk 22 4 2 120 xxk x2 x1 5 6 由 解得 k 1 x1 5 11 x2 1 所求椭圆C的方程为1 34 22 yx 4 在面积为 1 的PMN 中 2 1 tan M 2tan N 建立适当的坐标系 求出以M N为焦点且过P点的椭圆方程 所 求 椭 圆 方 程 为 1 315 4 22 yx 解解 以MN的中点为原点 MN所在直线为x轴建立直角坐标 系 设 yxP 则 1 2 1 2 cy cx y cx y 2 3 3 4 3 5 ccy c x 且 即 3 2 32 5 P 4 3 1 3 4 12 25 22 22 ba ba 得 3 4 15 2 2 b a 5 已知点P是圆x2 y2 4 上一个动点 定点Q的坐标为 4 0 1 求线段PQ的中点的轨迹方程 2 设 POQ的平分线交PQ于点R O为原点 求点R的轨迹方程 解 1 设线段PQ的中点坐标为M x y 由Q 4 0 可得点P 2x 4 2y 代入圆的方程x2 y2 4 可得 2x 4 2 2y 2 4 整理可得所求轨迹为 x 2 2 y2 1 2 设点R x y P m n 由已知 OP 2 OQ 4 2 1 OQ OP 由角平分线性质可得 RQ PR OQ OP 2 1 又 点R在线段PQ上 PR 2 1 RQ 点R分有向线段PQ的比为 2 1 由定 比分点坐标公式可得 3 2 2 1 1 0 2 1 3 42 2 1 1 4 2 1 n n y m m x 即 2 3 2 43 y n x m 点P的坐标为 2 3 2 43yx 代入圆的方程x2 y2 4 可得4 2 3 2 43 22 yx 即 2 3 4 x y2 9 16 y 0 点R的轨迹方程为 2 3 4 x y2 9 16 y 0 6 已知动圆过定点 1 0 且与直线1x 相切 1 求动圆的圆心轨迹C的方程 2 是否存在直线l 使l过点 0 1 并与轨迹C交于 P Q两点 且满足0OP OQ uuu v uuu v 若存在 求出直线l的方 程 若不存在 说明理由 解 1 如图 设M为动圆圆心 F 1 0 过点M作直线1x 的垂线 垂足为N 由题意知 MFMN 即动点M到定点F与定直线1x 的距离相等 由抛物线的定义知 点M的轨 迹为抛物线 其中 1 0F为焦点 1x 为准线 动点R的轨迹方程为xy4 2 2 由题可设直线l的方程为 1 0 xk yk 由 2 1 4 xk y yx 得 2 440ykyk 2 16160k 11kk或 设 11 yxP 22 yxQ 则 12 4yyk 12 4y yk 由0OP OQ 即 11 OPx y 22 OQxy 于是 1212 0 x xy y 即 2 1212 110kyyy y 222 1212 1 0ky ykyyk 222 4 1 40k kkkk i 解得4k 或0k 舍去 又41k 0 设 A B 关于 L 的对称点分别为 A B 则利用对称性可求得它们的坐标分别为 A 1 2 1 1 22 2 k k k k B 1 1 8 1 16 2 2 2 k k k k 因为 A B 均在抛物线上 代入 消去 p 得 k2 k 1 0 解得 k 2 51 p 5 52 所以直线 L 的方程为 y 2 51 x 抛物线 C 的方程为 y2 5 54 x 10 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别是F1 c 0 F2 c 0 Q是椭圆外的动点 满足 2 1 aQF 点P是线段F1Q与该椭圆的交点 点T在线段F2Q上 并且满足 0 0 22 TFTFPT 设x为点 P 的横坐标 证明x a c aPF 1 求点 T 的轨迹 C 的方程 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 2 b若存在 求 F1MF2的正切值 若不存 在 请说明理由 证法一 设点 P 的坐标为 yx 由 P yx在椭圆上 得 2 2 2 2 2222 1 x a c a x a b bcxycxPF 由0 acx a c aax知 所以 1 x a c aPF 3 分 证法二 设点 P 的坐标为 yx记 2211 rPFrPF 则 22 2 22 1 ycxrycxr 由 4 2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr 得 证法三 设点 P 的坐标为 yx椭圆的左准线方程为 0 x a c a 由椭圆第二定义得 a c c a x PF 2 1 即 2 1 x a c a c a x a c PF 由0 acx a c aax知 所以 1 x a c aPF 3 分 解法一 设点 T 的坐标为 yx 当0 PT时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当 0 0 2 TFPT且时 由0 2 TFPT 得 2 TFPT 又 2 PFPQ 所以 T 为线段 F2Q 的中点 在 QF1F2中 aQFOT 2 1 1 所以有 222 ayx 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 222 