Y2511答卷.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： Y2511 所属学校（请填写完整的全名）： 延安职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 孙小淞 2. 王 蓉 3. 杨 丹 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 唐文祥 日期： 2009 年 9 月 14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2会议筹备方案摘要：本文把代表满意、经济、方便依次作为重要指标，以矩阵、EXCEL表格与MATLAB程序为工具，通过往届会议代表回执人数与到会人数、本届会议的代表回执人数，用最小二乘法预测了下一届与会人数638人，根据问题的要求利用回归分析、整数规划等方法筛选出一个方案，方案矩阵为B，选择，号宾馆来预订客房，租借号宾馆2间会议室、号宾馆4间会议室，并拟租用2辆33座客车，代表满意率为94.82%，共计花费12600元。提出与会人数近似服从正态分布N(638 ，0.8082),并在其95%的置信区间636，640内对所选方案进行了推广。关键词：最小二乘法 整数规划 层次分析法 回归分析 筛选法 一.问题重述本题是针对一家会议服务公司为负责承办某专业领域的一届全国性会议而做出方案进行研究，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，且接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号至表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表一。根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。 需要我们解决的问题是用数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的模型方案。二. 问题分析本题已给出往届会议发来回执的人数，发来回执但未与会的人数以及未发回执却与会的人数，根据对一，二，三，四届的数据整理，我们可以根据线性回归预测出第五届实际与会人数，并用EXCEL或MATLAB绘出曲线图，得出线性方程，近而得出第五届的预期值，从而解决以下问题： 一 ：合理安排与会人员住宿是一个非常复杂的事情，因为安排与会人员住宿需要考虑（1）房屋价格问题；（2）房屋单双选择问题；（3）男女比重问题。所以一个合理的安排应该使得所定房间尽可能的符合与会人员的要求，从而达到满意程度的指标。二：在选择会议室的时候也要考虑三方面的因素：（1）会议室的地点；（2）会议室的容量；（3）会议室的价格。根据这三方面我们可以在经济最优的情况下解决开会问题。三：在租用客车问题上，我们需考虑（1）车辆载客人数；（2）住房与会议地点的距离。 从根本上，我们需要将三者综合考虑。三. 模型假设1.假设间距在300（包括300）米之内无需用车。2.假设汽车能正常行驶。3.假设参加同一组会议的每一个代表都能尽可能住在同一个宾馆。4.假设每一参加会议的代表都能服从会议安排表。5.假设每一次参加会议的人数保持稳定。6.假设每一条道路都能任意行走没有绕道现象。7.假设参加每组会议的总人数不超过200人。四. 符号说明R：表示线性方程的线性程度 P：表示与F有关的概率值a：表示线性方程的常数b：表示线性方程自变量前的系数nij：表示预测住j类房的男女人数i=1、2ci ：表示第i类房的需求数i=1-6。bij：x1，x3：表示6号宾馆价格为1000和1200元的会议室的间数。x2，X4,X5：表示7号宾馆价格为1000，800，300元的会议间数。五. 模型的建立与求解5.1预测实际到会人员模型要预测该届会议的人员到会情况，通过对往届参加会议人数的数据进行分析处理，在进行预测得出该届参加会议人数。假设往届实际到会的代表人数与发来回执单的代表数量如下图： 第一届第二届第三届第四届第n届发来回执大的代表数量x11x12x13x14x1n实际参加会议的代表数量y11y12y13y14y1n表一然后我们通过最小二乘法得出线性回归方程如果检验方程是线性的，形如y=ax+b，就是线性回归。按上面的分析，误差函数为：e=(yi-axi-b)2各偏导为：de/da=2(yi-axi-b)xi=0de/db=-2(yi-axi-b)=0于是得到关于a,b的线性方程组： (xi2)a+(xi)b=yixi(xi)a+nb=yi设A=xi2,B=xi,C=yixi,D=yi，则方程化为： Aa+Bb=C Ba+nb=D解出a,b得：a=(Cn-BD)/(An-BB) b=(AD-CB)/(An-BB)第一届第二届第三届第四届发来回执的代表数量315356408711实际与会人数283310362602对于该题我们通过对附表三进行分析可以确定用发来回执单的代表数量来预计实际到会的总人数。