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数学奥林匹克高中训练题 85 第 一 试 一 选择题 每小题6分 共36分 1 设实数x y满足y x 0 且 tanx x tany y 则 sin x y x y sin x y x y 2x 2cos x xcosx sinx 2x sin 2x 的值为 A 0 B 2 C 1 D 1 2 2 设函数f x f x 0 的定义域为 0 对x R y R恒有f x y yf x 若a b c 1 且a b c成等差数 列 则f a f c 与 f b 2 的 关 系 为 A f a f c f b 2 D 无法确定 3 在网络游戏 变形 中 主人公每过一 关都以 2 3 的概率变形 即从 大象 变为 老 鼠 或从 老鼠 变为 大象 若将主人公过 n关而不变形的概率记为Pn 则 A P5 P4 B P8 P7 C P11P16 4 设Sn为数列 an 的前n项之和 若 不等式a 2 n S 2 n n 2 a2 1对任何等差数列 an 及任何正整数n恒成立 则 的最大值为 A 0 B 1 5 C 1 2 D 1 5 从正方体的12条棱和各面的12条面 对角线中选出n条 使得其中任意两条线段 所在的直线都是异面直线 则n的最大值为 A 3 B 4 C 5 D 6 6 设A B为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 和双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1的公共顶点 P M分别 是双曲线和椭圆上不同于A B的两动点 且 满足AP BP AM BM R且 1 设AP BP AM BM的斜率分别为k1 k2 k3 k4 则k1 k2 k3 k4的 值 为 A 0 B b 2a C 2b a D b 2 a 2 二 填空题 每小题9分 共54分 1 设P Q是曲线 y x 3 3x 2 3 3 x 3 4 上的任意两点 则直线PQ的倾斜角 的取值 范围是 2 设a x 2 xy y 2 b pxy c x y 若对任意的正数x和y 以a b c为 三边长的三角形存在 则实数p的取值范围是 3 设A 1 2 3 4 5 则满足条件f f x f x 的映射f A A的个数是 用数 字作答 4 已知两个半径为1的大球面外切 且都 与半径为1的圆柱面内切 另一小球面与这两 个大球面都外切 且与圆柱面内切 过小球球心 和一个大球球心的平面与圆柱面相交成一个椭 圆 则该椭圆的离心率的最大可能值为 5 设S 3 2 1 2 3 4 在S中任取 两数a b a b 则函数f x x 2 a b x ab的最小值的最大值为 342006年第2期 6 在等比数列 an 中 a1 1 8 前n项的 几何平均数是8 若从前n项中抽出一项后的 几何平均数是4 2 则抽出的是第项 三 20 分 设函数f x 满足 f 2 x x 2 2ax a 2 1 且f x 在 2 a 1 2 a2 2a 2 上的值域为 1 0 求a的取值范围 四 20 分 设a b c d R 在复数集内 关于x的方程x 2 ax b 0和x 2 cx d 0 的根的模均小于1 求证 方程 x 2 a c 2 x b d 2 0 的根的模小于1 五 20 分 设e为圆锥曲线 的离心率 F为一个焦点 l是焦点所在的对称轴 O是l 上距F较近的顶点 又M N是l上满足OF OM OF ON 1 e OM ON的两点 求证 对曲线 的过点M的任一条弦AB A B为弦 的端点 直线l平分NA和NB的一组夹角 第 二 试 一 50 分 如图1 两圆外切于点T PQ为 图1 O1的弦 直线 PT QT分别交 O2于点R S 分别过P Q作 O1的切线依 次交 O2于A B D C 直 线 RD SA分别交PQ于E F 求证 EAF 1 2 BAC 二 50 分 设正整数n n 3 正数 满足 n 1 n 2 又xi R i 1 2 n 且 n i 1 x i 1 求 n i 1 x i 1 x i 的最小值 三 50 分 如果一个正整数n在三进制下 的各位数字之和能被3整除 则称n为 恰当 数 求S 1 2 2 005 中全体恰当数之和 参 考 答 案 第 一 试 一 1 B 由已知得 sin x y x y sin x y tany tanx cosx cosy sin x y x y cosx cosy 2x2cosx xcosx sinx 2x sin 2x 2xsinx sinx sinx 2tanx 2sinx cosx 2xsinx secx cosx 2xcosx sinx 1 cos2x 2sin2x sin2x 2 故选 B 2 A 设a b r c b s 则r