ayx 7 分 解法二 设点 T 的坐标为 yx当0 PT时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当 0 0 2 TFPT且时 由0 2 TFPT 得 2 TFPT 又 2 PFPQ 所以 T 为线段 F2Q 的中点 设点 Q 的坐标为 yx 则 2 2 y y cx x 因此 2 2 yy cxx 由aQF2 1 得 4 222 aycx 将 代入 可得 222 ayx 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 222 ayx 7 分 解法一 C 上存在点 M 00 y x 使 S 2 b的充要条件是 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由 得ay 0 由 得 2 0 c b y 所以 当 c b a 2 时 存在点 M 使 S 2 b 当 c b a 2 时 不存在满足条件的点 M 11 分 当 c b a 2 时 002001 yxcMFyxcMF 由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF 212121 cos MFFMFMFMFMF 2 2121 sin 2 1 bMFFMFMFS 得 2tan 21 MFF 解法二 C 上存在点 M 00 y x 使 S 2 b的充要条件是 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由 得 2 0 c b y 上式代入 得 0 22 2 4 22 0 c b a c b a c b ax 于是 当 c b a 2 时 存在点 M 使 S 2 b 当 c b a 2 时 不存在满足条件的点 M 11 分 当 c b a 2 时 记 cx y kk cx y kk MFMF 0 0 2 0 0 1 21 由 2 21 aFF 知 符合题意 0342 yx为所求 2 将2 21 21 xx yy 代入 得所求轨迹方程为 04 yx 椭圆内部分 3 将 2 1 21 21 x y xx yy 代入 得所求轨迹方程为 0222 22 yxyx 椭圆内部分 4 由 得 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 将 平方并整理得 21 22 2 2 1 24xxxxx 21 22 2 2 1 24yyyyy 将 代入 得 224 4 24 21 2 21 2 yyy xxx 再将 2121 2 1 xxyy 代入 式得 2 2 1 242 21 2 21 2 xxyxxx 即1 2 1 2 2 y x 此即为所求轨迹方程 当然 此题除了设弦端坐标的方法 还可用其它方法解决 13131313 椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的两个焦点为 F1 F2 点 P 在椭圆 C 上 且 11212 414 33 PFFFPFPF 求椭圆 C 的方程 若直线l过圆 x2 y2 4x 2y 0 的圆心 M 交椭圆 C 于 A B两 点 且 A B 关于点 M 对称 求直线l的方程 解法一 解法一 因为点P在椭圆C上 所以62 21 PFPFa a 3 在 Rt PF1F2中 52 2 1 2 221 PFPFFF故椭圆的半焦距c 5 从而b2 a 2 c2 4 所以椭圆 C的方程为 49 22 yx 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心M的坐标为 2 1 从而可设直线l的方程为y k x 2 1 代入椭圆C的方程得 4 9k2 x2 36k2 18k x 36k2 36k 27 0 因为A B关于点M对称 所以 2 94 918 2 2 2 21 k kkxx 解得 9 8 k 所以直线l的方程为 1 2 9 8 xy即 8x 9y 25 0 经检验 符合题意 解法二 解法二 同解法一 已知圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心M的坐标为 2 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由题意x1 x2且 1 49 2 1 2 1 yx 1 49 2 2 2 2 yx 得 0 4 9 21212121 yyyyxxxx 因为A B关于点M对称 所以x1 x2 4 y1 y2 2 代入 得 21 21 xx yy 9 8 即直线l的斜率为 9 8 所以直线l的方程为y 1 9 8 x 2 即 8x 9y 25 0 经检验 所求直线方程符合题意 14 已知椭圆 22 22 1 0 yx ab ab 的一个焦点 1 0 2 2 F 对应的准线方程为 9 2 4 y 1 求椭圆的方程 2 直线l与椭圆交于不同的两点M N 且线段MN恰被点 1 3 2 2 P 平分 求直线 l的方程 解 1 由 2 222 2 2 9 2 4 c a c abc 得3 1ab 即椭圆的方程为 2 2 1 9 y x 2 