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文档简介

函 数【知识精要】 1对于抽象函数，常见的处理途径包括：（1）赋值；（2）联想对应的具体函数；（3）模拟画像，即数形结合。如练习1。2若函数为单调的奇函数，且，则。若遇两个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。如例2及练习2。 3对于一元二次方程的韦达定理，和一元二次函数的图象有关的对称、最值问题要了如指掌。同时要弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间关系，如已知一元二次方程的根为，则可设。如例4及练习4。 4若遇到条件是不等式，结论是等式，往往是利用两个模型解决：（1），则，如例5；（2），则。【例题精讲】+【习题精练】 例1：（第二届美国数学邀请赛）定义在实数集上，且对于一切实数满足等式：和，设是的一个根，记在区间中的根个数为，求的最小值。 解：，故是以10为周期的函数。有，即，在内方程至少有两个根，而计200个周期，所以至少有=401个根，即。 练习1：（2005广东高考第19题）设函数在上满足， 且在闭区间上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论。 解：（1）若函数有奇偶性，则无论奇偶，由有，又，令，则，与在闭区间上，只有矛盾，故函数无奇偶性。(II)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005，0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解。 例2：求的图象与轴交点坐标。 解： 令，可知是奇函数，且严格单调，所以 ，当时，所以，故，即图象和轴交点坐标为练习2：已知实数满足，求解：由已知有，令，可知该函数是奇函数，且严格单调递增，故，即，例3：设函数且严格递增，当互质时，若求的值。解：由及，得，又取值为整数且严格单调递增，所以，又，从而必有，所以=又19和98互质，=，即=1862。练习3：设函数且严格递增，求 解：由，将换为，有，又将原式两边取函数值有，故。若，则矛盾，故设，此时，所以，中间必有，所以例4：已知，试判断实数的大小关系，并证明之。解：令，则，可见。猜想下面利用反证法证明：若，则即而函数和在R上均为减函数，且这与矛盾，故。练习4：已知，求的首位数字。解：=1979。故为位数，由，得说明的首位数字是。 例5：（第15届美国数学邀请赛）已知为非零实数，且。若当时，对于任意实数，均有，试求出值域以外的唯一数。解：当时，有，则，化简得，由于该方程对恒成立，故则。又，即19，97是方程的两根，即19，97是方程的两根，由韦达定理得结合得，从而故取不到58这个数，即58是的值域外的唯一数。练习5：已知函数，方程的两个根为，且（1） 求证：也是方程的根；（2） 设的另两个
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