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2013 考研模考测试卷 数学三答案 2013 考研模考测试卷 数学三答案 答题注意事项答题注意事项 1 考试要求考试要求 考试时间 考试时间 180 分钟分钟 满分 满分 150 分分 2 基本信息基本信息 学员姓名学员姓名 分数分数 1 一 选择题 一 选择题 1 8 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求只有一个选项符合题目要求 请将 所选项前的字母填在答题纸 请将 所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 指定位置上 1 0 sin 0 cos xx xx xf设 0 0 0 1 sin x x x x xg则在区间 1 1 内 A xf与 xg都存在原函数 B xf与 xg都不存在原函数 C xf存在原函数 xg不存在原函数 D xf不存在原函数 xg存在原函数 答案答案 应选 D 解析解析 因为 xg在区间 1 1 内连续 所以在 1 1 内存在原函数 不选 B 与 C 将 xf在区间 0 1 与 1 0 上分别积分 得 0 cos 0 sin 2 1 xCx xCx dxxf 要使得在0 x处连续 需 1 12 CC 令 0 1cos 0 sin 1 1 xCx xCx xF 容易验算 知 1 0 0 0 FF无论 1 C取何值 xF在0 x处不可导 故 xf在包含0 x在内的区 间上不存在原函数 不选 A 故选 D 2 设 f x可导 且 0fx 并设 00 2 d d xx F xuf uuxf uu 则 A 0 F是 F x的极大值 B 0 F是 F x的极小值 C 曲线 yF x 在点 0 0 的左侧是凸的 右侧是凹的 D 曲线 yF x 在点 0 0 的左侧是凹的 右侧是凸的 答案答案 C 解析解析 00 2 d d xx F xxf xxf xf uuxf xf uu Fxxfx 0 0 F 0 0 F 0 x 时 0Fx 时 0Fx 故曲线 yF x 在点 0 0 的左侧是凸的 右侧是凹的 故选 C 3 设方程 32 690 xxxk 在 上恰有两个实根 则常数k A 4 B 4 C 2 D 2 答案 答案 B 解析 解析 令 32 69f xxxxk 则 2 3129 3 1 3 fxxxxx 显然 f x在 1 单调递增 在 1 3 单调递减 在 3 单调递增 若4k 则 1 0 3 40ff 2 此时方程 32 690 xxxk 在 上恰有两个实根 故选 B 4 设 yxf为连续函数 变换二次积分dyyxfdxI x sin 0 2 0 的次序为先x后y 正确是 A dxyxfdydxyxfdyI y y y y arcsin2 arcsin 0 1 arcsin arcsin 1 0 B dxyxfdydxyxfdyI y y y y arcsin2 arcsin 0 1 arcsin arcsin 1 0 C dxyxfdydxyxfdyI y y y y arcsin2 arcsin 0 1 arcsin arcsin 1 0 D dxyxfdydxyxfdyI y y y y arcsin2 arcsin 0 1 arcsin arcsin 1 0 答案答案 应选 A 解析解析 dyyxfdxdyyxfdxI xx sin 0 2sin 00 在 2 x处 xsin0 应将第 2 个积分化 成从xsin到 0 积分 然后再交换次序 dyyxfdxdyyxfdxI xx sin 0 2sin 00 arcsin2 arcsin 0 1 arcsin arcsin 1 0 dxyxfdydxyxfdy y y y y 所以选 A 0 y x 5 下列叙述正确的是 A 若两个向量组的秩相等 则此两个向量组等价 B 若齐次线性方程组0Ax 与0Bx 同解 则矩阵A与B的行向量组等价 C 若向量组 12 s 可由向量组 12 t 线性表示 则必有st 可排除 C 选项 又如 1 1 1 2 0 1 3 1 0 4 2 2 则 1234 与 234 均线 性相关 且 1 可由 234 线性表示 可排除 D 选项 只有 B 选项为正确答案 3 事实上 易证方程组0Ax 与0 A x B 同解 则 A r Ar B 因此B的行向量组可由A的行向 量组线性表示 同理可证A的行向量组可由B的行向量组线性表示 因此A与B的行向量组等价 6 已知 210200 120 021 001010 AB 则A与B A 等价 不相似 合同 B 不等价 不相似 不合同 C 等价 相似 不合同 D 等价 相似 合同 答案答案 A 解析解析 由于 3 3r Ar B 所以A与B等价 A与B均为实对称矩阵 若特征值相同 则A与B相似 否则A与B不相似 由于 210 21 1201131 12 001 200 21 02122 12 12 1 01 EA EB 所以A的特征值为1 3 1 A B的特征值为2 12 12 B 因此A与B不相似 由于A与B的正负惯性指数是相同的 正惯性指数为 2 负惯性指数为 1 所以A与B合同 综合得 选择 A 7 设连续函数 F x是分布函数 且 0 0F 则也可以作为新分布函数的是 A 1 1 1 1 0 1 Fx G xx x B 2 1 1 1 0 1 Fx G xx x C 3 1 1 0 1 F xFx G xx x D 4 1 1 0 1 F xFx G xx x 答案 答案 C 解析 解析 应用分布函数充要条件判断 由于 i G x是分段函数形式 1x 是分界点 于是立即想到要判断 1 lim 1 0 ii x G xG 是否成立 因为 1 0 FF 0 0F 所以 1 0F 经计算得 1 1 lim 1 1 0 x G xF 2 1 lim 1 1 1 x G xF 3 1 lim 1 1 0 x G xFF 4 1 lim 1 1 0 x G xFF 利用排除法 可得正确选项为 C 8 