易知直线l的斜率一定存在 设l 313 2222 k yk xykx 即 设M x1 y1 N x2 y2 由 2 2 3 22 1 9 k ykx y x 得 2 222 327 9 3 0 424 k kxkkxk x1 x2为上述方程的两根 则 2 222 327 3 4 9 0 424 k kkkk 2 12 2 3 9 kk xx k MN的中点为 13 22 P 12 1 21 2 xx 2 2 3 1 9 kk k 22 39kkk 解得k 3 代入 中 22 9927 184 99 180 424 直线l y 3x 3 符合要求 15 设 12 FF分别是椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左右焦点 1 设椭圆 C 上的点 3 3 2 到 12 FF两点距离之和等于 4 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 设 K 是 1 中所得椭圆上的动点 求线段 1 KF的中点 B 的轨迹方程 3 设点 P 是椭圆 C 上的任意一点 过原点的直线 L 与椭圆相交于 M N 两点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 PMPN kK试探究 PMPN kK 的值是否与点 P 及直线 L 有关 并证明你的结论 解 1 由于点 3 3 2 在椭圆上 2 2 22 3 3 2 1 ab 2a 4 椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy 焦点坐标分别为 1 0 1 0 2 设 1 KF的中点为 B x y 则点 21 2 Kxy 把 K 的坐标代入椭圆 22 1 43 xy 中得 22 21 2 1 43 xy 线段 1 KF的中点 B 的轨迹方程为 2 2 1 1 3 2 4 y x 3 过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M N 关于坐标原点对称 设 0000 M xyNxyp x y M N P在椭圆上 应满足椭圆方程 得 2222 00 2222 11 xyxy abab 00 00 PMPN yyyy kK xxxx PMPN kK 22 000 22 000 yyyyyy xxxxxx 2 2 b a 故 PMPN kK 的值与点 P 的位置无关 同时与直线 L 无关 16 已知椭圆的一个焦点为 22 0 1 F 对应的准线为 4 29 y 离心率e满足 3 4 3 2 e成等比数列 求椭圆的方程 是否存在直线l 使l与椭圆交于不同的两点BA 且线段AB恰 好被直线 2 1 x平分 若存在 求出直线l的倾斜角 的取值范围 若不存在 说明理由 解 由题意知 9 8 3 4 3 2 2 e 所以 3 22 e 设椭圆上任意一点P的坐标为 yx 则由椭圆的第二定义得 3 22 4 29 22 22 y yx 化简得1 9 2 2 y x 故所求椭圆方程为1 9 2 2 y x 设 2211 yxByxA AB中点 00 yxM 依题意有 2 2 1 2 21 0 21 0 yy y xx x 可得 021 21 2 1 yyy xx 若直线l存在 则点M必在椭圆内 故1 9 2 1 2 02 y 解得0 2 33 2 33 0 00 yy或 将 2211 yxByxA代入椭圆方程 有 2 1 9 1 1 9 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x 1 2 得 0 9 1212 1212 yyyy xxxx 故 012 12 12 12 2 1 9 9 yyy xx xx yy kAB 所以 AB k y 2 9 0 则有0 2 9 2 33 2 33 2 9 0 ABAB kk 或 解得33 ABAB kk或 故存在直线l满足条件 其倾斜角 3 2 2 2 3 三 定义与最值 三 定义与最值 17 已知 F 是椭圆22 5945xy 的左焦点 P 是此椭圆上的动点 A 1 1 是一定点 1 求 3 2 PAPF 的最小值 并求点 P 的坐标 2 求P A P F 的最大值和最小值 解 1 由椭圆的第二定义转化知 3 2 PAPF 的最小值是 2 11 此时 P 1 5 56 2 依题意 由椭圆的第二定义知 6 6 22 PFPAPFPAPFPA 2 22 AFPFPA 22 2 PFPA 2626 2 三点共线时取 当且仅当FAPPFPA 18 设F1 F2分别是椭圆 2 2 1 4 x y 的左 右焦点 若P是该椭圆上的一个动点 求12PFPF 的最大值和最小值 求 21 PFPF 的最大值和最小值 解 易知2 1 3abc 所以 12 3 0 3 0 FF 设P x y 则 2 2222 12 1 3 3 313 38 44 x PFPFxyxyxyxx 因为 2 2 x 故当x 0 即点P为椭圆短轴端点时 2 1 PF PF 有最小值 2 当2x 即点P为椭圆长轴端点时 2 1 PF PF 有最大值 1 19 若双曲线过点 2 6 其渐近线方程为2yx I 求双曲线的方程 