并且通过附表一的有关数据进行计算得出第五届会议发来回执单的总人数。通过对附表二进行计算得出前几届到会的总人数。其结果： 表二根据表二的数据得出一些散点（315，283），（356，310），（408，362），（711，602），利用这些散点通过电子表格画出散点图并对该图进行模拟，得出线性图像与发来回执的代表数量同实际参加会议代表人数的一次线性方程如表二所示，通过方程可以估算出下一届与会的人数。 发来回执单与到会人数图像由电子表格的计算我们可以得出a=0.8096，b=26.926.e=R2 将a与b代入最小二次方程得出如下方程： y=0.8096x+26.962 （1） e=R2=0.9992我们将0.9992开方得e=0.9996,因此我们可以推断出发来回执的代表数量同实际参加会议代表人数的一次线性方程的关系。由题中附表二进行计算得出在第五届会议代表发来的回执单数量为755人.因此我们可以将第五届发来回执的代表数量同实际参加会议代表人数的坐标点设为（755，y）；将（755，y）代入方程(1)可算出y=638 即在第五届会议到会的总人数 为638人根据所求得数据与已知我们绘制了表三的示意图：第一届第二届第三届第四届第五届发来回执的代表数量315356408711755实际与会人数283310362602638由此可见每年的实际到会人数呈依次递增.为了进一步验证我们计算结果的准确性与可靠性,我们采用MATLAB进一步计算；并且得出了用MATLAB画出的拟合线性图、计算结果与程序，如下：计算程序与求解结果分析x=315 356 408 711; x=ones( 4,1 ) x; y=283 310 362 602 ; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,statsb = 26.9620 0.8096bint = -5.9394 59.8635 0.7401 0.8790stats =1.0e+003 * 0.0010 2.5163 0.0000即 =26.9620； =0.8096； 的置信区间为-5.9394，59.8635， 的置信区间为0.7401，0.8790；R2=1,F=1516.3,P=0.0000,P0.05,由此可知回归模型y=26.9620+0.8096x是成立的。通过MATLAB得出的方程进行计算得出了发来的回执单的代表数量由与实际到会总人数的线性方程y=0.8096*x+ 26.9620 （*）通过带入数据得到第五届到会总人数预测为638人将电子表格与MATLAB的比较，我们得到了两者算出的实际到会人数相等。由此我们可知到会实际总人数为638人，且这个结果准确与可靠性较高。5.2租赁宾馆的确立模型为了确立合适的宾馆，我们主要依据的原则是根据参加代表的住房要求，因此我们要求参加会议的人员尽可能发来回执单。我们通过参加会议人员的回执信息了解到，住房一般大体分为两个方式即合住与独住，而合住与独住又可分为三种。在根据该地区所有宾馆的相关信息采用层次分析法进行分析求解。具体如下图：宾馆筹备方案客房预定租借会议室租借客车价格容量要求满意方便层次分析的相关方法在求解时我们要根据该届参加会议人员发来的每一种住房信息，计算出住每一种方式的住房总人数，并计算出每一种方式住人的人数占发来回执单的总人数的百分比。通过所占的百分比来计算实际住房情况。因此我们根据参加会议代表回执中有关住房要求信息（附表二）中的数据进行分析与计算，可以得出如下信息：根据已知信息我们将每个宾馆的房间数做了归类整理。设1、2、3、4、5、6类分别为合住1、合住2、合住3、独住1、独住2、独住3类房间。设第五届会议人员住房信息资源矩阵为AA=（aij）10*6=根据已知（附表二）我们可以得到了代表发来的住房信息矩阵M= 则我们由线性回归方程（*） 预测出实际参加会议人员的住房信息矩阵N=(nij)= 其中nij表示预测住j类房的男女人数i=1、2.在进行宾馆安排时，首先必须对附表一与预测后得出的实际参加会议的代表住房信息矩阵N进行分析求解得出新的住房需求矩阵C=（98 64 21 140 82 50）。其中ci表示第i类房的需求数i=1-6。由于这是一次全国性的会议，故层次性较高，因此我们应对各位代表的个人需求尽可能地满足，其次才考虑到经济，方便等因素。根据要求，会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议。根据已知10家备选宾馆的有关数据，当与会代表均衡分组时，任何一家宾馆都不具备6间超过100人的会议室，故至少应在两个宾馆以上安排分组会议。