超越方程真的无解析解吗.doc

超越方程真的无解析解吗?（观点互通有无，欢迎交流） （P君，从未见过数学大海的内陆市民；M君，专业数学工作者,可以经常乘海轮一游之人；H君，有心天涯游却无缘一张船票，只好一叶扁舟漂游者。一天三人偶遇，便有以下对话。）H君：今有一事讲给二位，不知感兴趣否？P君M君：尽管讲来。H君：我可以给出超越方程之解析解。P君：是数学问题，我不感兴趣。M君：是特例还是一般情况？H君：当然是一般情况。M君：这不可能，因为这早已有定论。H君：假若人类在认识复数之前，有人问你X =-1有解吗？你该如何回答？M君：这倒也是，回答很可能是没有解。H君：是否说无解已有定论？M君：有这种可能。H君：再问一个问题：在人类认识非欧几何之前，如果有人说存在内角和不等于180的三角形，你会相信吗？M君：确实与前一个问题的情形类似。H君：当我们被局限在某一范围时，是很难想象更广范围的事情。在历史发展的任一阶段，对于尚未认识的更广范围，我们总是处于一个相对的局限范围内。因而某一阶段的定论只具有相对性，即定论只在一定条件下成立，不是这样吗？M君：你且细细讲来。H君：先从aX+bX+c=0这一方程谈起。我想让每一位稍有数学知识的人都能听懂。P君：这不是什么高深的东西，这样的方程连我都会解，x=(-bb-4ac)/2a (1)如果考数学只考这么简单的问题，说不定我在咱们三人中还有机会得第一呢。M君：有这个可能，不过还是听H君下文如何。H君：多项式代数方程，即形如a0+a1x+a2x+anx =0 (2)之方程无公式解，或称无解析解。P君：这个我是今天才知道。不过有无公式或解析解又有何关系呢？难道比明天的股市行情重要，比明天的世界杯比赛结果重要？M君：准确的说法是我们无法找到由a0,a1,a2,an这些系数及一些常数与* 及（加减乘除乘方开方及对数运算）组成的有限表达式的解。H君：解方程说得通俗一点就是将X单独放在等式的一边，而将所有已知的东西搬运到等式的另一边。这搬运当然是在一定规则下进行的。就解方程而言，数学家就是符号搬运工。M君：历史上求解三四次方程时，这搬运工作将数学前辈们累得够呛。不管怎样，总算大功告成。但当着手求解五次方程时，这符号搬来搬去，怎么也不成功。H君：解不出五次以上方程确实让人感到心有不甘。人类智力在抽象世界的挑战面前是那样软弱无力，束手无策。P君：他们实在是没事找事，要是我才不去将符号搬来搬去折磨自己。M君：好在阿贝耳老前辈多了个心眼，他觉察到五次以上方程原本无根式解，群论创立后，他从理论上严格证明了他的猜测。这个问题早已告一段落。H君：这确实苦了那些数学前辈，原本无根式解，害得他们去找，你说上帝是否在作弄人?M君：这可冤枉了上帝。科学上常有这种事,有时在问题的提法还不明确或存在性问题都未搞清时就着手进行研究，往往会走弯路。H君：这多项式代数方程无根式解，一般超越方程亦无解析解。后来接触到微分方程时，给不出解析解或显式解的方程更是信手拈来。M君：确实如此。你若感到难以接受可以理解，我第一次明确意识到这一点时也有同样感觉，只不过很快就过去了。P君：你们扯得太远，我不听了。H君：这样吧，我们先把问题局限在代数方程的范围内，免得P君抗议。M君：我同意。H君：你说五次以上方程无公式解，那么是谁将运算局限在+-* 及这几种运算之内呢？即是说不存在根式解，完全有可能存在其他形式的解析解（五次代数方程有椭圆函数解）。我当时对这一问题闪出过一个念头，即运算扩充（即定义出更多的新的运算）以后必定可以给出一般代数方程的解析解。M君：你得确实给出才是。H君：听我慢慢道来，你们得有些耐心。P君：尽量简单，否则我是不会听的。H君：在谈这一问题之前，我想先谈另一个问题，即方程解的存在与数的范围的扩充的关系。M君：这是大家都熟知的。P君：可我还是不明白。H君：我看还是照顾一下P君。你知道，x2=0,这个方程无正整数解。若要让这个方程有解，就须将数的范围扩充到负整数。可得x=-2。P君：这很简单，谁都知道。