4.7—方向导数与梯度.doc

高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室第七节 方向导数与梯度教学目的：(1) 理解方向导数和梯度的概念;(2) 掌握方向导数和梯度的计算方法。教学重点：方向导数和梯度的计算教学难点：方向导数和梯度的概念教学方法：讲练结合教学时数：2课时一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行二、方向导数由偏导数的定义知,是沿轴方向的变化率, 是沿轴方向的变化率.问题: 讨论函数在一点沿其他方向的变化率1、定义:设函数在点的某一邻域内有定义，为非零向量,其方向角为.若极限存在,则称这极限为函数在点沿方向的方向导数。记为说明: (1). 方向导数的几何意义：方向导数就是函数在点沿方向的变化率.(2).依定义，函数在点处的偏导数存在时,则函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为；沿着轴负向、轴负向的方向导数是;反之不一定成立.如:在处沿任何方向的方向导数都存在,但沿着轴正向的方向导数却不存在.(试证之)（3）类似可得三元函数方向导数的定义对于三元函数，它在空间一点沿着方向L的方向导数，可定义为，其中为方向L的方向角.2、可微函数的方向导数的计算：方向导函数：若函数在区域D内的任何点处沿方向的方向导数均存在，这样就定义了一个新的函数，称为沿方向的方向导函数，记作。定理7.1如果函数在点是可微分的，则函数沿任意方向的方向导数都存在，且有 ，其中为的方向角说明: 三元函数在点处的方向导数推广其中,注意：可微 方向导数存在.如: 在处例1 求函数在点处沿从点,到点的方向的方向导数.解：这里方向即为,故轴到方向的转角. 所求方向导数 例2 求函数在点（1，1）沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1） 最大值； （2）最小值； （3）等于零？解：由方向导数的计算公式知 故（1）当时，方向导数达到最大值;（2）当时，方向导数达到最小值;（3）当和时，方向导数等于0.例3 设是曲面 在点处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数.解：令 故 方向余弦为 故 三、梯度问题：函数在点沿哪一方向增加的速度最快？1.定义 设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为 grad=.梯度与方向导数有直接的关系.2.计算:设是方向上的单位向量，由方向导数公式知 = grad= |grad|（其中为grad与的夹角）当时，有最大值.结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值梯度的模为 |grad|=.当不为零时，轴到梯度的转角的正切为3.梯度的几何意义:在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线(等值线)梯度为等高线上的法向量梯度与等高线的关系：函数在点的梯度方向与点的等高线在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。梯度的概念可以推广到三元函数三元函数在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义一个向量(梯度)grad类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.类似地,设曲面为函数的等量面，此函数在点的梯度的方向与过点的等量面在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4 求函数在点处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解：由梯度计算公式得 grad故 grad在处梯度为0.内容小结:1.方向导数的