反馈线性化的初等理论.doc

非线性系统控制理论第三章 反馈线性化的初等理论3.1 局部坐标变换我们将按照循序渐进的方式来研究有关于非线性系统的反馈控制规律的一系列问题。首先我们在本章讨论单输入单输出系统，然后在后面的章节中将其大多数结果推广到多输入多输出系统。1相对阶（或相对度）定义单输入单输出系统若写成下列形式(称仿射非线性系统) （11a） （11b）则系统在点上，说他具有相对阶r，若下面两个条件成立 (对所有的邻域上的x及所有kr-1) 注意在某些情况下相对阶不能被确定，事实上，当，函数序列的首函数不是一致为零（在的邻域上），而在x=点上又精确为零时就出现这种情况。 然而很清楚地，相对阶能够被确定的点的集合是系统（11）被定义的集合U的一个稠密的开子集。2举例考虑状态空间的范德波尔振荡方程：则：我们可以看到在为任意值时，其邻域上均有：可得出 r-1=1 ，则即 r=2 因此系统在任何点上均有相对阶为2,然而若输出函数为 ,那么。则当，则，则系统的相对阶为1，否则若，则，则系统的相对阶不能被确定。3关于相对阶的几点讨论：（1）对于线性系统，相对阶是其传递函数的分母阶次与分子阶次的差值。 对线性系统 ， 则： 则确定相对阶的条件变成： 对所有 k1 则,所以，于是： 若相对阶r2，则在t接近于的邻域上，而。 若相对阶为r，则如此继续进行微分，可得 因为 ，所以 这就说明当系统的相对阶为 r 时，可以用的 r 阶导数显式表示。（3）r 是最大线性无关的下列行向量的数目：即：若r是系统的相对阶，则行向量组 是线性无关的。由此可见相对阶一定n，因为（用反证法）若 rn， 则上述行向量组一定是线性相关的，所以 r 不可能大于 n 。为了证明这一点需要进行一些数学推导，我们将这一推导分几个步骤，并且在本讲义中仅列出其要点： 第一步 先来证明一个今后有用的定理：定理：令是实值函数，f和g是向量场(均定义在的开集上), 则对于任选的s,k,r0,下列式子成立: 其中表示向量的内积,表示从r个不同的元素中取i个的组合数。该定理的证明是容易的，只要对r进行归纳法即可,并且注意到下列事实: 第二步 作为上述定理的直接推论,可得出下列两组条件是等价的: 对于所有 对于所有第三步 根据相对阶的定义，再应用上述定理，可以得出对所有 i，j 只要 则： 对所有的邻域上的x；以及 （只要i+j=r-1）因此下列矩阵：的秩是 r，所以行向量组是线性无关的。4局部坐标变换及正则形（可以看作是相对阶的一种应用） 为了使系统的数学描述简化或便于应用，有时需要将原来用作为状态变量的系统方程通过坐标变换变成用作为新的状态变量的系统方程。 若系统在处有相对阶r，则 （i）若r=n，则我们可以选择： ，其中因为r=n，所以根据相对阶的定义： 而 又因 令 所以方程变换成：写成矩阵形式： (ii）若rn，则选择： 这后面的 n-r 个函数在满足在处有一个非奇异的雅可比矩阵的条件下（这样才有资格在的邻域上成为局部坐标变换的变换矩阵）可以自由选择，但根据 定理总有可能选择使得：，x在的邻域上（证明见后面定理14）这样一来，新的状态方程就可写成： 写成矩阵形式： 这种形式的系统方程称为正则形，可用方块图表示： 定理1.4: 假设系统在处有相对阶r，且r是严格小于n的，则取： 且总有可能找到另外n-r个函数使得映射在处有非奇异的雅可比矩阵，因而在的邻域上有资格作为一个局部坐标变换阵，且这些附加函数在处的值能够被任意确定。更进一步，总有可能选择使得对所有及所有邻域上的x。证明 根据相对阶的定义，向量是非零的，所以分布在处是非奇异的1维分布，所以也是对合的。