H君：很多东西看起来简单，但在数学历史的发展进程中要让人接纳它却是非常困难的。你说负数很简单，可先贤牛顿却接受不了它。他老人家画数轴时大笔向右一挥，原点左边的负数统统不存在。P君：你在糊弄老百姓，反正我不懂数学，随你怎么讲。好在我相信不相信并不重要。M君：我可以作证，H君说的是实话。P君：那就将就着相信吧。H君：有了负数，数的范围还可扩充向有理数，即分数。2X =3在整数范围内是无解的，要使它有解，须将数的范围扩充至有理数，可得x=2/ 3 。P君：这个我知道，至少到目前为止，你讲的我都能听明白。数学若只此简单明白就好了， 不至于让少数人独享。像我这样的人周末又多一项娱乐：数学王国快乐游。M君：你不肯动脑筋还想享受数学，我看你只配听H君讲一些一知半解的东西。H君：我可要抗议。本来向大众传播数学知识是你们的事，我现在是在帮忙。还是言归正传。数的范围还可扩充下去，方程x=2 在有理数范围内无解。为使它有解，必须将数的范围扩充至实域，即x=2 。P君：这个亦很简单。上中学时学习根式的情形至今还记忆犹新。H君：你又说简单。先入为主,囫囵吞枣式地接受一个东西当然简单。你全然不知历史在产生一个新概念及接纳一个新概念时所涉及的方面及复杂艰难的程度。2 这种数不能用十进制数的有限形式表示出来，这一点数学家们很难接受。他们觉得这样会破坏数学的完美与和谐。无理数这顶帽子本身就记载了对2这类数的不平待遇。P君：数学家们也是没事找事，你说表达一个量值，若保留十位小数不够精确，可以保留百位甚至千位小数。你来个无穷位，那不累死人？H君：是这么回事。故而有人讲，自然数是上帝创造的，其余数都是人创造的。M君：话不能这么说。数学的真正意义在于他的无限扩张性。当你从最简单的公理出发进行推理以后，会导出很多东西。有时不是说你在某一阶段想停下来就能停下来。导出过程中发现了问题你须再扩张去解决这些问题。同时有些意外收获是扩张前很难想象得出的。数的范围不扩充到实数，那里会来微积分。P君：不要扯得太远，我不懂微积分。H君：进一步的扩充是到复域的扩充。x=-1 在实数范围内无解，要使其有解，须引进虚单位i。可得 x=-1=i 。P君：这就怪了。1乘1得1，-1乘-1也得1，怎么会有一个数自乘得-1呢？不是又在糊弄我吧？H君：这个怪物让历史接受所费时间更长。虚数，你只要听一下这个称谓，就会明白历史可能是怎么回事。假若你站在别人面前，别人称你为虚人，那不等同于鬼？P君：你们谈论数学问题，我的存在就等同于虚人，而数学科学在我眼中也是虚科学，太抽象了。H君：我接受i也用了很长时间，直到看到一个数学家在一本书中这样的描述后才算完全接受。他说，一个数乘以-1，就好比向后转，而乘以i就好比向左转，向左转两次即为向后转，即 i=-1 。M君：你说了这么些关于数的扩充，想说明什么呢？H君：我其所以要讲以上这些是想说明两个问题，一是说明方程解的存在与数的范围的扩充是互相推动，互相成全的。二是想说明在数学发展的历史进程中，每一步扩充是多么艰难,而要让人类接纳它更是难上加难。的确，我们想象不来他们的难度，站在更广范围看问题的我们是很难想象局限于某一范围内看问题的他们的难度的。2 和i，放在你们二位当时能接受吗？P君：我想，2 我一定能接受，i我现在还是接受不了。M君：可能很难，也许有可能吧？H君：还是回到第一个问题，即方程解的存在与数的范围的扩充的关系。方程解不存在时，危机发生了。为解决危机，就须扩充数的范围。每次危机都导致了数的范围的扩充，危机实际上是机遇。倘使无方程解的存在的危机，数还会只局限在自然数的范围内，也即只存在上帝创造的那些数，而无我们人类自己的。重要的是危机来时，我们要敏锐地觉察到是机会来了，必须很好地抓住它。倘使有人扩充了它，我们要能谨慎接受，至少不将它先入为主地视为怪物。不要再让“无理”“虚”这样的帽子有市场。M君：你到底想讲什么？H君：以x +x +b=0 (3)为例（a,b为实数），这个方程不存在解析解。这不是危机吗？也不就是机会吗？