s为正数 又a c 2b a c 则 b ac br s b rs 于是 rs 1 故f a f c f br f bs rs f b 2 f b 2 3 C 由已知得 Pn 1 1 3 Pn 2 3 1 Pn 2 3 1 3 Pn 于是 Pn 2 Pn 1 1 3 Pn 1 Pn 再由P0 1 P1 1 3 可得 Pn 1 Pn 2 3 1 3 n 从而 Pn 中n为偶数的项都比它的邻项大 而n为奇数的项都比它的邻项小 4 B 设 an 的公差为d 则 a2n S2n n2 a1 n 1 d 2 1 n2 na1 n n 1 2 d 2 2a21 3 n 1 a1d 5 4 n 1 2 d2 1 5 a21 3 5 a1 5 2 n 1 d 2 1 5 a21 当6 a1 5d 为负整数时 使得 3 5 a1 5 2 n 1 d 0 的正整数n存在 故所求 max 1 5 44中 等 数 学 图2 5 B 如图2 取AB1 BC1 CD1 DA1 显 然 两 两 异 面 故n 4 又所求异面 直线与正方体表面的交 点两两不同 且最多有8 个 故n 4 6 A 不妨取A a 0 B a 0 设P x1 y1 M x2 y2 由已知等式可知O P M三点共线 故 k1 k2 y1 x1 a y1 x1 a 2x1y1 x21 a2 2x1y1 a2 a2 b2 y21 a2 2b2 a2 x1 y1 同理 k3 k4 2b2 a2 x2 y2 从而 k1 k2 k3 k4 0 二 1 0 2 2 3 求导数可知该曲线上任何点处切线的斜率k 3 则过其上不同两点的直线的斜率均大于 3 于是 直线PQ的倾斜角的范围是0 2 2 3 2 2 3 2 3 显然a c 于是 a b c能构成三角形 c a b c a 对任意正整数x y 恒有 x y y x x y 1 y x p x y y x x y 1 y x 由 x y y x 2 知 式 右边 x y y x x y y x 2 1 2 3 易知x y时 式 右边取最小值2 3 又式 左边的表达式恰为右边表达式的倒数 从而 其最大值为2 3 故2 3 p 2 3 3 196 可推广成A中有n个元素的情形 由条件知 若 a A 且a在f的值域中 则必有f a a 于是 可 按f的值域中的元素个数进行分类 使f的值域中 有k k N 个元素的f有Cknkn k个 故满足条件的 f的个数为 n k 1 C k nk n k 取 n 5即得结果 4 4 5 易算出小球半径为 1 4 设过小球球心和一个大 球球心的直线交圆柱于点C D 则过C D的截面 截圆柱所得的椭圆的短轴长为定值 圆柱的底面直 径为2 长轴长的最小值就是CD 易知CD 10 3 则 椭圆离心率e 1 b a 2 1 3 5 2 4 5 5 1 4 易知f x 的最小值为 a b 1 4 a b 2 由于a b S 且a b 故 a b 的最小值为 1 从而 a b 的最大值为 1 4 6 13 设公比为q 前n项积为M 抽出的是第k项 则M 8 n 且 M ak 4 2 n 1 故ak 2 n 5 即 1 8 qk 1 2 n 5 从而 qk 1 2 n 11 又M 8 n 即 1 8 n q n n 1 2 8 n 有 qn 1 2 24 比较 两式有k 1 n 1 n 11 24 由k n 解出n 13 且 k 1 n 1 2 12 n 1 24 所以 12能整除n 1 从而 n 1 与已知矛盾 或n 13 故k 13 三 记g x f 2 x 则 f x g log 2x log2x 2 2alog2x a2 1 故f x 在区间 2 a 1 2 a2 2a 2 上的值域为 1 0 等价于g x x2 2ax a2 1在区间 a 1 a2 2a 2 上的值域为 1 0 由于g a 1是g x 在R内的最小值 故 由条件知a a 1 a2 2a 2 且g x 在该区间 上的最大值应在端点处达到 又g x 在区间左端点 处的函数值g a 1 0恰为g x 在该区间上的最 大值 故a必在区间右半部分 即有 542006年第2期 a 1 a2 2a 2 2 a a2 2a 2 解得 3 5 2 a 1或2 a 3 5 2 注 由于g a 1 g a 1 0 故必有a a2 2a 2 a 1 由此亦可解出a的取值范围 四 引理 关于x的方程x2 ax b 0的根的 模均小于1 a 1 b b 0 1 a b 0 1 a 2 1 或 a2 4b 0 a 2rcos 0 r 1 b r2 a2 4b 0 a 1 b a 2 或 a2 4b 0 0 b 1 注意到方程组 表示 a b 平面上由 a b 1 0及b 1这三条直线围成的三角形区域 不含 边界 而方程组 和 分别表示这个区域在抛物线 a2 4b的下方和上方的部分 故两者等价 从而 引理结论成立 