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六、 多元函数微分学61 多元函数的概念、极限与连续性A 内容要点 (一)多元函数的概念 1二元函数的定义及其几何意义 设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。 二元函数的图形为空间一卦曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。 例如 ， 二元函数的图形为以原点为球心，半径为的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为的闭圆。 2三元函数与元函数 空间一个点集称为三元函数 称为元函数 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 (二)二元函数的极限 设在点的邻域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有 则记以或 称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在。 值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 (三)二元函数的连续性 1二元函数连续的概念 若 则称在点处连续。 若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。 2闭区域上连续函数的性质 定理1（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界. 定理2（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值 （最大值），（最小值） 定理3（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值。若，则存在，使得B 典型例题 (一)求二元函数的定义域 例1求函数的定义域 解：要求 即； 又要求 即 或 综合上述要求得定义域 或 例2求函数的定义域 (二)有关二元复合函数 例1设，求 解：设，解出， 代入所给函数化简 故 例2设，求 例3设，当时，求函数和 例4设，当时，求函数和。 (三)有关二元函数的极限 例1讨论 （常数） 解：原式 而 又 原式 例2讨论 例3讨论 例4讨论 62 多元函数的偏导数与全微分A 内容要点 (一)偏导数 1定义 设二元函数 若存在，则记以，或 或称为在点处关于的偏导数。 同理，若存在，则记以，或 或称为在点处关于的偏导数。 类似地，设 即 即 即 2二元函数偏导数的几何意义 表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率 3高阶偏导数 设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种。 当，在处为连续则 也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。 类似地可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。 也可以讨论元函数的高阶偏导数。 (二)全微分 1二元函数的可微性与全微分的定义 设在点处有全增量 若 其中不依赖于只与有关， 则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或 2二元函数的全微分公式 当在处可微时 则 这里规定自变量微分， 一般地 3二元函数全微分的几何意义 二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。 4元函数的全微分公式 类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下 (三)偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系 设，则连续存在 (四)方向导数与梯度（数学一） 1平面情形 在平面上过点沿方向的方向导数 在点处的梯度为 而方向导数与梯度的关系为 由此可见，当的方向与的方向一致时，为最大，这时等于又方向导数与偏导数的关系为 这相当用两向量的点乘的坐标公式 2空间情形（略）63 多元函数微分法A 内容要点(一)复合函数微分法链式法则 模型 1， ； 模型2， 模型3， 模型4， 还有其它模型可以类似处理（二）隐函数微分法 设 （1）确定则； （2）确定则；（3）确定则；（三）、几何应用（数学一） 1空间曲面上一点处的切平面和法线 2空间曲线上一点处的切线和法平面B 典型例题 例1设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定 和，求 答案： 例2设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求 答案：例3设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求 解：分别在两方程两边对求导得 化简 解出 例4设有连续偏导数，由方程 所确定，求 解一：令，得， ，则用隐函数求导公式得 ； 解二：在两边求微分得 解出 代入 合并化简也得 例5设具有二阶连续偏导数，且满足， ，求 解：， ， 故：， 所以： 例6已知，确定其中， 均有连续偏导数，求证 证： ， 根据隐函数求导公式 则得 例7设，求 分析：从方程组直接解u和v，遇到二次项，比较繁，而从du和dv的方程组中都是一次项，比较容易求出du和dv，另外从du和dv的表达式中同样可以看出有关的偏导数。 解：对，的两边求全微分，得 ， ，64 多元函数的极值和最值A 内容要点 (一)求的极值 第一步 求出驻点 第二步 令 若 则不是极值 若 则不能确定（需从极值定义出发讨论） 若 则是极值 进一步 若 则为极小值 若 则为极大值 (二)求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法 求的极值 约束条件 作 求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种方法的关键是解方程组的有关技巧。 （三）多元函数的最值问题B 曲型例题 （一）普通极值问题 例1求函数的极值 解：， 要求，得 故知，由此解得三个驻点 ， 又， 在点处 ， 又， 是极小值点 极小值 在点处 ，。 ，也是极小值点 极小值 在点处 ，。 不能判定。 这时取，（其中为充分小的正数）则而取时，由此可见不是极值点。 例2求函数的极值 例3设是由确定的函数，求的极值点和极值。（数学一二可能会考，数学三可以考虑不看） 分析：隐函数求极值的方法与显函数求极值类似。第一步求出驻点（需要计算一阶偏导数），第二步作判别式（需要计算二阶偏导数），但隐函数求一阶和二阶偏导数在计算上复杂多了。 解： 因为 每一项对求导，看作的函数，得 ， （1） 每一项对求导，看作的函数，得 。 （2） 令 得 故 将上式代入，可得 或 把（1）的每一项再对求导，和看作的函数，得 ， 把（1）的每一项再对求导，和看作的函数，得 ， 把（2）的每一项再对求导，和看作的函数，得 ， 所以， 故 ，又，从而点是的极小值点，极小值为。 类似地，由 ， ， ， 可知，又，所以点是的极大值点，极大值为。 （二）、条件极值问题 例1在椭球面第一卦限上点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求点坐标。 解： 设点坐标，则椭球面在点的切平面的法向量为 切平面： 轴截距 轴截距 轴截距 所以四面体的体积 约束条件用拉格朗日乘子法，令 （1） （2） （3） （4） 用乘（1）乘（2）乘（3） 得 则 （5） 将（5）分别代入（1），（2），（3）得 ， ， 所以点坐标为而最小体积 例2求坐标原点到曲线的最短距离。 解： 设曲线上点到坐标原点的距离为，令，约束条件，用拉格朗日乘子法，令 （1） （2） （3） （4） （5） 首先，由（1），（2）可见，如果取，则，由（3）可知，再由（4），（5）得， 解得 这样得到两个驻点，其次，如果取，由（3）得，再由（1）（2）得，这样（4）成为，是矛盾的，所以这种情形设有驻点。 最后，讨论，情形，由（1）（2），（3）可得 ，代入（4），（5）消去得此方程无解，所以这种情形也没有驻点。 综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。 另外，由于为双曲线，所以坐标原点到的最大距离不存在。 例3已知函数的全微分，并且。求