神奇的缺八数.doc

缺8数目录缺8数1什么是缺八数1清一色1三位一体2轮流休息2一以贯之2走马灯3回文结对 携手同行3追本穷源38进制和16进制下的缺八数4什么是缺八数自然数12345679被称为“缺8数”，它有许多奇妙的性质。 清一色缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如： 123456799111111111 1234567918222222222 1234567927333333333 1234567936444444444 清一色之美1234567945555555555 1234567954666666666 1234567963777777777 1234567972888888888 1234567981999999999 三位一体缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如： 1234567912148148148 1234567915185185185 1234567933407407407 1234567957703703703 1234567978962962962 轮流休息当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间10，17的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）： 1234567910123456790（缺8） 1234567911135802469（缺7） 1234567913160493827（缺5） 1234567914172839506（缺4） 1234567916197530864（缺2） 1234567917209876543（缺1） 乘数在19，26及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。 一以贯之当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如： 乘数为9的倍数 123456792432999999997 只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。 乘数为3的倍数，但不是9的倍数 12345679841037037036 只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。 乘数为3K1或3K2型 12345679981209876542 表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。 走马灯当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如： 1234567919234567901 1234567928345679012 1234567937456790123 深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如： 123456798098765432 1234567917209876543 1234567926320987654 1234567935432098765 回文结对 携手同行缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到： 12345679449382716 12345679561728395 前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义） 这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如： 1234567922271604938 1234567923283950617 前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以4） 追本穷源缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为： 1/810.012345679012345679012345679，缺8数和1/81的循环节有关。 在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？ 我们看到，1/811/91/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/90.111111111 1/91/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看： 很明显，11的平方121，111的平方12321，直到111111111的平方12345678987654321。 但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？ 缺8数隐藏在循环小数里利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。 那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为： 1/8191/90.111111111 缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为： 1/8131/270.037037037，一开始就出现了三位的循环节。 缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。 循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。 8进制和16进制下的缺八数也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况，但事实是，在8进制和16进制下也有类似的数字出现。 8进制下的缺8数为：123457 1234577=1111111 在8进制下，7的2倍不是14，而是16 12345716=2222222 12345725=3333333 等等 10进制中缺8数关于乘数3的性质是由关于乘数9的性质衍生而来的，在8进制中没有类似的性质。 16进制中缺8数为：123456789abcdf 123456789abcdff=1111