若将问题局限在实数范围内,式子 X1X2=X0 （4）中当为+-* 及时，这些运算实际上是表示一种对应关系。对每一组符合以上关系的X1，X2及X0都表示坐标OX1X2X0中的一个空间点，所有这些点即为一空间曲面，且我们称这一空间曲面为运算之空间曲面。你想，这空间曲面之形状多么丰富，可我们为什么只有几个少得可怜的运算呢？M君：现代数学中关于一般运算已有定义， f(x,y,z)=0 （5）该式中f不同，即定义了一个z与x、y之间不同的运算。这个你不知道吗？H君：我知道，你且听我是如何定义的，又是如何用它给出方程之解析解的。然后再告诉你我的定义与已有的定义多么不同。M君：果真能像你所说的那样给出解析解？H君：我可以肯定地说，能给出！只是数的扩充与方程解的存在之间的关系较简单，而运算的扩充与方程解的解析表达之间的关系较复杂。方程解不存在时，可以直截了当地给出数的扩充。数的范围一旦扩充，方程就有了解，逻辑上比较简单。方程 X+2=0 无解，这可直接引发正整数扩充到负整数。而一旦引进负整数，方程 X+2=0即可有解。数的范围扩充向有理数、实数及复数之情形类似。方程解的解析表达不存在时，需要对运算进行扩充。但不是说給出一种扩充，就可以使得某一方程有解析解。而是必须给出所有相关扩充以后，才可以給出方程之解析解。因而在方程解的解析表达不存在时我们并不是很容易看出此时需要对运算进行扩充。即使觉察到需对运算进行扩充，但并不知道需要进行怎样的扩充。M君：你赶快说怎么一个扩充法，又怎么使方程解的表达存在？P君：我也等着听。至少到目前为止，我还听得懂。H君：我讲上边那些话是让你们有个心理准备，免得讲以下扩充时你们接受不了。这扩充有四种方式，其中两种你们已经见过。P君：你又在糊弄我。我以为多复杂，原来扩充只有四种，且两种我们已经见过，那不才两种吗？数的扩充像你刚才讲的那样至少有四个，所以论个数并不比数的扩充更复杂。M君：且听他如何讲。H君：在讲四种扩充之前，我们先约定一个记法。一个运算与运算参数（运算参数指参加运算的数，下文中也可指其它运算元素）的位置是有关系的。或者说一般运算无交换律。比如说 8448 , 为了反映这种特征，我们引进记法 = （6） 即第一个运算参数放在之位置，第二个运算参数放在之位置，运算符放在之位置，运算结果放在等式的另一侧（实际上是对位置进行编码）。P君：这挺麻烦的。H君：这种记法对多参运算（一个运算参数对应一个运算结果称为单参运算，m个运算参数对应一个运算结果称为m参运算，本文只限于讨论单参运算及两参运算，对单参运算其位置就不用进行编码）极为方便，对两参运算而言，无多大便利。一些书中将它称为运算式树，只是通常不用罢了。但这种记法对运算关系反映得异常清晰，故暂且用之。我们称这种记法为树式记法，而称原记法为传统记法。（本文中对复杂式子用树式记法，而对一些简单式子用传统记法。）P君：这由你了。反正我们大众从来不去创造什么记号，都是你们给的。将就着用吧。H君：有了这样一套记法以后，运算扩充的第一种方式就好讲了。这第一种扩充你们见过，称为换位法。即从+运算到运算及从x运算到运算的扩充。P君：你讲明白些，怎么一下子就冒出个换位法。H君：对式子 = （7） 交换运算参数X1及运算结果X0的位置且保持原有数量关系不变从而引进新运算e1： = （8）e1 且将“由运算得到其换位扩充e1”这一事实用式子进行表达：e1 = =R1 （9） R1（树式记法中位置未编码，而其中R1为传统记法，表示经换位变换R1得到新运算R1即e1）。用此方法我们由+导出了-由导出了由*导出了 。 即 + = - R1 =R1 * = R1 。你很容易知道这种方法为什么叫换位法。M君：这样说不为过。但要给出数学意义上的严格定义，对每一种运算而言，定义域及值域须明确，多值问题须考虑，而且从叙述语言上最好用集合论的语言，否则别人不承认的。P君：最好还是用大众语言，否则我听不懂。好在目前为止我还听得懂。H君：有些工作得一步一步来。