类氢离子精细结构能级的微扰计算.doc

类氢离子精细结构能级的微扰计算学生姓名 王百荣 指导教师 陈冠军摘要 从Coulomb场中运动的电子的Dirac方程出发，取其非相对论极限导出了类氢离子的精细结构哈密顿的表达式(精确到项)。在此基础上将类氢离子的非相对论哈密顿的本征解作为零级近似，利用简并微扰论求解了类氢离子能级的精细结构，给出了精细结构能级的表达式。并以，和为例具体计算了其精细结构能级和实验数据比较。关键词 类氢离子；相对论修正；精细结构；对角矩阵元引言1928年，P. A. M. Dirac建立了单电子的相对论性的波动方程Dirac方程。之后不久，W. Pauli成功地应用此方程严格求解了氢原子能级的精细结构，所得的结果与当时的实验数据符合得非常好。现今所使用的相对论量子力学教材中大多都给出了氢原子的严格解，其中的一些还采用了不同的方法1。但这些教材中对氢原子的严格求解都需要较深的数学理论，本科生不容易理解和学习。本论文从Coulomb场中运动的电子的Dirac方程出发，取其非相对论极限得到类氢离子的精细结构哈密顿, 此哈密顿算符除了包含非相对论哈密顿算符之外还包含相对论的质量修正项、Darwin项和自旋轨道相互作用项(数量级为，为精细结构常数)。因而在本论文中，我们采用简并微扰理论来求解狄拉克方程，即将非相对论哈密顿的本征解作为零级近似，而将质量修正项、Darwin项和自旋轨道相互作用项作为微扰来计算，所得的精细结构能量公式与严格求解Dirac方程所得的结果相同。在此基础上我们进一步用此能量表达式计算了，和的精细结构能级并与实验数据做比较。这对于学生能够深入理解氢原子的精细结构能级和光谱的精细结构，更好地掌握初等量子力学特别是简并微扰理论，都有很好的参考价值。1. 类氢离子的精细结构哈密顿根据文献2，Coulomb场中运动电子所满足的狄拉克方程为：, (1)其中 , .(1)式中和分别为电子的质量和电荷，是光速，是Coulomb场的标势(Coulomb势为中心势，只与有关)，和是的Dirac矩阵，在Pauli Dirac表象中，其形式为, . (2)的Pauli矩阵表示为 , , .如令 . (3)可得定态Dirac方程 , ,即 . (4)在Pauli-Dirac表象中，四分量的波函数可以表示为. (5)其中都是二分量的波函数。利用(2)式和的矩阵形式，则方程(4)可以写成相应的矩阵方程 . (6)此方程又可以写作两个的矩阵方程, (7a) , (7b)令(为电子的非相对论极限下的能量)则又有, (8) , (9)由(8)可知, (10)从数量级上看： . (11)即，因而称为“大分量”，所满足的方程为 . (12)利用可作近似展开, (13)(13)代入(12)得. (14)再利用3. (15)得. (16)在非相对论极限下 , (17)此外，由是中心势，有 , , . (18)将(17) 、(18)式代入(16)，得到. (19)其中是电子的自旋角动量算符。上式中前两项即非相对论量子力学中的动能项和势能项。后三项为考虑相对论效应所引起的修正项，依次称为质量修正项(mass correction term)、自旋轨道相互作用项(spin-orbital term)、达尔文项(Darwin term)。对于类氢离子，利用 , , . (20)(19)式可化为. (21)若采用能量单位为Rydberg的原子单位4，即作如下代换, , , , , . (22)并注意, , 则类氢离子的精细结构哈密顿可以写成 . (23)其中, . (24)在后面的讨论中，我们将全部使用原子单位(能量单位为Rydberg)。2. 定态微扰理论及零级近似解令(23)式的哈密顿 , (25) . (26)为量级，因此可以作为微扰，的本征解5作为零级近似，则有, . (27)是共同的本征函数。即,. (28)对于给定的主量子数和轨道量子数，非相对论能量是重简并的，对应着个波函数, (29)由于中包含项，所以与均不是守恒量。但是，可以证明总角动量为守恒量。即. (30)此外还有下列守恒量 . (31)由此可知构成一个守恒量完全集，它们可以具有共同的本征函数。为此将上述个零级近似波函数按角动量耦合(耦合顺序)理论进行线性组合，构成个新的零级近似波函数。此时，由角动量耦合理论可知,. (32)波函数仍然是的属于本征值的本征函数。根据角动量耦合理论，还是的本征函数，本征值分别为，即, . (33)我们将(33)式作为类氢离子精细结构哈密顿本征方程的零级近似解，再考虑零级近似解的修正。为此可以证明如下对易关系而 ,利用(31)可得. (34)利用量子力学中有关矩阵元的定理4，在以的共同本征矢为基矢的表象中，的矩阵形式是完全对角的，且对角元与量子数无关。由于上述性质，计算精细结构时可以采用表象，它的基函数是，是的线性组合。利用简并微扰理论5，在一级近似下，对的本征值的修正量即的对角元，就是修正后的一级近似波函数，即的本征方程的一级近似解为：,. (35)3. 对角矩阵元的计算，精细结构能级的表达式通过计算(35)式的三个对角元，我们即可得到非相对论能量(零级能量)的一级修正，从而得到类氢离子的总能量。下面分别计算(1) 的计算利用可知，因而可改写成 .再利用(28)和(32)式可得(其中角向部分已归一化).式中两个矩阵元的值分别为4 , .则 . (36)(2) 的计算利用, 我们有. (37)(3) 的计算. (38)利用,.可得. (39)另一方面，利用4 .可以计算. (40)将(39), (40)式代入(38)式.将上述结果代入(35)，得注意到. (41)可将上式统一写作. (42)因此在一级近似下，类氢离子的能级为 . (43)此能级公式与严格求解类氢离子的Dirac方程所得的结果6是一致的。4. 