设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为 的指数分布 则下列随机变量中服从参数为2 的指数 4 分布是 A XY B XY C max X Y D min X Y 答案 答案 D 解析 解析 利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断 0 1 0 0 0 0 0 xx exex XEf xF x xx 2 11 E XD X 因为 2 0 E XYE XY 111 max 222 XYXYXY EX YEE 即 可判断选项 A B C 不成立 二 填空题二 填空题 9 14 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定位置上 指定位置上 9 设四次曲线 432 yaxbxcxdxf 经过点 0 0 并且点 3 2 是它的一个拐点 过该曲线上点 0 0 与点 3 2 的切线交于点 2 4 则该四次曲线的方程为y 答案答案 432 4284 2 27273 xxxx 解析解析 曲线 432 yaxbxcxdxf 经过点 0 0 所以0 f 1 又因为经过点 3 2 所以 3 8127932 x yabcdf 2 又因为点 3 2 是拐点 所以 2 33 1262 1081820 xx yaxbxcabc 3 又因为经过点 0 0 的切线斜率为 4 2 2 所以 32 00 432 2 xx yaxbxcxdd 4 经过点 3 2 的切线斜率为 42 2 23 所以 32 33 432 1082762 xx yaxbxcxdabcd 5 联立 1 5 解得0f 2d 4 3 c 28 27 b 4 27 a 即求得 432 4284 2 27273 yxxxx 10 设 u x y有一阶连续偏导数 且 xx u x u x ee y 则 u x 答案答案 x yxe 解析解析 由 u x y 得 u x yxyc x 5 xxx u x exec xe 1 x c xx e 1 x u x yxyx e x u yxe x 11 某商品需求量Q对价格 020 pp 又因为 0 1 00 limlim sincos x xx f t dt f x xxxx 所以 1 6 分 所以 000 2 lim lim lim 0 1 1 cos 2 xxx f xf xfx f xx x 9 分 16 本题满分 10 分 过原点做曲线 1 2 x ye 的切线 该切线与曲线 1 2 x ye 及y轴围成平面域为D I 求D的面积A II 求D绕y轴旋转一周所得到旋转体体积V 解析 解析 设过原点的切线为 ykx 则 1 2 1 2 1 2 x x kxe ke 由此得2 2 e xk 3 分 所以切线方程为 2 e yx 则D的面积 1 2 2 0 2 2 x e Aex dxe 6 分 1 2 2 0 2 8 1 23 x ee Vx ex dx 10 分 17 本题满分 10 分 7 计算 2 2 12 22 011 x x x dxxy dy 解析 解析 积分区域 2222 1 1 1 1 Dx y xyxy 2 2 122sin2cos 2222 42 011000 4 x x x dxxy dydr drdr dr 3 分 33 42 0 4 88 sincos 33 dd 5 分 22 42 0 4 88 1 cos cos 1 sin sin 33 dd 42 33 0 4 8181 coscos sinsin 3333 8 分 4 85 2 9 10 分 18 本题满分 11 分 已知 42 42 0 0 0dzx dxy dy z 求 zz xy 在区域 22 18Dxy 上的最大值与 最小值 解析解析 由 42 42 0 0 0dzx dxy dy z 知 2 42 4 z x zxxy x 又 2 42 4 z yyyyyC y 所以 22 44zxxyyC 又由 0 0 0 0zC 所以 22 44 zxxyy 4 分 420 420 x y zx zy 得驻点 2 2 6 分 设 22 4418 18 F x yxyxy 由 8 22 420 420 180 x y F xx Fy Fxy 得驻点 3 3 3 3 8 分 而 2 2 8 3 3 6 3 3 42fff 则 zz x y 在区域 22 18D xy 上的最大值为 8 最小值为42 10 分 19 本题满分 10 分 求幂级数 2 1 1 2 1 3 n n n n x n 的收敛域及和函数 解析解析 由 222 1 1 21 22 limlim11 1 33 nn nn n nn nn n uxxx uxnn 2 2 1 3 x 得 2 23x 即23x 3R 当2323x 其他 设随机变量 1 1 1 2 1 X Z X 11 2 3 2 4 2 Y Z Y I 证明X和Y是相互独立的 II 求 12 Z Z的概率分布 解析 解析 I 设X和Y的边缘概率密度函数分别是 XY fxfy 则 0 0 0 x X ex fx x 0 0 0 y Y ey fy y 2 分 由于 XY f x yfx fy 所以X和Y是相互独立的 4 分 II 又由于 1 Z的取值为1 2 2 Z的取值为3 4 因此 12 Z Z的所有可能取值为 1 3 1 4 2 3 2 4 12 1 3 1 2 1 2 P ZZP XYP XP Y 12123 1 1 1eeeee 6 分 12 1 4 1 2 1 2 P ZZP XYP XP Y 1223 1 eeee 7分 12 2 3 1 2 1 2 P ZZP XYP XP Y 1213 1 eeee 8 分 12 2 4 1 2 1 2 P ZZP XYP XP Y 123 eee 9 分 12 Z Z的概率分布为 2 Z 1 Z 3 4 1 123 1 eee 23 ee 2 13 ee 3 e 11 分 23 本题满分 11 分 设随机变量 1 0 2 XN 在 Xx xR 的条件下 Y的条件概率密度为 12 2 y x Y X fy xAeyR I 求常数A II 求Y的概