根据资源矩阵A及与会代表的住房预测信息矩阵C,因为+=27+40+40=10721=故排除宾馆，又10582故，宾馆应选，这时可排除，但会有一点风险，我们可以通过计算得出这个风险的概率很小，因此可以忽略不计。除了独住1中一部分代表的要求不能满足外，为了管理，以宾馆数量最少、距离最近为原则，确定出的五个宾馆就能够满足代表们的要求。这时住房的资源矩阵为A1=根据特殊元素优先安排的原则，结合住房需求矩阵C，得出预定房间初步方案矩阵B=其中bij此时代表满意率为=94.82%，5、3会议室的选定根据第二问中规划出来的参加会议代表具体住房信息，以会议室最为经济、代表们的满意程度、代表们参见会以时最方便为原则。制定一天上下午各安排6场分组会议的方案。在进行具体的规划与选择中可以根据每家宾馆提供的会议室价格与规模进行比较分析来确定，具体分析如下：间数价格人数间数价格人数1150020021000130212001501150018026006033004513300302间数价格人数间数价格人数11200200290015028001003300501100015043320603间数价格人数间数价格人数2100015011000160115001801120018035005065间数价格人数间数价格人数28001401100016033006028001301100020087间数价格人数间数价格人数113001601150018028001202100014011200200109 首先我们本着节约经济的原则，由于宾馆有三个低价会议室，故选出宾馆作为一个会议中心，为了方便我们应选两个会议中心，同时我们假定参加每个分组会议的人数不超过200人，如超过200人将采用视屏会议模式进行开会。可以为、。我们可以整数规划来解出最佳组合。例如拿组合来看，设这个组合的会场选用矩阵D=（x1 x2 x3 x4 x5）其中x1，x3分别表示6号宾馆价格为1000和1200元的会议室的间数。x2，X4,X5分别表示7号宾馆价格为1000，800，300元的会议间数。则有非线性规划问题为：（程序见附录1） min=1000*x1+1000*x2+1200*x3+300*x5+800*x4;约束条件有：x1=1;x2=1;x3=1;x4=2;x5=638;运用LINGO软件解出:X1=1;x2=1;x3=1;x4=2;x5=1.会场花费为1000*1+1000*1+1200*1+800*2+300=5100元。根据宾馆的分布情况可知这条路段为街道闹市区。短途用车反而很不方便，因此我们认为300米内（包括300米）不需用车。所以在这种情况下组合通过矩阵B中相关数据进行分析确定出所需要租用33座的车辆数为二辆，车辆花费为1200元，总花费为6300*2=12600元。同理，可运用此方法算出其他组合的花费。即：组合会议总花费为7700*2=15400元；组合会场花费为5600*2=11200元；车辆费过高，因此不予考虑。组合会场总花费为6400*2=12800元。由此对照可初步得出组合为最优组合方案。其具体方案为:租赁 号宾馆价格在1000元的会议室一间,1200元的一间. 租赁号宾馆价格在1000元的会议室一间,800元的二间,300元的一间.六. 模型的评价与改进模型优点: 本题是会议筹备问题。在求解过程主要用到了层次分析法、整数规划、最小二乘法、回归分析等数学知识。 (1)模型一中，利用了最小二乘法原理，运用EXCLE及MATLAB来模拟出线性方程，提高了模型的准确性。(2)模型二中，在求解过程中，采用矩阵的方法降低了大量的手工运算，使得有较高的普遍性。(3)模型三中，利用整数规划使实际问题得到了最优解。模型缺点(1)在建立模型中主观意识较强，存在一定的局限性。模型的改进：由概率论知识,参加本次会议的人数是一个随机变量,近似服从正态分布N(638,0.8082),概率密度图形如下:它的置信水平为95%的预测区间为 -1.96, +1.96=638-1.96*0.808, 638+1.96*0.808=636,640其中= =/(n-2)为它的剩余方差（残差的方差）=1.307/2=0.6535则=0.808通过上述结果我们可以找到参加本届会议人数的波动范围为636,640，这样我们就可以得出参加本次会议的最少人数为636人，这时,本方案不影响代表的满意度,也不影响人员的安排,经济上受点损失,最多300元;会议的最多人数为640,这时本方案不影响经济,满意度最多降低0.315%. 七. 参考文献1.赵静 但琦 数学建模与数学实验 高等教育出版社 2007年6月 第3版 2.李南南 MATLAB7简明教程 清华大学出版社 2006年3月 第1版 3.徐伟 概率论与数理统计 西北工业大学出版社 2003年12月 第2版4.钱颂迪 运筹学 清华大学出版社 1990年1月 第2版 5./sunshinexyz/blog/item/6c83be54add2785bd0090625.html 2009年9月13日6./i?tn=baiduima