第23组-常微分方程在冰雪消融问题中的应用.docx

常微分方程课程设计题目： 常微分方程在冰雪消融问题中的应用院 （系）： 理学院 专 业： 信息133班 组 长： 信息133 张 兴 组 员： 信息133 张 凯 信息131 刘 帅 信息132 张 泽 信息132 董 涛 指导教师： 岳宗敏 2015 年 06 月 1日完成常微分方程在冰雪消融模型中的应用 摘要由于全球气候持续变暖，北极的海冰正在逐渐消融，而南极也已出现冰架崩塌的现象。有关气象专家接受记者采访时说，南极和北极虽然看似遥远，但人类活动已经在影响地球两极的气候变化，而极地气候和大气环境变化也在影响着地球的天气气候。最新研究表明，北极海冰的范围正以每十年减少百分之三左右的速度缩小，北极海冰的厚度正以每十年减少百分之三至百分之五的速度变薄。在过去一百年间，全球的气温上升了零点六摄氏度。而在二十世纪，北极陆地的气温升高了五摄氏度。已经有研究证实，如果北极的海冰按照目前的速度融化，在八十至一百年后，北极的海冰将全部消失。而这必然导致全球温度上升，干旱、洪涝等极端灾害性天气事件频发。所以，冰雪消融的问题在近几年一直备受人们的关注,本文主要解决了关于冰雪消融问题在常微分方程应用中简单的几个案例。案例一：l 问题的引入假定一个雪球是半径为r的球,其融化时体积的变化率与雪球的表面积成正比,比例常数为 k 0 ( k 与环境的相对湿度，阳光，空气温度等因素有关), 已知两小时内融化了其体积的四分之一,问其余部分在多长时内融化完？ 涉及的知识点有：函数的相关变化率原函数与不定积分的概念分离变量法求解一阶微分方程 题目分析题目给我们的主要信息有：1) 雪球是半径为r的球2) 融化时体积的变化率与雪球的表面积成正比3) 两小时内融化了其体积的四分之一 题目要解决的问题已知两小时内融化了其体积的四分之一,问其余部分在多长时内融化完？ 解题思路利用函数的相关变化率，建立微分方程模型，得到一个一阶方程，通过原函数的概念或分离变量法求解，再根据已知条件确定比例常数，进而解决题目所求的问题。 问题解答第一步：根据雪球体积的变化率正比于其表面可可列出关系式：dVdt=-k4r2（因为体积是单调减函数，所以dVdt0，故在等号右端加负号）第二步：因为 V=43r2 将其代入上式可得：4r2drdt=-4kr2即： drdt=-k解得r=-kt+C 令 r |t=0=r0可得到雪球半径随时间变化的规律 r=r0-kt （1）因此t=2小时时，雪球半径 r=r0-2k.第三步：根据题设：两小时内雪球体积减少了四分之一，可列出下式：43r0-2k3=3443r03解得 k=121-334r0 （2）第四步：因为雪球全部融化，在r=r0-kt中，故r=0 并利用（1）和（2）两式得雪球全部融化所需要的时间为： t=r0k=21-33422h由于雪球全部融化约需22小时，故余下部分约20小时才能融化完.案例二：l 问题的引入一个男孩做了两个雪球，其中，大雪球的直径为小雪球直径的二倍，他把这两个雪球放进一个温暖的房间。在房间里，这两个雪球开始融化，因为只有雪球的表面受到暖风的影响，所以假设雪球融化的量与雪球的表面积成比例。问当大球被融化一半时，小球还有多少没有融化？ 涉及的知识点有：函数导数，复合函数求导，函数的变化率及其实际意义 题目分析题目给我们的主要信息有：1) 两雪球在同一环境下开始融化2) 大雪球的直径为小雪球直径的二倍3) 雪球融化的量与雪球的表面积成比例 题目要解决的问题当大雪球被融化一半时，小球还有多少没有融化。 解题思路从题目雪球融化的量与雪球的表面积成比例即雪球体积减少的速率与表面积成比例这一信息，希望可以得到雪球体积或半径随时间的变化规律，进而解决题目所求的问题。 问题解答我们将证明，从体积的减少（速率）与表面积成比例这一假设出发，可以得出一个令人惊奇的结果，即雪球半径的减少与半径的长短无关，是一个恒定的值。结果，两个球的半径将减少同样的值。第一步：球体的体积与表面积公式分别为：V=4r33 和 S=4r2设t为时间参数，则雪球体积的减少速率为：dVdt=dVdrdrdt=433r2drdt=4r2drdt第二步：又因雪球融化的速率与表面积成比例，设比例常数为k则：4r2drdt=k4r2由此得出，正如所断定的那样：drdt=k即半径的减少（速率）与半径的长短无关，是恒定的。第三步：假设两个雪球最初的半径为2r和r，则大雪球的体积为：V=42r33=32r33当大雪球融化一半之后，该球的体积为：V=16r33=434r33这个公式表明，大雪球融化一半后，该球的半径变为34r,所以，这两个雪球的半径均减少了2-34r ，因此，小球剩下的半径为：r-2-34r=34-1r所以，小雪球剩下的体积为：V=43r334-13这大约是原来体积的15，（注：34-130.2027）案例三：l 问题的引入 一个冬天的早晨开始下雪，整天不停，且以恒定速率不断下降，一台融雪机从上午8点开始在公路上融化积雪，到九点前进了2千米，到十点前进了3千米，假定融雪机每小时融化积雪的体积为常数。问何时开始下雪？ 涉及的知识点有：1) 函数导数2) 原函数与不定积分的概念3) 分离变量法求解一阶微分方程4) 求解一元二次方程 题目分析题目给我们提供的主要信息有：1) 雪以恒定的速率下降2) 融雪机每小时融化积雪的体积为常数3) 融雪机从8点到9点前进了2千米，到10点前进了3千米。 题目要解决的问题根据题目信息，需要求出什么时候开始下的雪。 解题思路根据函数的相关变化率，建立微分方程模型，得到一个一阶微分方程，通过原函数的概念或分离变量法求解，再代入已知条件消去未知参数，进而解决题目所求的问题。 问题解答第一步：设ht为开始下雪起到t时刻时积雪深度，设xt为融雪机从下雪开始起到t时刻走过的距离，以T表示融雪机开始工作的时刻，则有dh(t)dt=Cdxdt=khxT=0xT+1=2xT+2=3第二步：根据以上分析，只要找出x与t的函数关系，就可以利用xT求出T，根据T即可知道开始下雪的时间。由dhdt=C得 h=Ct+C1因t=0时，h=0,故C1=0，从而h=Ct.代入dxdt=kh，得dxdt=AtA=kC由变量分离法得 x=Alnt+B（B为任意常数）第三步：将xT=0, xT+1=2, xT+2=3代入上式得0=AlnT+B2=AlnT+1+B3=AlnT+2+B从上面三式消去A,B 得T+2T+12=T+1T即T2+T-1=0解此一元二次方程，得T=5-12=0.618小时37分5秒因此，融雪机开始工作时离下雪的时间为37分5秒，由于融雪机是上午8点开始的，故下雪是从上午7点22