II 已知A 2 3 0 3 B 在双曲线上求一点P 使 PBPA 3 3 的值最小 解 1 2 y x 2 2 II 2 3 P 最小值为 3 3 3 20 以椭圆1 312 22 yx 的焦点为焦点 过直线09 yxl 上一点M作椭圆 要使所作椭圆的长轴最短 点M应在何处 并求出此时的椭圆方程 分析 分析 椭圆的焦点容易求出 按照椭圆的定义 本题实际上就是要在已知直线上找一点 使该点到直线同侧的两已知点 即两焦点 的距离之和最小 只须利用对称就可解决 解 解 如图所示 椭圆1 312 22 yx 的焦点为 03 1 F 03 2 F 点 1 F关于直线09 yxl 的对称点F的坐标为 9 6 直线 2 FF的方程为032 yx 解方程组 09 032 yx yx 得交点M的坐标为 5 4 此时 21 MFMF 最小 所求椭圆的长轴 562 221 FFMFMFa 53 a 又3 c 36353 2 2 222 cab 因此 所求椭圆的方程为1 3645 22 yx 21 已知动点 P 与双曲线 2 2 x 3 2 y 1 的两个焦点 F1 F2的距离之和为 6 求动点 P 的轨迹 C 的方程 若 1 PF 2 PF 3 求 PF1F2的面积 若已知 D 0 3 M N 在轨迹 C 上且DM DN 求实数 的取值范围 解 9 2 x 4 2 y 1 2 5 1 5 22 E F是椭圆 22 24xy 的左 右焦点 l是椭圆的右准线 点Pl 过点E的直线交椭圆于A B两点 1 当AEAF 时 求AEF 的面积 2 当3AB 时 求AFBF 的大小 3 求EPF 的最大值 解 1 22 4 1 2 82 AEF mn Smn mn 2 因 4 8 4 AEAF ABAFBF BEBF M FE O y A B P x 则5 AFBF 3 设 2 2 0 Pt t tan EPFtanEPMFPM 221 3 223 222 22 23 1 663 t tttttt 当6t 时 3 30 3 tan EPFEPF 23 已知定点 1 0 A 1 0 B 0 1 C 动点P满足 2 PCkBPAP 1 求动点P的轨迹方程 并说明方程表示的图形 2 当2 k时 求 BPAP的最大值和最小值 解 1 设动点P的坐标为 yx 则 1 yxAP 1 yxBP 1 yxPC 2 PCkBPAP 2222 1 1yxkyx 即012 1 1 22 kkxykxk 若1 k 则方程为1 x 表示过点 0 1 且平行于y轴的直线 若1 k 则方程为 222 1 1 1 k y k k x 表示以 0 1 k k 为圆心 以为半径 1 1 k 的圆 2 当2 k时 方程化为1 2 22 yx 2 2 1 1 yxyxyxBPAP 22 2 yxBPAP 又 1 2 22 yx 令 sin cos2 yx 则 cos4522 22 yxBPAP 当1cos 时 BPAP的最大值为6 当1cos 时 最小值为2 24 点 A B 分别是以双曲线 16 2 x 1 20 2 y 的焦点为顶点 顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 点 P 在椭圆 C 上 且位于 x 轴上方 0 PFPA 1 求椭圆 C 的的方程 2 求点 P 的坐标 3 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点 点 M 到直线 AP 的距离等于 MB 求椭圆上的点到 M 的距离d的最小值 解 1 已知双曲线实半轴a1 4 虚半轴b1 25 半焦距c1 62016 椭圆的长半轴a2 c1 6 椭圆的半焦距c2 a1 4 椭圆的短半轴 2 b 2046 22 所求的椭圆方程为 36 2 x 1 20 2 y 2 由已知 0 6 A 0 4 F 设点 P 的坐标为 yx 则 4 6 yxFPyxAP 由已知得 22 2 1 3620 6 4 0 xy xxy 则01892 2 xx 解之得6 2 3 xx或 由于 y 0 所以只能取 2 3 x 于是3 2 5 y 所以点 P 的坐标为 3 2 5 2 3 9 分 3 直线063 yxAP 设点 M 是 0 m 则点 M 到直线 AP 的距离是 2 6 m 于是6 2 6 m m 又 点 M 在椭圆的长轴上 即66 m2m 当2 m时 椭圆上的点到 0 2 M的距离 2 22222 549 2 4420 15 992 x dxyxxx 又66x 当 2 9 x时 d取最小值15 25 已知在平面直角坐标系xoy中 向量32 1 0 的面积为OFPj 且 3 3 OF FPt OMOPj uuu r uuruuuruu u rr I 设44 3 t 求向量OF与FP的夹角 uu vuu v 的取值范围 II 设以原点 O 为中心 对称 轴在坐标轴上 以 F 为右焦点的椭圆经过点 M 且 13 2 OPctcOF当 取最小值时 求椭圆的方程 解 1 由 34 sin cos sin 34 sin 2 1 32 t FPOF FPOF FPOFFPOF 由得 得 34 tan t 3 分 0 3tan1344 t 夹角 的取值范围是 3 4 6 分 2 0 0000 