精细结构应用例类氢离子的能级应用(43)式可以计算类氢离子的精细结构能级，以类氢离子，和为例，表1列出了各能级的能量值。表1，和的精细结构能量(能量单位为)谱项E(Z=1)E(Z=2)E(Z=3)101/2-1.000013312-4.000212996-9.001078292201/2-0.25000416-1.000066561-2.250336966211/2-0.25000416-1.000066561-2.250336966213/2-0.250000832-1.000013312-2.250067393301/2-0.111112590-0.444468110-1.000119810311/2-0.111112590-0.444468110-1.000119810313/2-0.111111604-0.444452332-1.000039937323/2-0.111111604-0.444452332-1.000039937325/2-0.111111275-0.444447073-1.000013312类氢离子的非相对论性能量只与主量子数有关，而微扰哈密顿的作用部分解除了非相对论能级的简并，与两个量子数和有关；但与无关，仍存在偶然简并。例如，类氢离子的两个能级和是重合的。为了便于与实验数据相比较, 需要从能量单位转换成用光谱单位波数()的表示，为此利用常数7， ，。将表1的能量换算成用波数单位，结果列于表2。在表2中，为了与实验数据相比较，我们计算了激发能，同时将能量用光谱单位波数()来表示，激发能即类氢离子各能级与能级的间隔。可以看出我们采用微扰方法计算得到的能级精细结构虽然与严格求解Dirac方程所得的结论一致，但由于没有考虑辐射效应，即量子电动力学修正，所以计算值与实验值仍然存在微小的误差。由于存在偶然简并，理论计算得到的与能级的能量相同， 表2，和的激发能(能量单位为)(Z=1)(Z=2)(Z=3)计算值实验值7误差计算值实验值7误差计算值实验值7误差0.0000.0000.0000.0000.0000.00082259.18982258.942-0.247329168.099329164.860-3.239740740.6740733.6-7.082259.18982258.907-0.282329168.099329164.390-3.709740740.6740731.2-9.482259.55582259.272-0.283329173.941329170.135-3.806740770.2740760.8-9.497492.48197492.208-0.273390126.885390123.318-3.567877923.5877916.6-6.997492.48197492.198-0.283390126.885390123.179-3.706877923.5877915.9-7.697492.58997492.306-0.283390128.616390124.910-3.706877932.3877924.7-7.697492.58997492.306-0.283390128.616390124.910-3.706877932.3877924.7-7.697492.62597492.342-0.283390129.193390125.487-3.706877935.2877927.6-7.6但实验数据表明能级高于能级，其差值为0.035，即Lamb位移。参考文献1 喀兴林. 高等量子力学(第二版) M. 高等教育出版社, 北京, 2001. 227-237.2 J. D. 比约肯 S. D. 德雷尔. 相对论量子力学M. 科学出版社, 1984. 553 曾谨言. 量子力学(下册) M. 科学出版社, 北京, 1981. 590.4 郑乐民, 徐庚武. 原子结构与原子光谱M. 北京大学出版社, 北京, 1988.12. 60, 5, 281-283.5 周世勋. 量子力学教程M. 高等教育出版社, 北京, 1979. 70, 131, 212.6 褚圣麟. 原子物理学M. 高等教育出版社, 北京, 1979. 138.7 C. E. Moore. Atomic Energy Levels, Vol. lM. Government Printing Office. 1971. 2, 7, 11.Calculation of the Fine Structure of Hydrogen-like AtomsWang BairongAbstract: The fine structure Hamiltonian (up to order) for Hydrogen-like atoms is derived using the nonrelativistic approximation of the Dirac equation for one electron moving in the Coulomb field. With the Hamiltonian, the expression for fine structure energy levels of Hydrogen-like atoms is presented by perturbation method, and then the energies of several low excited states of ， and are calculated using the expression. The energies are found in agreement with the experimental data.Key Words: Hydrogen-like atoms; relativistic shift; fine structure; matrix e