不定积分的参考.doc

对不定积分一题多解的分析目 录摘要1关键词1Abstract1Keywords21 引言32 求不定积分的思想方法3 2.1直接积分的思想方法3 2.2换元积分的思想方法3 2.2.1第一类换元积分的思想方法3 2.2.2第二类换元积分的思想方法3 2.3分部积分的思想方法4 2.4拆项的思想方法43 常见的不定积分类型44 例题分析 7 5 不定积分的方法与归类10结束语11谢辞11参考文献11 - 9 -对不定积分一题多解的分析对不定积分一题多解的分析（咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西 咸阳）摘 要 随着社会进入信息时代，积分的语言已经渗透到各个领域。积分的出现不仅是数学史上也是人类历史上一个伟大的创举。它的产生是由于社会经济的发展和生产技术的进步的需要促成的，也是自古以来许多数学家长期辛勤发展起来的一连串数学思想的结晶。因此，他在数学及其他学科有着广泛的应用。 研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。数学与不同学科的结合形成新兴学科，都体现了量化方法已经成为研究经济学、社会科学的重要方法。掌握了它，会使我们在以后的学习及工作中占有一定的优势。 本文的题目是“对不定积分一题多解的分析”。一题多解其实就是培养学生的多方向性和开放性思维，是培养学生发散思维最有效的方法。其主要解法有三种，分别是：直接积分法、换元积分法以及分部积分法。对于同一题可以用不同的方法来解。关键字：积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;一题多解1 引 言 怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点不定积分的求解方法技巧性很强，灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一反三、触类旁通的教学效果，教学中往往要让学生进行一题多解的练习 在学生初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。2. 求不定积分思想方法2.1 直接积分的思想方法 观察所求积分的形式是否可用积分基本公式直接求解。2.2 换元积分的思想方法2.2.1 第一类换元（凑微分法）的思想方法（1）被积函数有一个因式，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似，即所应用的基本积分公式；然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分，凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。（2）被积函数有两个因式时，先由一个因式找到与基本积分公式相似的公式，余下一个因式与 结合凑微分，进而可由积分基本公式求出结果。2.2.2 第二类换元的思想方法主要可以分为以下三类：1.三角代换 2.根式代换 3.倒数代换 第二类换元积分法主要是通过对所求积分进行化简。（1） 根式代换：如果被积函数中，含有因子，我们可以通过去掉根 式，以便化简后的积分式能直接积分或使用简单的变形凑微分后可直接用积分基 本公式，故选取要保证去掉根式。（2）三角代换法：如果被积函数中，含有因式，时，我 们由根号下式子的特点，能够联想到三角公式的平方关系式，以及由此来选择，以此来去掉根号。当遇到时， 先将进行配方成，三种形式中的一种，再用 公式或利用三角代换积分。若果遇到，我们对它先进行分母有理化，在对 其分子进行配方就可化简为，三种形式中的一种，可根 据上述方法进行求解。 （3）倒数代换：当积分表达式分母中自变量的幂较高于分子时，我们可以采用 进行化简求解2.3 分部积分的思想方法分部积分法是运用公式进行求解不定积分，通常适用于两类不同函数相乘的积分。此法的关键是，的选择。通常来讲，先选定，使选定的能容易的凑出微分且积分后不是很复杂，求导后变简单，一次分部积分后，未积出的部分要比原来的积分简单。如果被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数中任意两类函数的乘积，那么，我们可以考虑按照反、对、幂、三、指的顺序来选取，另一个函数想办法凑成进行分部积分。2.4 拆项的思想方法 对形如这种形式的积分，我们很难进行用以上公式进行求解，那么我们可以对它进行拆项已达到可以用以上方法求解的效果。我们把可以分解为。例：（和C均为任意常数）3 常见函数的积分类型 （1）有理函数的积分一般情况下，是把有理函数变形为有理整函数与真分式函数之和的形式，把真分式函数化成部分分式函数之和的形式，然后利用积分的一些方法将有理函数的积分积出来。（2）无理函数的积分如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系列的变形化为有理三角函数或有理函数。(3)三角函数的积分 所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。形如和的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算；形如或的积分当为正奇数时，即，则将可将被积函数化简成与的乘积，再利用三角恒等式可将正弦函数转化为余弦或余弦函数转化为正弦，如：或进行计算不定积分；当为正偶数时，即，则可利用三角恒等式将被积函数进行先化简后计算。即被积表达式可化为 或 进行计算不定积分。形如、的积分我们这里只以型的积分为例进行说明，其它积分解法与此相似。当时，我们可先利用二倍角公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计算。