当初牛顿及莱布尼茨创立微积分时并没有建立起严密的体系，甚至-语言系统也是后世数学工作者给出的，更不用说用集合论的语言描述了。M君：时代不同了，一百年前你骑自行车是一种时髦，现在由北京去上海让你骑自行车你乐意吗？S君：我看还是不要纠缠这样的问题。我本来是帮你们忙，你们反倒隔岸观火。这种扩充原则上是没有问题的，不管对任何一个已知运算，都可以用这种方式扩充。你们且记，为了要让方程之解可用解析式子表达，运算是越多越好，最好是来者不拒。你设想自己是韩信，运算是兵，不是有韩信用兵，多多益善吗？免得你当符号搬运工时又说上帝在作弄你。M君：这第一种扩充是否就这些？S君：大抵如此。但你注意到，对于两个运算参数及运算结果的位置变化有六种可能，包括原地不动的那种。即、e1、e2、e3、e4及e5，其中表示原地不动的那种运算。当然对+这样的运算，它符合交换律，所以有些扩充是等同的。知道这些就够了。但对一种扩充要真正熟悉，你必须接触许多具体的运算，自己扩充一下，获得感性认识。这样才能印象深刻，理解透彻。这就像学习功课一样，上课听讲，做作业等。M君：这些是小菜一碟，无需多讲。P君：这对我很有必要。毕竟我原来只知道六七个运算，现在至少多了近两倍，够消化了。H君：这第二种扩充称为降参扩充。假若我们要问如何才能得到一些单参运算呢？一个很简单的方法是从已知的两参运算得到。比如我们已知一两参运算d，运算结果X0是与运算参数X1及运算参数X2有关的。若将其中一个运算参数（比如X1）固定为常数a，则X0只与另一运算参数X2有关，这不就得到X0与X2之间的一个单参运算s吗？ = （10） d X2 s 并且我们将“由两参运算d及常数a得到单参运算s”这一事实用式子进行表达：s = （11） d D1 P君：前面我听得懂，最后一步这一式子让人困惑。H君：这没有什么，式子（11）只是一种记法，它表示了s与d 及a之间的一种对应关系。已知d及a，你完全知道如何去对应出怎样一个s, 这就足够了。P君：还是不明白。H君：以+运算为例，你能从它得到一些单参运算吗？P君：这个我会。X0=3+X2 , 这就给出了X0与X2之间的一种单参运算，X0与X2之间的运算关系是很明确的。H君：这就足够了。由于是从一两参运算得到一单参运算，故称为降参扩充。其几何意义为：用平行于oXZ或oYZ之平面去切两参运算d之空间曲面得到一曲线，该曲线表示的就是一单参运算。为使问题简单，在此我们只涉及如何由两参运算得到单参运算。现在讲第三种扩充即简便扩充，这种扩充你们已经见过。P君：这还差不多，毕竟见过的东西要容易一些。P君：这第三种扩充尽管见过，但的确有一点难度。这种扩充是+到x以及x到*的扩充。 （12） 当两个运算参数相同时，我们给一种简便运算x，记为 （13） 我们从+运算得到一种新运算x（这是大家所熟知的），且我们说 x 运算是+的简便运算。这就是我们为什么称这种扩充为简便扩充。我们将“由+运算得到其简便扩充x运算”这一事实用式子进行表达： x = + = +I （14） （+I为传统记法） Ix到*是一个道理，且有 * = x = xI （15） （xI为传统记法） IM君：这没有什么新东西，而且有无必要，也值得怀疑。P君：连我都看出很简单，这叫什么第三种扩充？不是又在糊弄我们吧？H君：倘若只局限于+x*几种运算，当然与不扩充没有什么两样。问题是对所有已知运算都可按此方法进行扩充。你从+得到x，从x得到*，若记+为0，x为1，*为2，那么有了0，1，2，为什么不可以有3，4，n呢？你可以看到，这种扩充与从0，1导出整个自然数是类似的。M君：这个原则上也没有错，只是有何实际意义呢？P君：你们随意折腾吧？反正我要是觉得惨不忍睹，就会将眼睛闭上。好在现在还可以忍受。H君：这一切当然是围绕方程解的表达进行的。为了给出方程的解的解析表达，你不能限制我做这些扩充。试想一下，有了这种扩充及换位扩充，从+运算出发，我们可以得到多少个运算，怎么样？P君, 开了点眼界吧？P君：我觉得这运算的扩充也要讲点计划生育，正如生孩子，生下来要喂养它，教育他，总之得对他负责任。 +-* 及几个运算生出的方程都解不了，整出这么多运算，麻烦不说，你就不怕生出更多的不可解的方程吗？H君：运算多了，麻烦再多你不用怕，M君他们会为我们解决的。从这点来讲，我们还真应该感谢这些甘于寂寞，抛弃许多常人乐趣的群体呢。至于你担心会出现更多的不可解的方程之事，那你怎见得扩充以后就不会让所有方程都有解析解呢？M君：这些我都可以理解，只是我不太相信依靠四种扩充就可以给出方程之解析解，是真是假赶快给我们说说。H君：这种扩充还有一件事要交待，交待了才算完整。尽管有些难但没有它照样可以解方程。P君：不管怎样讲，解方程所涉及的东西越简单越好，否则我就没有兴趣听。H君：若已知m,你定义其简便扩充(m+1)时可以定义出 （m+1） （16） a n （ 第二运算参数为2 时的定义已有 ，由类推法可给出第二运算参数为n 时的定义。） 一个显而易见的问题是，当第二运算参数为非整时如何定义，因为从简便扩充的定义中看不出。寻求这个定义，我花费了很长时间，你看，M君，这也算是给你们帮忙了。这里我只给结果。讲这个问题之前，我先定义一下半函数。对一元实变量函数f(x)，若有g(x)，使得g(g(x)=f(x)，则记g(x)=f(x) ，且称g(x)为f(x)之半函数。可以肯定地说，对给定的f(x)， g(x)是确定的。至于具体求法是另一回事。如何使第二运算参数为非整时有定义呢？若定义单参运算 f= （17） m a D2 则注意到 a n (m+1) 作用一个f时，第二运算参数就要加1, 即 f = a n (m+1) m a D2 a n (m+1) = = （18） a m a n+1 (m+1) a n (m+1) 现在我们定义作用f (x) 时，第二运算参数就要增加0。5，即 f = （19）a n (m+1) a n +0.5 (m+1) 显然第二参数增加任一有理数时之定义类似。M君：这样定义未有矛盾之处，也许可以。P君：我听不懂，反正与解方程无关。M君：这样做是必要的。严格来讲，那样只是定义了第二参数为有理数时的情形。H君：我只是谈一下梗概。好了，我还是谈谈第四种扩充。这又是一个以前未见过的扩充。P君：我又要一头雾水了。还是那句话，听不懂就不听了。H君：假若我们现在已经知道一个两参运算d及一个单参运算s，我们能否由它们定义出一个新的两参运算呢？M君：你的意思是尽量从已知的运算定义出新运算？P君：这不是韩信招兵买马吗？H君：确实是这样，你们看式子 =X0 （20） X2 dX1 s是否定义了X0与X1，X2之间的一个两参运算呢？M君：确实是这样，d、s已知，则X0与X1,X2之间的对应关系是确定的。H君：我们记新得到的两参运算为d,且将“从已知两参运算d及单参运算s导出新运算d”这一事实用式子表示 d= （21） d s A1 d是由两参运算d加进一个单参运算s而得到的，故而称为加单参扩充（完全可以将s加到参数中而得到另一加单参扩充。）P君：不是很难理解。H君：其实是很简单。以+运算为例，我们可以通过它导出t，X1tX2=(X1x5)+X2t运算是由”+”运算导出的，t运算与+运算的差别在于第一个运算参数多乘以5,即多作用了一个单参运算 f= （22） x 3 D2 t= A1 （23） + D2x 3你看，这样可以由+ 运算及 由x与3导出之单参运算 确定出新运算t，不是很明确吗？M君：确实是这样，可以这么说。P君：单就式子 X1tX2=(X1x5)+X2 而言，倒不难理解。+运算我知道，在进行+ 运算之前，先将第一个加数乘以5，这样就是一个新运算。我算明白了这一点。H君：在上述所有引进或定义新运算的式子中，只要我们知道要确定出的东西是确定的而且知道如何确定出它就可以了。实际上可以说四种扩充就是定义了四种“运算的运算”，也就是如何由已知运算确定出未知运算。P君：也许这么说更容易理解些。M君：就这四种扩充？H君：是的，只这四种扩充，而且每种扩充所得到之新运算都可以用一式子表达。这一点非常重要。