所以由定理，我们可以推论出存在n-1个实值函数，它们定义在的邻域上且使得： （15）容易推知在处 （16）这可以用反证法来证明，因为假若这是错的，则：也就是说向量零化在上的所有协向量。但这是矛盾的，因为由定义是非零的。因为 的维数是r，而且（15）、（16）成立，所以从集合中总可以找出n-r个函数（不失一般性，令其为）使得在处是线性无关的，根据函数的构造可知：对所有邻域上的x及所有因此本定理得到证明，注意任何形为的函数，其中为常数，满足同样的条件，因此这些函数在处的值是能够任意选取的。例:考虑系统首先看一下它的相对阶，因：所以相对阶r=2。为了变换成正则形，则现在需要找第三个函数，考虑一般来说这涉及到要解偏微分方程，通常有一定的难度，但在本例中容易看出，若取：则能够满足上述条件。因为这时：所以 变换的雅可比矩阵 在所有的x处都是非奇异的，因而其逆变换可得：且注意，在新坐标上系统方程为： 由于该方程在任何处都成立，因而是一个全局坐标变换。该系统方程也是全局有效的。变换后方程是正则形的，因为只有第2个方程中含有u，第3个方程中是不含u的。5关于局部坐标变换的讨论（i）正则形的另一种表示： 前面已经提到，正则形只有第r个方程中含有u，其余方程中均不含u，我们将系统方程重新列写如下：由此可见前面r-1个方程是线性的。第r个方程含有u，后面n-r个方程不含u，通常是 Z的非线性函数。如果我们把状态变量Z分成两组：，再以 ， 则方程变成：由此可见这组状态变量在输出中没有直接反映出来。在以后的讨论中我们将常常采用这种形式。（ii）非正则形的局部坐标变换前面已经指出，有时候构造n-r个函数使并不是一件容易的事，因为它涉及到要解n-r个偏微分方程组。而要找n-r个函数仅仅只要满足的雅可比矩阵在处是非奇异的，要比较容易些，但此时就有资格来作坐标变换，不过后面的 n-r 个方程中可能含有u，也就是说可取这样的坐标变换，方程列写成：这前r个方程与正则形是相同的。但后n-r个方程只能一般化的写成：其中可能含有u。例13 考虑系统： 对这个系统，有：注意只要 则 ，这说明只要 就有相对阶2。 为了局部坐标能变换成正则形，首先 再就是要找和 使，就要解偏微分方程。如果我们放弃这一点，则可以选： ，则雅可比矩阵 对于任何的x都是非奇异的，因而可以用进行坐标变换，则有：注意也有，则此时新坐标下的系统方程为：这些方程是全局有效的，因为的雅可比矩阵对任意x都是非奇异的，但是它不是正则形的。因为表现在第3个方程中含有u。若要求 ，采用试探法，取 能满足上述条件，就可以找到新坐标下的正则形表示。但是此时坐标变换是局部有效的（不能包括 的点）因为此时的，其雅可比矩阵在处是奇异的。3.2 状态反馈精确线性化 我们的主要目的之一是要分析和设计非线性系统的反馈控制规律。如果我们假定系统的状态x都是可以直接测量的，但系统的输入取决于这些状态及外加的参考输入；如果系统的控制只取决于同一时刻的状态及外加的参考输入，则这样的控制叫作静态的（或者无记忆的）状态反馈控制模式。否则若控制还取决于一组附加的状态变量，也就是说控制本身是一个特定的动态系统的输出，这个动态系统由状态x及外加的参考输入所驱动，并且有它自己的内部状态。这样的控制叫做动态的状态反馈控制模式。 对于一个单输入单输出系统，最常用的静态的状态反馈控制构造是 其中v是外加的参考输入。 若原系统是 将两者组合起来就得到一个闭路控制，它由下列类似的结构来描述 是定义在开集上的函数，它们描述了控制u，显然对于在该集上的所有x应当是非零的。