即 当时，我们可以利用积化和差公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计算，即形如的积分若时，则化为或型的积分；若时，如果为奇数为偶数时，此时令就可把上式化为多项式的积分，积分后把回代即可；如果为偶数为奇数时，此时令就可把上式化为多项式的积分，积分后把回代即可；如果、均为奇数时，我们取、中比较小的数按上述方法进行计算；如果、均为偶数时，我们利用三角恒等式可将被积函数降次化简，然后再用上述方法换元进行计算。形如的积分如果为正偶数时，则，此时令就可把上式化为多项式的积分；如果时，则得积分，此时可利用将积分化为上面的情形和积分上去。或者也可利用换元公式化为分母为的有理函数的积分；如果为奇数，为偶数时，利用恒等式以及不定积分的线性性，最后可化为形如的积分；如果为奇数时，则，此时令就把上式化为多项式的积分。形如、的积分一般利用或化简进行求解如果为偶数时， 由得一递推公式，则的积分问题即得解决。解决的积分类似于的积分 如果为奇数时， 4 例题分析例1 求解：（方法1）（分析：所求积分可以看做两个分式的乘积的积分，那么我们可把它拆成两个分式的差的积分） （方法2）（分析：的导数为，而乘以恰巧也等于因此，我们可以对其进行换元，然后再进行拆项求解）2（方法3）（分析：所求积分的分母的次数大于分子的次数，因此我们可以考虑用倒代换法）（方法4） 例2 求解 （方法1）（所求积分包含，其导数等于，恰好可利用此特点对其进行凑微分）原式 （方法2）（分析：所求积分含有根式，因此我们可以考虑用根式代换求解）原式 例3 求解 方法1 原式 （此解法采用了分部积分法,令，）方法2 令 原式 （此解法采用了三角代换进行求解。当积分表达式中含有，时，可分别令，进行换元计算）例4 求解：方法1（因为被积函数是三角有理式，所以我们很自然地想到用万能代换进行换元， 转化成有理函数的不定积分来做）原式 方法2（因为被积函数的分母是一个和式，如果能化成一个整体再拆成部分分式之和可能有助于问题的解决，所以我们自然地想到用倍角公式来试一下）原式 方法3（凑微分法是不定积分的常用方法，通过观察将被积函数适当变形，再进行凑微分是我们应该掌握的技巧）原式方法4（此法是通过三角函数的恒等变形（分子与分母同时除以）转化成的凑微分法，结合了有理真分式拆分成部分分式之和）原式 例 5 求解 （方法1）（分析：因为分母可以分解为两个因式的乘积，因此我们可以联想到用拆项法可以对其进行化简）原式（方法2）（分析：因为分母为一元二次式，因此，我们可以对其进行配方，然后观察其特点，又用了第一类换元法）原式 5 不定积分的方法与归类当我们在积分时，如果所求积分中含有如下特点，我们可以考虑一下其对应解决方法。含 令或 三角代换 令 三角代换 令 三角代换 令 根式代换 令 根式代换 令 倒数代换我们在求积分时遇见与如下形式相似的，可采用凑微分法。1. 2.（）3. 4.5. 6.7. 8.9. 10.11.结束语 为什么一道题会有多种解法呢？这是因为同一道题兼有不同类型的积分的特点，因而兼属于几种不同的积分类型；或同一个积分类型兼有不同的积分方法。 对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基本的积分公式直接进行求解。对于难以直接用基本积分公式的积分，我们有第一类换元积分法和第二类换元积分法，以及分部积分法。对于某些特殊类型的不定积分，如一些有理函数的和可以化为有理函数的不定积分，无论不定积分有多么复杂，我们都可以按照一定的步骤求解。对于有理函数的不定积分，我们可以用待定系数法把它拆成一些分式的和，再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可以运用多次分部积分法递推公式，也可以通过一些公式代换将它化为有理函数的不定积分，但在具体计算时，应根据被积函数的特点而采用简单灵活的代换；一些无理根式的不定积分，可以运用换元法将其化为有理函数的不定积分，再按照有理函数的不定积分方法进行求解。 谢 辞 在我选了论文题目之后，我曾经一度痛苦、彷徨，我不知道该怎么写，该怎样找到有效的资料。通过指导老师的细心点拨，使我在对这次论文的写作有了明确的方向。老师的严格教导，对教学的细心认真，是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进行指正。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。 非常感谢伊老师在我大学的最后阶段毕业设计阶段给予指导，从资料收集，开题报告，到写作，修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这几年里给我的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示由衷的感谢。 参考文献1方秋金.数学学习论选讲M.北京师范大学出版社，1992.2何广荣.提倡发散思维%搞好数学教学J.数学通报，1986，（3）.3郭思乐.努力提高学生的数学思维素质J.数学通报，1993，（1）.4李永乐、李正元，数学复习全书M.北京：国家行政学院出版社，2007.5龚友运，等.高等数学一册M.武汉：华中科技大学出版社，2006.6期刊论文黄军华.HUANG Jun-hua 不定积分的一题多解 -玉林师范学院学报（自然科学）2005,26(3)讨论了不定积分的一题多解,扩展了不定积分的解题思路.7期刊论文吴维峰.Wu Weifeng 探求不定积分的一题多解莫忘解法的正确性 -潍坊教育学院学报2009,22(4)以一个不定积分题为例,对其多种代换解法的正确性进行了分析.8期刊论文苏晓宇.赵连庆不定积分中的一题多解 -科技资讯2010(27)通过对积dx分的多种求解来展现方法和技巧在不定积分的重要作用,使学生今后能够灵活运