P君：我以为有多难，就这么点东西，尽管有点晕乎，可还承受得了。M君：有了这四种扩充，就能把方程之解析解表达出来？P君：我看不太信。H君：当然可以。在解之前，我再汇总一下四种扩充。第一是换位扩充，将运算参数的位置变一变，仅此而已；第二种扩充是降参扩充，将两参运算之一个运算参数取为常数，即得到一单参运算，这也很简单；第三种为简便扩充，相同运算参数之个数即为新运算的第二个运算参数，从到到*，就是这种扩充，也很简单。第二参数为非整时之定义有点难度，但解方程时可以不用它；这第四种扩充为加单参扩充。有点新意，也有点难消化。但任何事，总得有点难度，有点刺激，才有意思。P君：是有点难度。H君：尚能没有这加单参扩充那最好，但离开它方程就解不出了。P君：那就只好由着你了。我已经说过，我们只管用就是了。哎，数学虚人没发言权哪！H君：四种扩充已备，就可以解方程了。以（3）式之方程为例x +x +b=0这是个超越方程，a, b为实数，如前文我们记+ 为0, x 为1, *为2，则有 0 = -b （24） X X a 2 对2 进行降参扩充则有： = -b (25)X 0X 2 a D2注意 D2 2 a 为一单参运算，它与0进行加单参扩充则有： = -b (26)X X A10 2 a D2注意 A1 (27)0 2 a D2为一经以上两个扩充而得到之新运算，记其为W（注意只是为书写方便，并未引进新东西,你完全可以不用此简记形式），且经简便扩充得： = b （28）X 2 WI经换位扩充后方程即可得解: = X （29）-b 2 WI R1你看，解的过程就这么简单，这样的符号搬运并不费劲。M君：有点不可思议，真能这么表达吗？P君：四种扩充我未犯晕，怎么现在有点晕。H君：这不是变魔术，每一步都清清楚楚，降参、加单参、简便及换位四个扩充依序各用一次，别的任何东西都没有。四个扩充既已承认，还有什么问题？逻辑上有问题还是不够简单明了？P君：M君，你是专家，你说吧，你有发言权，我相信你。M君：从手续上讲，算交待清楚了。严密性上我不再说了，免得你又说是在帮忙，喊冤叫屈。你可否回答，你现在定义的新运算与已有的一般运算之定义有何区别？H君：我正要讲这一问题，f (x, y ,z) = 0 , 这只是一个很空泛的定义。给了这么一个定义以后，我们确实有了一般运算的概念，可是这样一个定义可以用来做什么呢？什么也不能什么也没有做。而现在给出的导出新运算之定义，则有本质的不同。首先你可以看到，为进行运算的扩充所引进的新东西是有限的，即只涉及四种基本扩充R、D、I 及A，且每一运算导出之步骤也是有限的。其次，所有新运算的来源都是清楚的。所有这些新运算都是从+运算出发，运用四种基本扩充导出的。第三，这些导出运算之间也是有内在联系的，因为导出的出发点相同（从+运算出发），导出手段（即四种基本扩充）相同，只是运用扩充的次数及顺序不同。第四，由于每一运算是通过四种扩充的式子导出的，因而可以说每一运算之来源都可以用解析式子来表达；第五，你也可以看到它是为给出代数方程之解析解而引入，并成功地给出了代数方程之解析解，因而可以说这些运算有助于方程解析解的表达。归纳起来可以说新运算具有五个特点：即导出步骤及引进之定义有限，来源清楚，互有关联，其来源可解析表达，对方程解析解的表达有用。这五点是f (x, y，z ) = 0 这样的定义所不具有的。P君：我算明白了一些东西。所谓超越方程给不出公式解或解析解只是在一定条件下得出之结论。现在以给出解析解为目的引进新的运算，就可以给出解析解了。H君：确实是这样，正如一开始所讲的那样。H君：在对这一结果进行更深入探讨之前，我们对数学之几个相关分支作一些讨论。P君：太深奥了吧，你们说，我不听了。M君：我们还是尽量讲得简单些吧，让P君能听懂。H君，还是你来说，那样更通俗易懂。要让我说，若太正规严格，你们说我是讲天书，太通俗，我又觉得不是在讲数学。H君：那我就说吧！与之相关的四个分支是，一般代数系统、微分方程、泛函分析及运算子理论。