群的等价的定义及证明.doc

群的等价的定义及证明 摘要：本文给出了群的几种等价定义，采用循环方式证明了它们的等价性，利用例题加深了对群的理解及应用。关键词：群 集合 代数运算 一引言群是一个具有一种代数运算的代数系统，它有定义方法很多，比如：在不同问题的讨论中为了方便人们采用乘法，除法等不同运算形式来定义群，而这些定义是彼此等价的，下面给出采用乘法运算形式的群的定义。二正文1、定义定义1.群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足,封闭性使.结合性.可解性方程在中有解定义群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，.左单位元.左逆元定义3群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，右单位元，.右逆元定义4.群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，左单位元，右逆元，.右消去律，若则定义5.群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，右单位元，.左逆元，.左消去律，若则定义6.群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，单位元，右逆元，右商不变性定义7.群是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，单位元，.逆元2.证明定义1定义2 由定义1中的中有无使得所以但则取，由又所以的解。同理是的解。定义3定义4由，使所以于是，是的左单位元。若从而右消去律成立。定义4定义5是的右单位元。 使由定义4的，得所以是的左逆元。.若则即左消去律成立定义5定义6，在定义5的条件下可证明，即是的右逆元即是的左单位元。.即上式对均成立，因此有从而有定义6定义7是中的单位元.有且所以，即对有是的逆元定义7定义1显然成立3.例题例1.是全体整数的集合。对于普通假发来说做成一个群。 证明：.两个整数相加还是一个整数； .；.是整数的时候，有整数解。例2.是所有不等于零的整数的集合。对于普通乘法来说不作成一个群。 证明：.整数乘整数还是整数；.，但没有整数解；.不能被满足。 但若是全体不等于零的有理数的集合，那么对于普通乘法来说作成一个群。 现在假定是一个群。我们证明有以下性质。 .里至少存在一个元,叫做的一个左单位元，能让对于的任何元 都成立。 证明：由，对于一个固定的元，在里有解。我们任意取一个解，叫它作： 我们说，对于的一个任意元，成立。由，有解： 由，这样，我们证明了的存在。证完。例3.全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，逆元是。 证明：当是正整数时，我们已经规定多符号的意义，并且我们很容易算出 现在我们利用唯一的单位元和的逆元规定： 正整数 这样规定以后，我们很容易算出，两式对于任何整数、都对。总结：群是只有一种代数运算。我们已经看到，一个代数运算用什么符号来表示，是可以由我们自由决定的，有时可以用，有时可以用。一个群的代数运算普通为便利起见，不用来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写，而写。并且因此我们就把一个群的代数运算叫作乘法。当然一个群的乘法一般不是普通乘法。本文通过给出群的7种定义以及证明，简单介绍了群的代数系统，加深了对的的理解以及应用。参考文献：1.张禾瑞