cOFycxFPyxP 则设 2 0000 00 0 3 1 3 14 3 2 3 2 OFP OF FPxc ycxc ctcxc SOFyy c 8 分 2222 00 4 34 3 3 2 32 6OPxycc cc 10 分 当且仅当 32 32 62 2 34 3 OPOPc c c此时取最小值时即 3 2 1 0 32 32 3 3 OM 或 1 2 1 0 32 32 3 3 OM 12 分 椭圆长轴12 4 8 03 22 03 22 2 22222 baa 或 2 171 2 171 171 01 22 01 22 2 22222 baa 故所求椭圆方程为1 1216 22 yx 或 1 2 171 2 179 22 yx 14 分 26 已知点 1 0 F 一动圆过点F且与圆8 1 22 yx内切 求动圆圆心的轨迹C的方程 设点 0 aA 点P为曲线C上任一点 求点A到点P距离的最大值 ad 在10 a的条件下 设 POA的面积为 1 S O是坐标原点 P是曲线C 上横坐标为a的点 以 ad为边长的正方形的面积为 2 S 若正数m满足 21 mSS 问m是否存在最小值 若存在 请求出此最小值 若不存在 请说明理由 解 设动圆圆心为 yxM 半径为r 已知圆圆心为 1 0 E 由题意知rMF rME 22 于是22 MFME 所以点M的轨迹C是以E F为焦点 长轴长为22的椭圆 其方程为1 2 2 2 y x 设 yxP 则2222 2222222 aaxxxaxyaxPA 22 22 aax 令22 22 aaxxf 1 1 x 所以 当1 a时 xf在 1 1 上是减函数 2 max 1 1 afxf 当11 a 即11 a时 xf在 1 a 上是增函数 在 1 a 上是减函数 则 22 2 max aafxf 当1 a 即1 1 1 11 22 1 1 2 aa aa aa ad 当10 0 所以k2 1 0 从而OA OB 2 综上 当AB x轴时 OA OB取得最小值 2 28 一束光线从点 0 1 1 F出发 经直线032 yxl上一点P反射后 恰好穿过点 0 1 2 F 求点 1 F关于直线l的对称点 1 F 的坐标 求以 1 F 2 F为焦点且过点P的椭圆C的方 程 设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A B两点 点Q为线段AB上的动点 求点Q到 2 F的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值 并求取得最小值时点Q的坐标 解解 设 1 F 的坐标为 nm 则 2 1 1 m n 且03 22 1 2 nm 2 分 解得 5 2 5 9 nm 因此 点 1 F 的坐标为 5 2 5 9 4 分 11 PFFP 根据椭圆定义 得 2 2121 FFPFFPa 22 0 5 2 1 5 9 22 5 分 2 a 112 b 所求椭圆方程为1 2 2 2 y x 7 分 2 2 c a 椭圆的准线方程为2 x 8 分 设点Q的坐标为 32 tt 22 t 1 d表示点Q到 2 F的距离 2 d表示点Q到椭圆的右准线的距离 则10105 32 1 222 1 ttttd 2 2 td 2 22 2 1 2 22 5 2 10105 t tt t tt d d 10 分 令 2 2 2 22 t tt tf 22 ba b y a x C的左焦点 直线 l 为其左准线 直线 l 与 x 轴交于点 P 线段 MN 为椭圆的长轴 已知 2 8 MFPMMN 且 1 求椭圆 C 的标准方程 2 若 过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A B 求证 AFM BFN 3 求三角形 ABF 面积的最大值 解 1 48 aMN 122 1 2 1 0132 2 2 222 2 2 cabc eceecaa c a MFPM舍去或即得又 1 1216 22 yx 椭圆的标准方程为 文 6 分 理 4 分 2 当 AB 的斜率为 0 时 显然 0 BFNAFM 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时 设 2211 yxByxA AB 方程为 8 myx 代入椭圆方程 整理得 014448 43 22 myym 则 43 144 43 48 43 1444 48 2 21 2 21 22 m yy m m yymm 6622 2 2 1 1 2 2 1 1 my y my y x y x y kk BFAF 0 6 6 62 21 2121 mymy yyymy 0BFNAFMkk BFAF 从而 综上可知 恒有 BFNAFM 9 分 3 43 472 2 1 2 2 12 m m yyPFSSS PAFPBFABF 33 1632 72 4 16 43 72 16 4 3 472 2 2 2 2 m m m m 当且仅当 3 28 4 16 43 2 2 2 m m m即 此时适合 0 的条件 取得等号 三角形 ABF 面积的最大值是 33 13 分 四 弦长及面积 四 弦长及面积 30 已知双曲线的方程为 2 