P君，你知道函数y = f (x) 吗？其中x称为自变量，y称为因变量。其中x, y均为数。P君：这个我知道，上了几年学，还有点印象。H君：如果把自变量换为函数，因变量仍然为数，y=f ( g )，即一个函数g对应一个数y，这样f 即称为泛函。P君：好像也不难。H君：若因变量也换为一函数，h=f(g), 即一个函数g对应一个函数h，这样即为运算子理论。P君：也很简单嘛，那么微分方程是怎么回事？H君：要知道微分方程是怎么回事，须先了解导函运算。给一实变函数（自变量及因变量均为实数之函数）f (x ) ，其曲线上任一点处可作一条切线（对光滑曲线而言），切线之斜率称为f (x ) 在此点处之导数，所有点的导数构成另外一个函数，称为f (x ) 的导函数，且记为f(x) 或 fx(x) 。P君：有点晕，不知如何求它。H君：求它就不要问了。总之给定的函数与其导函数之间是一种对应关系，称为导函运算。你可以看出，它实际上是一种特殊的运算子。而含有未知函数及其导函运算的等式称为微分方程。P君：只能算明白个大概。H君：这一般代数系统指的是，若干元素作为研究对象，M君他们称为集合。在其中定义一个或几个运算，且满足一些规定，这集合与运算就构成了一个代数系统。不同的集合与运算即为不同的代数系统。代数的任务之一是对它们进行分类并研究，但这太过于一般。目前真正有重要意义且具有丰富内容的仅是些特殊的代数系统。P君：原来数学还有这么多东西，我现在也有一种感觉，就是了解得越多，明白自己不知道的东西也越多。H君：P君，你对代数系统，微分方程，泛函分析及运算子理论总算有一个大概了解吧。P君：当然知其一二了。但本人无缘享受那些东西，也许只有学数学的人有这个福份吧。H君：可不是那样。学得越多，欢喜固然有，但我觉得所添烦恼更多。P君：这是为什么？H君：让你束手无策的东西愈来愈多，你若不信去问M君。面对很多不可求解或不可研究的东西，总让人有一种压抑之感觉，处处碰壁，使人觉得有几份苦涩。M君：的确是这样。P君：你能否讲具体点？H君：代数方程不可解到处都是。微分方程不可解也是一样。我们能给出解析解或显式解的微分方程的形式是很有限的。想当初学微积分时，微积分的精美确实让人感到神往，可以说微积分是数学中最美妙的一部分。但许多微分方程不存在解析解却让你无话可说。P君：我未学过微积分，不知其妙其乐，也未有其苦。H君：代数系统的割裂状态已经谈了。对真正的一般运算（往往代数系统中所含之一个或几个运算要具备一定性质，如交换律、结合律或分配律）是不去研究的。M君：目前之研究现状的确如此。在未有好的方法之前，是不可能研究的。H君；这泛函分析及运算子理论所处情况有些类似，首先线性的研究得多一些，非线性的研究的很少。在泛函分析中，有一求极值问题。即对某一范围之函数求出使泛函值最大之函数。对一般形式的泛函极值问题研究得还很不彻底，关于极值条件的研究至今还不全面。即使就最简泛函作出的几个准则，使用起来也很不方便。研究泛函给人一种举步维艰之感觉，你若不信，随便翻翻一本关于泛函方面的书就知道了。M君：泛函研究远没有微积分研究那样完善。H君：运算子理论中，也是从整个运算子中分出一些特殊的进行研究。而且往往只给出定性结果。不知你注意到没有，在泛函分析及运算子理论中，很少出现较长的解析式子，这也从一个侧面反映了解析表达的贫乏和软弱无力。M君：代数系统微分方程泛函分析及运算子理论的研究的确像你所说的那样。对非线性不是不想去研究，而是没有好的办法去研究。至于割裂状态，那不是数学科学的本来面目，而是由于认识的局限不得己而为之。P君：M君，你们可有义务把它搞完美。我原以为你们搞的东西有多么深奥，怎么存在这么多问题。H君：我个人认为尚使对某一研究对象我们感到无从把握时，那是因为我们没有合理的、强有力的概念去描述它。我们对数的运算的描述的贫乏，必然导致了对函数运算的描述的贫乏。可以说对数的运算的描述的贫乏这一逻辑环节的缺失导致了以上四个数学分支的尴尬局面。我们说数学是思辩的，那我们拿什么思辩呢？