vuyx 现在的问题是如何设计反馈控制规律。1 .用反馈使非线性系统精确线性化 实际的意义是用反馈将原非线性系统改造成线性系统。 考虑某非线性系统在某点 处，具有相对度r=n，即相对度恰好等于系统状态空间的维数。这时通过坐标变换可将其变换成正则形，其变换阵直接为： 新坐标 其中，在的邻域上，函数a(z)是非零的，则可选下列状态反馈： 它确实存在，并且在的邻域上能很好的被确定。则最后一个式子成为： 系统方程变成： 它是一个线性能控形的状态方程。所以可得下述结论： 任何一个在某点处具有相对阶n的非线性系统，在点的一个邻域上都能够变化成一个线性的能控的系统。在此要强调两点：（1）坐标变换是局部地给定在的周围的。（2）状态反馈也是局部地给定在的周围的。2. 讨论及推论：（1）容易推知，为了得到线性形式的状态方程，两种变换是可以交换次序的。即可以先进行反馈，然后再作坐标变换，可以得到同样的结果。这时的反馈应表示成x的函数。即： 于是再作同样的坐标变换，即可推出这一结论。（2）如果是原非线性系统的一个平衡点，并且总可以通过输出的零点变换使此时的 。即有：和 因而 。因为事实上有：对 于是可以得到下列推论： 若是原系统的一个平衡点，且在处系统的相对阶是n，则存在一个反馈控制律和一种坐标变换，使原系统在原点0处变成一个线性能控的系统。（3）在如此得出的线性能控系统上，就可以采用新的状态反馈来设计系统了。例如采用极点配置法或某种优化准则来设计系统。换句话说，对于线性系统的所有设计方法现在都可以应用了。例如取 V=Kz 其中，状态反馈阵K可以由极点配置或优化准则来确定。 因而 于是 （4）需要指出的是通过非线性反馈来使系统线性化的方法与以前的小扰动线性化有着质的区别。后者是在额定工作点附近的一种线性近似；而前者是一种“改造”。而且得出的线性系统只要表达式是精确的，则得到的也就是一个精确的线性系统。而且它与原系统已完全不同了。因而更好的说法是通过反馈改造非线性系统为一个线性能控的系统。是以非线性（反馈）来治非线性（改造成为线性系统）。3.举例 例2.1 考虑系统 对于这个系统，有 所以系统的相对阶为3，即r=3=n（当），则在除以外的任何点的邻域上通过状态反馈可将系统变换成线性能控的形式，以x=0处为例，通过状态反馈，此时 坐标变换是 在新坐标下系统为 ，这是线性、能控的。4.状态空间精确线性化的充分必要条件 我们来考虑一个系统如下（暂时不考虑它的输出）在一个给定的点处，如果能够找到一个反馈（在的邻域U上）且在的U上又有一个坐标变换或 则 再由坐标变换 当 又时，系统就是线性能控的。 这个问题就是单输入系统的所谓状态空间精确线性化问题。在上面的论述中可看到问题与输出没有直接的关系。但是相对阶的概念与输出直接有关。 我们将状态空间精确线性化问题归结为下列定理。定理：状态空间精确线性化问题是能解的充分必要条件是存在的一个邻域U，及一个定义在U上的实值函数使得系统 在处有相对阶n。证明： 因为充分性已经从前述的反馈线性化问题中得到论证，因此现在只需要证明它的必要性。 在证明必要性之前先来说明相对阶的一个有趣的性质，即在坐标变换下或进行状态反馈后，相对阶是不变的。 若是一个坐标变换， 原系统： 新系统： 其中 则 因 故上式 同样的运算可得出 因而原系统的相对阶与坐标变换后系统的相对阶是一样的。 再来考虑反馈控制，若反馈取为 则 此式中 ： 若原系统相对阶为r，则 因此 此式可以用递归的方法来证明，只要说明当k=0时此式成立，然后证明k+1也成立。 