2 1 3 y x 设F1 F2分别是其左 右焦点 1 若斜率为 1 且过F1的直线l交双曲线于 A B 两点 求线段 AB 的长 2 若P是该双曲线左支上的一点 且 12 60FPF 求 12 FPF 的面积 S 解 1 AB 2yx 代入 2 2 1 3 y x 并整理得 2 2470 xx 设 1122 A xyB xy 则 1212 7 2 2 xxx x 2 1212 1 1 424 146ABxxx x 2 设 21 PFm PFn 则mn 2 在 12 FPF 中 由余弦定理有 2 22 162cos602mnmnmnmnmn 12mn 113 sin60123 3 222 Smn 31 已知椭圆14 22 yx及直线mxy 1 当m为何值时 直线与椭圆有公共点 2 若直线被椭圆截得的弦长为 5 102 求直线的方程 解解 1 把直线方程mxy 代入椭圆方程14 22 yx得 14 2 2 mxx 即0125 22 mmxx 020161542 22 2 mmm 解得 2 5 2 5 m 2 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 1 x 2 x 由 1 得 5 2 21 m xx 5 1 2 21 m xx 根据弦长公式得 5 102 5 1 4 5 2 11 2 2 2 mm 解得0 m 方程为xy 32 已知长轴为 12 短轴长为 6 焦点在x轴上的椭圆 过它对的左焦点 1 F作倾斜解为 3 的直线交椭圆于A B两点 求弦AB的长 分析 分析 可以利用弦长公式 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 求得 也可以利用椭圆定义及余弦定理 还可以利用焦点半径来求 解 解 法法 1 1 1 1 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 因为6 a 3 b 所以33 c 因为焦点在x轴上 所以椭圆方程为1 936 22 yx 左焦点 0 33 F 从而直线方程为93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得 083637213 2 xx 设 1 x 2 x为方程两根 所以 13 372 21 xx 13 836 21 xx 3 k 从而 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 法法 2 2 2 2 利用椭圆的定义及余弦定理求解利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为1 936 22 yx 设mAF 1 nBF 1 则mAF 12 2 nBF 12 2 在 21F AF 中 3 cos2 211 2 21 2 1 2 2 FFAFFFAFAF 即 2 1 362336 12 22 mmm 所以 34 6 m 同理在 21F BF 中 用余弦定理得 34 6 n 所以 13 48 nmAB 法法 3 3 3 3 利用焦半径求解 利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程083637213 2 xx求出方程的两根 1 x 2 x 它们分别是A B的横坐标 再根据焦半径 11 exaAF 21 exaBF 从而求出 11 BFAFAB 33 设双曲线方程 22 22 1 0 xy ba ab 的半焦距为c 直线l过 0 0 ab两点 已知原点到直线l的距离为 3 4 c 1 求双曲线的离心率 2 经过该双曲线的右焦点且斜率为 2 的直线m被双曲线截得 的弦长为 15 求双曲线的方程 解 1 22222222 222babacaacaee 2 分 直线l的方程为1 xy ab 即0bxayab 由原点到直线l的距离为 3 4 c得 22 3 4 abab dc c ab 即 2224 16 3acac 4 分 两边同时除以 4 a得 24 16 1 3ee 整理得 42 316160ee 解得 2 4 4 3 e 或 5 分 又2e 故双曲线的离心率为2e 6 分 2 由 1 知道2e 即2ca 所以设双曲线的方程为 22 22 1 3 xy aa 又由题意得直线m方程为2 2 yxa 代入双曲线方程得 7 分 222 34 2 3xxaa 整理得 22 16190 xaxa 8 分 记直线m与双曲线的交点为 1122 A x yB xy 则有 2 1212 16 19xxa x xa 9 分 22222 121212 1 1 4 5 25676 3015ABkxxkxxx xaaa 1 2 a 11 分 所求双曲线方程为 22 1 13 44 xy 12 分 34 已知ABC 的顶点AB 在椭圆 22 34xy 上 C在直线2lyx 上 且ABl 当AB边通过坐标原点O时 求AB的长及ABC 的面积 当90ABC 且斜边AC的长最大时 求AB所在直线的方程 解 因为ABl 且AB边通过点 0 0 所以AB所在直线的方程为yx 设AB 两点坐标分别为 1122 xyxy 由 22 34xy yx 得1x 所以 12 