几何计数++.docx

几何计数1、下面的（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图。数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表。顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边。2、现有如下一系列图形：当n=1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边。当n=2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边。当n=3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边。按如上规律请你回答：当n=100时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形？总计数出多少条边？3、一个圆周上有12个点A1，A2A11，A12，以它们为顶点连三角形，使每个点恰是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交，问有多少种连法？4、有一块边长为4米的正方形地面，要铺满边长为20厘米的红、黄两种颜色的正方形地板砖，铺设方法是：从正方形地面中心按右图中所示 的规律向四周铺设（红砖块用阴影表示）问：铺满地面需要多少块红色的地板砖？5、有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10与11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？6、一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成多少部分。7、长方形内有1996个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2000个点，在这2000个点中，任意3个点都不在同一条直线上，以这2000个点为顶点，可作出多少个互不重叠的三角形。8、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。9、一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分这个平面为四部分，设五条直线最多分这个面为m部分，则m等于多少？1、参考答案填表。 顶点数边数区域数(a)463(b)8125(c)694(d)10156由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下边关系；4+3-6=18+5-12=16+4-9=110+6-15=1所以，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：顶点数+区域数-边数=1由上面所给的关系，可知所求平面图的边数。边数=顶点数+区域数-1=999+999-1=19972、参考答案n=1时，直角三角形212个，边数=21（1+1）+12=5n=2时，直角三角形222个，边数=22(2+1)+22=16n=3时，直角三角形232个边数=23(3+1)+32=33对一般的n，共分为2n2个直角三角形，总计数出2n(n+1)+n2条边。所以n=100时，共分为21002=20000个直角三角形，总计数出2100(100+1)+1002=30200条边答：20000个直角三角形，30200条边。3、参考答案我们采用递推的方法（1）如果圆上只有3个点；那么只有一种连法；（2）如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。表1A1所在三角形余下点数种数A1A2A331A1A5A631A1A2A631共有3种连法（3）如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形，此时，其余的6个点可能分布在 A1所在三角形的一个边所对的弧上 也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上，在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧，如果是情形，则由（2），这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法。表2A1所在三角形余下点数种数A1A2A363A1A2A63+31A1A2A963A1A5A63+31A1A5A93+31A1A8A963共有12种连法。（4）最后考虑圆周上有12个点，同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能，每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上；有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；9个点都在同一段弧上。得到表3表3A1所在三角形余下点数种数A1A2A3912A1A2A63+63A1A2A96+33A1A2A12912A1A5A63+63A1A5A93+3+31A1A5A123+63A1A8A93+63A1A8A126+33A1A11A12912共有12+3+3+12+3+1+3+3+3+12=55种答：共有55种不同的连法。4、参考答案第一圈红色的地板砖（二、三两层）共44+4=45（块）第二圈红色地板砖（四、五两层）共48+4=49（块）第三圈红色地板砖（六、七两层）共412+4=413（块）第四圈红色地板砖（八、九两层）共416+4=417（块）注意：第十层四角尚有4块红色地板砖，所以红色地板砖总数是45+49+413+417+4=4（5+9+13+17+1）=445=180（块）5、参考答案一个三角形，任何两条边的长度之和，比余下的一条边长，在本题中，设底边是11厘米的三角形其余二边分别是a及b，则必有11a+b。此外，为确切起见，可设ab，于是（a，b）的可能的值便有（11，11）；（10，10），（10，11）；（9，9），（9，10），（9，11）；（8，8），（8，9），（8，10），（8，11）；（7，7），（7，8）（7，9），（7，10），（7，11）；（6，6），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（6，11）；（5，7），（5，8），（5，9），（5，10）（5，11）；（4，8），（4，9），（4，10），（4，11）；（3，9），（3，10），（3，11）；（2，10），（2，11）；（1，11）。共36种答：能围成36个不同的三角形。6、参考答案一个长方形把平面分成两部分，第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分五部分，同理，第二个长方形的内部至多被第一个长方形分成五部分，这两个长方形有公共部分（如图a中，标有数字9的部分）。 还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分，第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故每一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加34=12个部分，而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分，所以三个长方形至多把平面分成10+12+4=26个部分，把平面分成26个部分的三个长方形是存在的，如图b所示。 7、参考答案长方形中加上一个点以后，就会有4个三角形，以后每增加1个点就会增加2个三角形，增加（1996-1）1995个点，共有三角形4+（1996-1）2=3994（个）8、参考答案我们来一条一条地画直线，画第一条直线将圆形纸片划分成2块，画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块，类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块，下图是画3条直线的各种情形由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同，这时增加的块数等于直线的条数，这样划分出的块数，列表如下：直线条数 纸片最多划分成的块数1 1+12 1+1+23 1+1+2+35 1+1+2+3+45 1+1+2+3+4+5 不难看出，表中每行右边的数等于1加从1到行数的所有整数的和。因为1+1+2+3+10=56，1+1+2+3+9=46，可见第9条右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。9、参考答案如果已有k条直线，再