再来看 所以只要，因原系统， 则： 所以在状态反馈下相对阶是不变的。 证明了相对阶的这个特性之后，定理的必要性证明就比较容易了。所谓必要条件就是说如果结论成立那么就可以推出条件也成立。也就是说如果一个系统通过坐标变换和状态反馈能够变成线性能控系统，那么一定有一个函数使原系统的相对阶r=n。故必要性的证明如下： 如果系统能够变化成线性能控的系统，那么由线性系统理论可知，通过坐标变换总可以变成下列标准型：即此时 现在我们再来定义输出函数由此我们可以来计算这个线性系统的相对阶。由计算的结果就可以得出其相对阶r=n。由于坐标变换和反馈下相对阶的不变性，因而原系统相应的相对阶一定也是 r=n。这就完成了定理的证明。5. 状态空间精确线性化问题的进一步研究现在来考虑一个问题：如果系统的相对阶 时，则按照上述的充分必要条件，该系统就不能进行状态空间精确线性化。但是我们已经指出相对阶的概念直接与输出函数有关。如果我们能重新找出一个函数，在这新的输出函数下，系统的相对阶满足r=n，这样的系统它的状态空间精确线性化问题是可解的。但是当回到原来的输出时，输出函数可能是非线性函数，这样做的好处是系统的动态部分是精确线性化的，仅是输出函数（静态或代数方程）是非线性的。即使这样，对系统的设计也是很有利的。更何况有时系统没有明确给出输出时，输出函数作为观测值可人为的选取。 这样问题变成：能否找到一个函数，且令系统输出，使得系统在处的相对阶 r 恰恰等于 n 。也就是说，若系统： 取 使，对所有附近的x（2.9） （2 .10） 这个问题显然是解的一组偏微分方程的问题，而且未知函数被微分到（n-1）次，且用一个约束条件去掉了象这种平凡解。这样一个高阶偏微分方程是不容易解的，但我们在前面曾经证明过一个定理，这一组高阶偏微分方程事实上等价与一组一阶偏微分方程。这就使问题得到了一点简化。根据上述定理，问题变成解： （2.11）及 （2.12）那么这样一个问题的解是否存在？回答这个问题可看作是Frobenius定理的一个简单的推论。定理2.5：当且仅当下列条件满足时：(i) 矩阵的秩为n。(ii)分布在的邻域 U 中是对合的。则定义在的领域 U 中满足偏微分方程（2.11）和非平凡条件（2.12）的实值函数是存在的。证明：首先，假设满足（2.11）和（2.12）的解函数存在，则从定理1.2，特别是从（1.4）矩阵的非奇异性就可导出 n 个向量： 是线性无关的。这就证明了条件（i）是必要的。若（i）成立，那么定义在邻域上的分布D是非奇异的且是（n-1）维的。方程（2.11）可重写成：这就说明微分是附近的1维协分布的基。所以由Frobenius定理分布D是对合的。这就证明了条件（ii）的必要性。反之，若假设（i）成立，那么分布在附近是非奇异的。且若（ii）也成立，则由Frobenius定理，我们可以得知存在一个实值函数，它定义在的邻域上，且它使张成。也就是说，解得微分方程（2.11）。更进一步也满足（2.12），因为否则就会被一组n个线性无关的向量所零化。这是矛盾的。综述以上的讨论，我们可以归结出关于状态空间的线性化问题的一个正式的论述。即定理2.6。定理2.6：假设给定一个系统： 在某点附近状态空间线性化问题是可解的（即存在一个“输出”函数，它使系统在处有相对阶n），当且仅当下列条件满足：（i） 矩阵的秩为n。(ii) 分布在附近是对合的。 因此只要解得，就可以按以前讨论的步骤完成状态空间线性化的变换。例2.2：考虑系统： 首先我们必须计算和。 当取x=0时，则矩阵它的秩是3，所以条件（i）满足。再校核条件（ii），因为有下列形式：因此矩