22 2ABxx 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离 所以2h 1 2 2 ABC SAB h i 设AB所在直线的方程为yxm 由 22 34xy yxm 得 22 46340 xmxm 因为AB 在椭圆上 所以 2 12640m 设AB 两点坐标分别为 1122 xyxy 则 12 3 2 m xx 2 12 34 4 m x x 所以 2 12 326 2 2 m ABxx 又因为BC的长等于点 0 m 到直线l的距离 即 2 2 m BC 222 22 210 1 11ACABBCmmm 所以当1m 时 AC边最长 这时12640 此时AB所在直线的方程为1yx 35 梯形ABCD的底边AB在y轴上 原点O为AB的中点 4 24 2 2 33 ABCDACBD M为CD的中点 求点M的轨迹方程 过M作AB的垂线 垂足为N 若存在正常数 0 使 0 MPPN uuu vuuu v 且P点到A B的距离和为定值 求点P的轨迹E的方程 过 1 0 2 的直线与轨迹E交于P Q两点 求OPQ 面积的最大值 解 设点M的坐标为M x y x 0 则 22 12 12 33 C x yD x y 又 2 22 0 0 2 33 AB 由AC BD有0AC BD i 即 1 1 0 x yx y i x2 y2 1 x 0 4 分 设P x y 则 0 1 Mx y 代入M的轨迹方程有 222 0 1 1 0 xyx 即 2 2 1 0 1 2 1 0 x yx P的轨迹为椭圆 除去长轴的两个端点 要P到A B的距离之和为定值 则以A B为焦点 故 12 2 1 2 2 3 1 0 0 2 从 而 所 求P的 轨 迹 方 程 为 9x2 y2 1 x 0 9 分 易知l的斜率存在 设方程为 1 2 ykx 联立 9x2 y2 1 有 22 3 9 0 4 kxkx 设P x1 y1 Q x2 y2 则 1212 22 3 94 9 k xxx x kk 2 2 211212 22 427 4 9 k xxxxx x k 令 2 9tk 则 21 2 49t xx t 且9 t 2 21 2 111111124 949 224499 OPQ Sxx ttt 11 9 0 9 t t 0 3 2 0 3 84 2 22 a aa 33 66 aa a 或 a 6 3 3 6 若 A B 分别在双曲线的两支上 则有 0 3 2 0 3 84 2 22 a aa a 3 3 2 若以 AB 为直径的圆过点 O 则 OA OB 设 A x1 y1 B x2 y2 由于x1 x2 2 3 2 a a x1x2 3 2 2 a a y1y2 ax1 1 ax2 1 a x1 x2 a2x1x2 1 a2 3 2 2 a a 2 3 2 a a 1 1 OA OB x1x2 y1y2 0 3 2 2 a 1 a 1 此时 0 符合要求 37 已知圆C x 1 2 y2 r2 r 1 设M为圆C与x轴负半轴的交点 过M作圆C的弦MN 并使它的中点P恰好落在y轴上 1 当r 2 时 求满足条件的P点的坐标 2 当r 1 时 求点N的轨迹G的方程 3 过点P 0 2 的直线l与 2 中轨迹G相交于两个不同的点E F 若CE CF 0 求直线l的斜率的取值范围 解 1 由已知得 r 2 时 可求得M点的坐标为M 1 0 设P 0 b 则由kCP kMP 1 或用勾股定理 得 b 2 1 b 1 即点 P坐标为 0 1 2 设N坐标为 x y 由已知得 在圆方程中令y 0 求得M点的坐标为 1 r 0 设P 0 b 则由kCP kMP 1 或用勾股定理 得 r b 2 1 点P为线段MN的中点 x r 1 b 2 y 2b 又 r 1 点N的轨迹方程为y 2 4x x 0 3 由题意知直线l的斜率存在且不等于 0 设直线l的方程为y kx 2 E x1 y1 F x2 y2 x1 0 x2 0 由 xy kxy 4 2 2 得k 2x2 4k 4 x 4 0 由 32k 16 0 得 k0 x1x2 2 4 k 0 得k0 x1 1 x2 1 y1y2 0 k 2 1 x1x2 2k 1 x1 x2 5 0 得k 2 12k 0 k 0 或 k 12 0 k 2 1 或k mm 解得 13 132 13 132 m 法法 2 2 2 2 同解法 1 得出mn 4 13 mmx 4 13 13 4 0 mmmmxy3 4 13 4 1 4 13 4 1 00 即M点坐标为 3 mm A B为椭圆上的两点 M点在椭圆的内部 1 3 3 4 22 mm 解得 13 132 13 132 建立参数方程 2 利用弦AB的中点 00 yxM在椭圆内部 满足1 2 0 2 0 0 将 b 2p 1 代入得 4p2 8p 2p 1 0 3p2 2p 0 解得 0 p0 则PA 3 a AQ b a 又PA AQ 0 a2 3b 又 QM x b y AQ b a QM 2AQ ay bx 2 3 由 得y2 4x x 0 即M的轨迹的方程为y2 4x x 0 2 设OB x1 y1 OC x2 y2 DB x1 1 y1 DC x2 1 y2 DB DC DB