是它的符号形式，即解析式子，而不是别的什么。解析式子是否丰富，直接决定我们对数量关系进行思维所展开的程度。689 x 896 这一简单的算术运算如果我们不会速算又不借助笔算式子, 是无法得到它的结果的。从这点就可以看出思维对符号表达的依赖程度。可以说没有符号表达我们就根本无法进行思维。M君：以你的见解，应该如何去办呢？H君：紧紧抓住方程解析解不存在的危机，适时地扩充运算。在历史发展的进程中，这样的机会多少次地呈现在人们面前, 只是未觉察到, 未能抓住它。曾经有过的对给出方程解析解的尝试和热情，也被“一般方程不存在解析解”这样的定论无情地浇灭了, 运算扩充的线索也已断得无影无踪。M君：扩充以后能将所有问题解决吗？H君：未必能完全解决。我在此想提一下大家所熟知的特殊化方法及一般化方法。当我们对某一普遍问题感到难以研究时，可以分出一些特殊的类型进行研究, 往往会获得进展。在代数系统微分方程泛函分析及运算子理论研究中，这种特殊化方法用得很多。但在另一些情况下，我们感到问题难以解决时可以把情况推向一般，问题往往变得很简单。现在所需要的正是这种方法。代数方程给不出解析解, 但当运算扩充后，则可给出任一代数方程之解析解。H君：其他几个分支也一样吗？M君：有些类似，至少微分方程求解可以做到。微分方程求解与代数方程求解在形式上是完全相同的，只需借助四个扩充。但形式上太繁复，在此就不介绍了。P君：一点不懂。M君：形式上是给出了，但疑义很多。H君：有何疑义你尽管可以问，不过你可不要过于为难我。M君：四种扩充是否完全无问题？H君：我已经说了，四种扩充中换位扩充及简便扩充已经用过了，不会不允许再用吧。降参扩充及加单参扩充尽管是新东西，但它的定义清清楚楚, 不是吗？ 降参扩充中若给出已知的两参运算及常数a，要确定出单参运算是很容易的。加单参扩充中由已知的两参运算及单参运算求出未知的两参运算也是很容易的。总而言之，我们说，扩充就是从已知的运算导出新的运算，而四种扩充的定义中，如何由已知运算导出新运算，交待的清清楚楚，应该是这样吧？M君：可涉及到“运算的运算”。P君：我也觉得这一点很糊涂。H君：你要描述运算与运算之间的对应关系, 不引进“运算的运算”这样的提法行吗？上文提到四种扩充实际上是定义了四种最基本的“运算的运算”，这样理解更容易些。P君：消化不了，但能明白大概是怎么回事。M君：这四种基本扩充是否包含了所有扩充？H君：还不十分清楚，但对方程求解而言，已经够用了。对所有方程，包括运算扩充以后所能构造出的方程都是可以给出解析解的。M君：这样形式的解与 f 的形式解有何区别？H君：这当然根本上是两回事。新的形式解中只含四种扩充的记法符号即R、D、I及A，再没有别的新东西。而 f 之记法，方程形式变 ，f 之定义也会变，这有何意义呢？M君：这样的结果可以直接拿来用吗？H君：这种解主要用于推理思维，至于要真正实用，还得找到类似于台劳级数那样的东西对表达式进行展开，但这样的公式目前还未找到。M君：你所说的代数方程及微分方程的形式解有何实用价值？现在有很完善的通用程序，对应用而言已经足够了。H君：对代数方程而言，目前电脑的速度与容量可以使我们轻而易举地得到其精度达成百上千位的数值解，足够用了。但对微分方程而言，并不是这么回事，许多解的结构搞不清，分析软件是难以求出其数值解的。对一些工程应用而言，流行的数值方法如差分法及有限元素法, 其缺陷是很明显的。M君：这个我不是十分清楚。H君：我与有限元素法打交道十多年，我始终认为用这种方法只是一种权宜之计。这种方法在我们想得到更精确的结果时，是无法通过细化单元实现的。因为有时单元划分得越细，结果越糟。另外从概念上讲不是很清晰。我的想法是真正的出路还是在微分方程求解上做文章，毕竟这才是数学发展的主流。不过从给出数值方法到编制出通用软件，还有很长的路要走，这点不是个人力量所能完成的。P君：你们太喜欢多事，操劳过分会使人变老。M君：我看H君也是喜欢幻想。H君：的确是这样。我是一个理想主义者。这一点在我的数学经历