现证原题 由于 a b 平面上方程组 表示的区域是凸图 形 若 a b 和 c d 均在其内 则对任何 0 1 1 a c 1 b d 也在此区域内 取 1 2 知原题结论成立 五 以O为原点 OF为x轴正向建立直角坐标 系 设 OF s 则曲线 的方程为 x s 2 y2 e2x s e 2 又因为OF OM OF ON 1 e OM ON 已限定M N异于点O 且当 为椭圆或双曲线时 M N异于 的中心 否则 有OF 1 e OM或 OF 1 e ON 矛盾 故可设M x1 0 x1 0 知N sx1 1 e x1 s 0 又设直线lAB x x1 tcos y tsin t为参数 其中 的取值只须保证式 与 有公共点 将式 代入 并整理 可得 1 e2cos2 t2 1 e 1 e x1 s 2tcos 1 e x1 1 e x1 2s 0 当点A B存在时 设所对应的参数分别为t1 t2 则t1t2 0 且由韦达定理知 t1 t2 t1t2 2 1 e x1 s cos 1 e x1 2s x1 由式 可知 A x1 t1cos t1sin B x1 t2cos t2sin 为证直线l平分NA和NB的一组夹角 只须证 明直线NA和NB的斜率互为相反数 这等价于证明 t1sin x1 t1cos sx1 1 e x1 s t2sin x1 t2cos sx1 1 e x1 s cos 1 e x1 2s x1 1 e x1 s t1 cos 1 e x1 2s x1 1 e x1 s t2 1 t1 1 t2 1 e x1 2s x1 1 e x1 s 2cos 而此式恰等价于式 故结论成立 第 二 试 一 如图3 延长CA至点M 联结TA TF SR SD SC AD 64中 等 数 学 同理知E为 DAB的旁心 因此 EAF FAD EAD 1 2 ACD ADC 1 2 ABD ADB 1 2 ADC ADB 1 2 BDC 1 2 BAC 二 记yi x i 1 x i 由加权的算术 几何平均不等式有 y i x i 1 x i x i 1 x i 2 2 2 则yi 2 2 1 n 1 1 n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 故 n i 1 x i 1 x i n i 1 x i x i 1 x i n 1 1 n n n 1 n i 1 x i n n 1 n 1 n 上式等号成立的条件是 x i 1 x i 即 x i 2 1 n 亦即xi 1 n 1 从而 n i 1 x i 1 x i 的最小值为 n n 1 n 1 n 三 对m N 在三进制下不超过m 1位的非 负整数共有3 m 1个 设其中数字和模3余0 余1 余 2的数的个数分别为am bm cm 当m 1时 将数字 和模3余0的数按其首位是0 1 2分类 将不足 m 1位的非负整数前面添上一些0而变成m 1 位 以下仿此 易得 am am 1 bm 1 cm 1 同理 bm am 1 bm 1 cm 1 cm am 1 bm 1 cm 1 于是 am bm cm 3 m m 1 又显然a0 b0 c0 1 故对m N 恒有am bm cm 3 m 从而 在三进制下不超过m 1位的恰 当数共有3 m 1个 对m N 在三进制下不超过m 1位的3 m 1个非 负整数中 设数字和模3余0 余1 余2的数的和分别为 Am Bm Cm 则Am Bm Cm等于这3m 1个数之和 即 Am Bm Cm 1 2 3 m 1 1 1 2 3 m 1 3 m 1 1 当m 1时 am个数字和模3余0的数中 首位 为0的am 1个的和Am 1 首位为1的cm 1个的和为 1 3mcm 1 Cm 1 32m 1 Cm 1 首位为2的bm 1 个的和为2 3 mb m 1 Bm 1 2 3 2m 1 Bm 1 则 Am Am 1 32 m 1 Cm 1 2 32 m 1 Bm 1 32 m Am 1 Bm 1 Cm 1 32 m 1 2 3 m 3 m 1 1 2 3 m 3 m 1 1 m 1 从而 在三进制下不超过m 1位的3m 1个 恰当数之和为 1 2 3 m 3 m 1 1 m 1 由于2 005 2202021 3为7位数 而由前面的 分析知 不超过7位的正整数中 恰当数共有36 1 个 和为 1 2 36 3 7 1 796 797 这个和中包括了 不超过 2222222 3而大于 2202021 3的恰当数共60 个 将这60个数从小到大排列为 2202102 3 2202111 3 2202120 3 2202201 3 2202210 3 2202222 3 2210001 3 2210010 3 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