DC cos BDC BDC为钝角 cos BDC 0 DCDB DCDB DB DC 0 x1x2 x1 x2 1 y1y2 0 由 1 4 xky xy 消去y 得k2x2 2k2 4 x k2 0 k 0 则x1 x2 2 2 24 k k x1x2 1 y1y2 k2 x1 1 x2 1 k2 x1x2 x1 x2 1 代入 得k2 2 1 2 2 k0 2 2 k0 y2 则y1y2 4 因为 2 2 21 2 1 4 4xyxy 所以x1x2 1 16 1 2 2 2 1 yy 故 OBOAx1x2 y1y2 3 2 因为FBAF 所以 1 x1 y1 x2 1 y2 即 1 21 21 yy xx 又 4 1 2 1 xy 2 2 2 4xy O A B M x y 由 消去y1 y2后 得x1 2x2 将其代入 注意到 0 解得x2 1 从而可得y2 2 y1 2 故三角形OAB的面积S 2 1 OF y1 y2 1 因为 1 2 恒成立 所以只要解 1 5即可 解得 2 53 2 53 43 已知动圆过定点 P 1 0 且与定直线1 xl相切 点 C 在l上 1 求动圆圆心的轨迹 M 的方程 2 设过点 P 且斜率为 3的直线与曲线 M 相交于 A B 两点 i 问 ABC 能否为正 三角形 若能 求点 C 的坐标 若不能 说明理由 ii 当 ABC 为钝角三角形时 求这种点 C 的纵坐标的取值范围 讲解讲解本例主要考查直线 圆与抛物线的基本概念及位置关系 是解析几何中的存在性问题 1 由曲线 M 是以点 P 为焦点 直线l为准线的抛物线 知曲线 M 的方程为xy4 2 2 i 由题意得 直线 AB 的方程为 4 1 3 1 3 2 xy xy xy由 消y得 3 3 1 03103 21 2 xxxx解出 于是 A 点和 B 点的坐标分别为 A 3 32 3 1 B 3 32 3 16 2 21 xxAB 假设存在点 C 1 y 使 ABC 为正三角形 则 BC AB 且 AC AB 即有 222 222 3 16 3 2 1 3 1 3 16 32 13 y y 由 得 3 32 3 4 32 4 2222 yy 9 314 y解得 因为 9 314 y 不符合 所以由 组成的方程组无解 故知直线l上不存在点 C 使得 ABC 是正三角形 ii 设 C 1 y 使 ABC 成钝角三角形 由 32 1 1 3 y x xy 得 即当点 C 的坐标是 1 32 时 三点 A B C 共线 故32 y 2222 3 34 9 28 3 32 3 1 1 y y yAC 2222 3428 32 13 yyyBC 9 256 3 16 22 AB 32 3 32 3 32 xy4 2 AOB C i 当 222 ABACBC 即 9 256 3 34 9 28 3428 22 yyyy 即CABy 3 9 2 时为钝角 ii 当 222 ABBCAC 即 9 256 3428 3 34 9 28 22 yyyy 即 CBAy 即 22 3428 3 34 9 28 9 256 yyy y 即 0 3 2 0 3 4 3 3 4 22 12 6 12 8 06 12 4 8 2 21 2 21 2 k xx k k xx kk i L 与 y 轴重合时 3 1 DN DM ii L 与 y 轴不重合时 由 得 2 3 2 k 又 2 1 x x xx xx DN DM ND MD 0 12 xx 0 1 2 1 2 1 2 2 1 21 2 21 x x x x xx xx 1 2 3 32 12 6 64 2 2 2 21 2 2 k k k xx xx 而 2 3 2 k 8 1 2 36 2 k 3 16 1 2 3 32 4 2 k 3 16 2 1 4 3 101 2 1 3 1 3 101 2 1 10 得 1122 1 1 0 xyxy 即 12 12 1xx yy 8 分 因为 22 11 1 43 xy 所以 2 22 1 1 43 xy 9 分 又因为 22 22 1 43 xy 所以 22 2 22 43 xy 10 分 由 得 2 2 2 2 1 1 1 4 x 化简得 2 35 2 x 12 分 因为 2 22x 所以 35 22 2 解得 1 3 3 所以 的取值范围为 1 3 3 1 分 六 定值 定点 定直线六 定值 定点 定直线 46 过 y 2 x 上一点 A 4 2 作倾斜角互补的两条直线 AB AC 交抛物线于 B C 两点 求证 直线 BC 的斜率是定值 分析分析 1 点 A 为定点 点 B C 为动点 因直线 AB AC 的倾斜角互补 所以 kAB与 kAC相反 故可用 k 参数 法 设 AB 的斜率为 k 写出直线 AB 的方程 将 AB 的方程与抛物线方程联立 因 A 为 已知交点 则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点 B 坐标 同理可得点 C 坐标 再求 BC 斜率 2 因点 B C 在抛物线上移动 也可用 点参数 法 设 B x1 y1 C x2 y2 因 x1 y1 2 x 2 y2 2 即可设 B y 1 2 y 1 C y2 2 y 2 再考虑 k